Gamma de Goodman y Kruskal

Estadística de correlación de rango

En estadística , la gamma de Goodman y Kruskal es una medida de correlación de rango , es decir, la similitud de los ordenamientos de los datos cuando se clasifican según cada una de las cantidades. Mide la fuerza de asociación de los datos tabulados cruzados cuando ambas variables se miden a nivel ordinal . No hace ningún ajuste ni por el tamaño de la mesa ni por las corbatas. Los valores varían desde −1 (asociación 100% negativa o inversión perfecta) a +1 (asociación 100% positiva o concordancia perfecta). Un valor de cero indica la ausencia de asociación.

Esta estadística (que es distinta de la lambda de Goodman y Kruskal ) lleva el nombre de Leo Goodman y William Kruskal , quienes la propusieron en una serie de artículos de 1954 a 1972. ^{[1] [2] [3] [4]}

Definición

La estimación de gamma, G , depende de dos cantidades:

• N _s , el número de pares de casos clasificados en el mismo orden en ambas variables (número de pares concordantes ),
• N _d , el número de pares de casos clasificados en orden inverso en ambas variables (número de pares invertidos),

donde se eliminan los "empates" (casos en los que cualquiera de las dos variables del par es igual). Entonces

${\displaystyle G={\frac {N_{s}-N_{d}}{N_{s}+N_{d}}}\ .}$

Esta estadística puede considerarse como el estimador de máxima verosimilitud para la cantidad teórica , donde ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \gamma ={\frac {P_{s}-P_{d}}{P_{s}+P_{d}}}\ ,}$

y donde P _s y P _d son las probabilidades de que un par de observaciones seleccionadas al azar se coloquen en el mismo orden o en el orden opuesto respectivamente, cuando se clasifican según ambas variables.

Los valores críticos para la estadística gamma a veces se encuentran mediante el uso de una aproximación, mediante la cual un valor transformado, t de la estadística, se refiere a la distribución t de Student , donde ^{[ cita necesaria ]}

${\displaystyle t\approx G{\sqrt {\frac {N_{s}+N_{d}}{n(1-G^{2})}}}\ ,}$

y donde n es el número de observaciones (no el número de pares):

${\displaystyle n\neq N_{s}+N_{d}.\,}$

Q de Yule

Un caso especial de la gamma de Goodman y Kruskal es la Q de Yule , también conocida como coeficiente de asociación de Yule , ^[5] que es específica de matrices de 2×2. Considere la siguiente tabla de contingencia de eventos, donde cada valor es un recuento de la frecuencia de un evento:

La Q de Yule viene dada por:

${\displaystyle Q={\frac {ad-bc}{ad+bc}}\ .}$

Aunque se calcula de la misma manera que la gamma de Goodman y Kruskal, tiene una interpretación ligeramente más amplia porque la distinción entre escalas nominales y ordinales se convierte en una cuestión de etiquetado arbitrario para distinciones dicotómicas. Por lo tanto, si Q es positivo o negativo depende simplemente de qué pares el analista considera concordantes, pero por lo demás es simétrico.

Q varía de −1 a +1. −1 refleja una asociación negativa total, +1 refleja una asociación positiva perfecta y 0 no refleja ninguna asociación. El signo depende de qué pares el analista consideró inicialmente concordantes, pero esta elección no afecta la magnitud.

En términos de la razón de probabilidades OR, la Q de Yule está dada por

${\displaystyle Q={\frac {{OR}-1}{{OR}+1}}\ .}$

y entonces la Q de Yule y la Y de Yule están relacionadas por

${\displaystyle Q={\frac {2Y}{1+Y^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle Y={\frac {1-{\sqrt {1-Q^{2}}}}{Q}}\ .}$

Ver también

• Coeficiente de correlación de rango tau de Kendall
• Lambda de Goodman y Kruskal
• Y de Yule , también conocido como coeficiente de colligación

Referencias

1. Buen hombre, Leo A.; Kruskal, William H. (1954). "Medidas de Asociación para Clasificaciones Cruzadas". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 49 (268): 732–764. doi :10.2307/2281536. JSTOR  2281536.
2. Buen hombre, Leo A.; Kruskal, William H. (1959). "Medidas de asociación para clasificaciones cruzadas. II: discusión y referencias adicionales". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 54 (285): 123–163. doi :10.1080/01621459.1959.10501503. JSTOR  2282143.
3. Buen hombre, Leo A.; Kruskal, William H. (1963). "Medidas de asociación para clasificaciones cruzadas III: teoría del muestreo aproximado". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 58 (302): 310–364. doi :10.1080/01621459.1963.10500850. JSTOR  2283271.
4. Buen hombre, Leo A.; Kruskal, William H. (1972). "Medidas de asociación para clasificaciones cruzadas, IV: simplificación de varianzas asintóticas". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 67 (338): 415–421. doi :10.1080/01621459.1972.10482401. JSTOR  2284396.
5. Navidad, GU (1912). "Sobre los métodos de medición de la asociación entre dos atributos". Revista de la Real Sociedad de Estadística . 49 (6): 579–652. doi :10.2307/2340126. JSTOR  2340126.

Otras lecturas

• Sheskin, DJ (2007) Manual de procedimientos estadísticos paramétricos y no paramétricos . Chapman y Hall/CRC, ISBN 9781584888147