Hipotenusa

Lado más largo de un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto.

Un triángulo rectángulo y su hipotenusa

En geometría , una hipotenusa es el lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto . ^[1] Es el lado más largo de cualquier triángulo de este tipo; los otros dos lados más cortos de dicho triángulo se llaman catetos . La longitud de la hipotenusa se puede encontrar utilizando el teorema de Pitágoras , que establece que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos. Matemáticamente, esto se puede escribir como , donde a es la longitud de un cateto, b es la longitud del otro cateto y c es la longitud de la hipotenusa. ^[2] ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

Por ejemplo, si uno de los catetos de un ángulo recto tiene una longitud de 3 y el otro tiene una longitud de 4, entonces sus cuadrados suman 25 = 9 + 16 = 3 × 3 + 4 × 4. Como 25 es el cuadrado de la hipotenusa, la longitud de la hipotenusa es la raíz cuadrada de 25, es decir, 5. En otras palabras, si y , entonces . ${\displaystyle a=3}$ ${\displaystyle b=4}$ ${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=5}$

Etimología

La palabra hipotenusa se deriva del griego ἡ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτείνουσα (sc. γραμμή o πλευρά ), que significa "[lado] que subtiende el ángulo recto" ( Apolodoro ), ^[3] ὑ ποτείνουσα hupoteinousa siendo el participio presente activo femenino del verbo ὑποτείνω hupo -teinō "estirar debajo, subtender", de τείνω teinō "estirar, extender". El participio nominalizado, ἡ ὑποτείνουσα , se utilizó para la hipotenusa de un triángulo en el siglo IV a. C. (atestiguado en Platón , Timeo 54d). El término griego fue prestado al latín tardío , como hypotēnūsa . ^{[4] [5]} La ortografía en -e , como hipotenusa , es de origen francés ( Estienne de La Roche 1520). ^[6]

Propiedades y cálculos

Un triángulo rectángulo con la hipotenusa c

En un triángulo rectángulo , la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto , mientras que los otros dos lados se denominan catetos o catetos . ^[7] La ​​longitud de la hipotenusa se puede calcular utilizando la función raíz cuadrada implícita en el teorema de Pitágoras . Afirma que la suma de los dos catetos al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado. En notación matemática, con los respectivos catetos etiquetados como a y b , y la hipotenusa etiquetada como c , se escribe como . Usando la función raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación, se deduce que ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Como consecuencia del teorema de Pitágoras, la hipotenusa es el lado más largo de cualquier triángulo rectángulo; es decir, la hipotenusa es más larga que cualquiera de los catetos del triángulo. Por ejemplo, dada la longitud de los catetos a = 5 y b = 12, entonces la suma de los catetos al cuadrado es (5 × 5) + (12 × 12) = 169, el cuadrado de la hipotenusa. La longitud de la hipotenusa es, por lo tanto, la raíz cuadrada de 169, denotada , que es igual a 13. ${\displaystyle {\sqrt {169}}}$

El teorema de Pitágoras, y por lo tanto esta longitud, también se puede derivar de la ley de los cosenos en trigonometría . En un triángulo rectángulo, el coseno de un ángulo es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa. Para un ángulo recto γ (gamma), donde el cateto adyacente es igual a 0, el coseno de γ también es igual a 0. La ley de los cosenos formula que se cumple para algún ángulo θ (theta). Observando que el ángulo opuesto a la hipotenusa es recto y notando que su coseno es 0, entonces en este caso θ = γ = 90°: ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta }$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta =a^{2}+b^{2}\implies c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Muchos lenguajes de computadora admiten la función estándar ISO C hypot( x , y ), que devuelve el valor anterior. ^[8] La función está diseñada para no fallar donde el cálculo directo podría desbordarse o desbordarse por debajo de su capacidad y puede ser ligeramente más precisa y, a veces, significativamente más lenta.

Algunos lenguajes han extendido la definición a dimensiones superiores. Por ejemplo, C++17 admite ; ^[9] esto da la longitud de la diagonal de un cuboide rectangular con aristas x , y y z . Python 3.8 se amplió para manejar una cantidad arbitraria de argumentos. ^[10] ${\displaystyle {\mbox{std::hypot}}(x,y,z)={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ ${\displaystyle {\mbox{math.hypot}}}$

Algunas calculadoras científicas ^{[ ¿cuáles? ]} proporcionan una función para convertir coordenadas rectangulares a coordenadas polares . Esto proporciona tanto la longitud de la hipotenusa como el ángulo que forma la hipotenusa con la línea base ( c ₁ arriba) al mismo tiempo cuando se dan x e y . El ángulo devuelto normalmente se da por atan2 ( y , x ).

Razones trigonométricas

Mediante razones trigonométricas se puede obtener el valor de dos ángulos agudos, y , del triángulo rectángulo. ${\displaystyle \alpha \,}$ ${\displaystyle \beta \,}$

Dada la longitud de la hipotenusa y de un cateto , la relación es: ${\displaystyle c\,}$ ${\displaystyle b\,}$

${\displaystyle {\frac {b}{c}}=\sin(\beta )\,}$

La función inversa trigonométrica es:

${\displaystyle \beta \ =\arcsin \left({\frac {b}{c}}\right)\,}$

en el cual se encuentra el ángulo opuesto al cateto . ${\displaystyle \beta \,}$ ${\displaystyle b\,}$

El ángulo adyacente del catetos es = 90° – ${\displaystyle b\,}$ ${\displaystyle \alpha \,}$ ${\displaystyle \beta \,}$

También se puede obtener el valor del ángulo mediante la ecuación: ${\displaystyle \beta \,}$

${\displaystyle \beta \ =\arccos \left({\frac {a}{c}}\right)\,}$

en el cual está el otro cateto. ${\displaystyle a\,}$

Véase también

• Portal de matemáticas

• Cateto
• Triángulo
• Diagonal espacial
• Número no hipotenusa
• Geometría del taxi
• Trigonometría
• Triángulos rectángulos especiales
• Pitágoras
• Norma_(matemáticas)#Norma_euclidiana

Notas

1. "Triángulo (geometría)"  . Encyclopædia Britannica . Vol. 27 (11.ª ed.). 1911. pág. 258. ...Además, un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto, y el lado opuesto a este ángulo se llama hipotenusa;...
2. Jr, Jesse Moland (agosto de 2009). ¡Odio la trigonometría!: una guía práctica para comprender la trigonometría. Jesse Moland. pág. 1. ISBN 978-1-4486-4707-1.
3. u(po/, tei/nw, pleura/. Liddell, Henry George ; Scott, Robert ; Un léxico griego-inglés en el Proyecto Perseo
4. "hipotenusa | Origen y significado de hipotenusa por Diccionario Etimológico Online" www.etymonline.com . Consultado el 14 de mayo de 2019 .
5. "definición de hipotenusa y origen de la palabra". Diccionario Collins . Collins . Consultado el 12 de abril de 2022 .
6. Estienne de La Roche, l'Arismetique (1520), fol. 221r (citado después de TLFi).
7. Millian, Richard S.; Parker, George D. (1981). Geometría: un enfoque métrico con modelos . Textos de pregrado en matemáticas. Nueva York: Springer. pág. 133. doi :10.1007/978-1-4684-0130-1. ISBN 978-1-4684-0130-1 . 
8. "hypot(3)". Manual del programador de Linux . Consultado el 4 de diciembre de 2021 .
9. "C++ std::hypot". Manual del lenguaje C++ . Consultado el 6 de junio de 2024 .
10. "Python math.hypot". Manual del lenguaje Python . Consultado el 6 de junio de 2024 .

Referencias

• Hipotenusa en la Enciclopedia de Matemáticas
• Weisstein, Eric W. "Hipotenusa". MundoMatemático .