Función delta de Hooley

Función matemática

En matemáticas , la función delta de Hooley ( ) ${\displaystyle \Delta (n)}$ , también llamada función delta de Erdős-Hooley , define el número máximo de divisores de en para todo , donde es el número de Euler . Los primeros términos de esta secuencia son ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [u,eu]}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle 1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,3,1,2,2,2,1,2,1,3,2,2,1,4}$(secuencia A226898 en la OEIS ).

Historia

La secuencia fue introducida por primera vez por Paul Erdős en 1974, ^[1] y luego estudiada por Christopher Hooley en 1979. ^[2]

En 2023, Dimitris Koukoulopoulos y Terence Tao demostraron que la suma de los primeros términos, , para . ^[3] En particular, el orden promedio de a es para cualquier . ^[4] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}\Delta (k)\ll n(\log \log n)^{11/4}}$ ${\displaystyle n\geq 100}$ ${\displaystyle \Delta (n)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle O((\log n)^{k})}$ ${\displaystyle k>0}$

Más tarde, en 2023, Kevin Ford , Koukoulopoulos y Tao demostraron el límite inferior , donde , fijo y . ^[5] ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}\Delta (k)\gg n(\log \log n)^{1+\eta -\epsilon }}$ ${\displaystyle \eta =0.3533227\ldots }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle n\geq 100}$

Uso

Esta función mide la tendencia de los divisores de un número a agruparse.

El crecimiento de esta secuencia está limitado por donde es el número de divisores de . ^[6] ${\displaystyle \Delta (mn)\leq \Delta (n)d(m)}$ ${\displaystyle d(n)}$ ${\displaystyle n}$

Véase también

• Función divisoria
• Número de Euler

Referencias

1. Erdös, Paul (1974). "Sobre números similares a los abundantes". Boletín Matemático Canadiense . 17 (4): 599–602. doi : 10.4153/CMB-1974-108-5 . S2CID  124183643.
2. Hooley, Christopher. «Sobre una nueva técnica y sus aplicaciones a la teoría de números» (PDF) . American Mathematical Society . Archivado (PDF) del original el 17 de diciembre de 2022. Consultado el 17 de diciembre de 2022 .
3. Koukoulopoulos, D.; Tao, T. (2023). "Un límite superior del valor medio de la función Delta de Erdős–Hooley". Actas de la London Mathematical Society . 127 (6): 1865–1885. arXiv : 2306.08615 . doi :10.1112/plms.12572.
4. "O" representa la notación Big O.
5. Ford, Kevin; Koukoulopoulos, Dimitris; Tao, Terence (2023). "Un límite inferior para el valor medio de la función Delta de Erdős-Hooley". arXiv : 2308.11987 [math.NT].
6. Greathouse, Charles R. «Secuencia A226898 (función delta de Hooley: número máximo de divisores de n en [u, eu] para todo u. (Aquí e es el número de Euler 2,718... = A001113.))». La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS . Consultado el 18 de diciembre de 2022 .