En matemáticas , dado un vector en un punto de una curva , ese vector se puede descomponer únicamente como una suma de dos vectores, uno tangente a la curva, llamado componente tangencial del vector, y otro perpendicular a la curva, llamado componente tangencial del vector. componente normal del vector. De manera similar, un vector en un punto de una superficie se puede descomponer de la misma manera.
De manera más general , dada una subvariedad N de una variedad M y un vector en el espacio tangente a M en un punto de N , se puede descomponer en la componente tangente a N y la componente normal a N.
Más formalmente, sea una superficie y sea un punto en la superficie. Sea un vector en . Entonces se puede escribir únicamente como una suma donde el primer vector de la suma es el componente tangencial y el segundo es el componente normal. Se deduce inmediatamente que estos dos vectores son perpendiculares entre sí.
Para calcular las componentes tangencial y normal, considere una unidad normal a la superficie, es decir, un vector unitario perpendicular a en . Luego, y por lo tanto, donde " " denota el producto escalar . Otra fórmula para la componente tangencial es
donde " " denota el producto cruzado .
Estas fórmulas no dependen de la unidad normal particular utilizada (existen dos unidades normales a cualquier superficie en un punto dado, que apuntan en direcciones opuestas, por lo que una de las unidades normales es negativa de la otra).
De manera más general, dada una subvariedad N de una variedad M y un punto , obtenemos una secuencia corta y exacta que involucra los espacios tangentes : El espacio cociente es un espacio generalizado de vectores normales.
Si M es una variedad de Riemann , la secuencia anterior se divide y el espacio tangente de M en p se descompone como una suma directa del componente tangente a N y el componente normal a N : Así, cada vector tangente se divide como , donde y .
Supongamos que N está dado por ecuaciones no degeneradas.
Si N se da explícitamente, mediante ecuaciones paramétricas (como una curva paramétrica ), entonces la derivada da un conjunto de expansión para el paquete tangente (es una base si y sólo si la parametrización es una inmersión ).
Si N se da implícitamente (como en la descripción anterior de una superficie, (o más generalmente como) una hipersuperficie ) como un conjunto de niveles o intersección de superficies de niveles para , entonces los gradientes de abarcan el espacio normal.
En ambos casos, podemos calcular nuevamente usando el producto escalar ; Sin embargo, el producto cruzado es especial para 3 dimensiones.
