En teoría de números , una rama de las matemáticas , la forma cuadrática ternaria de Ramanujan es la expresión algebraica x 2 + y 2 + 10 z 2 con valores enteros para x , y y z . [1] [2] Srinivasa Ramanujan consideró esta expresión en una nota al pie de un artículo [3] publicado en 1916 y discutió brevemente la representabilidad de los números enteros en esta forma. Después de dar condiciones necesarias y suficientes de que un número entero no puede representarse en la forma ax 2 + by 2 + cz 2 para ciertos valores específicos de a , b y c , Ramanujan observó en una nota al pie: "(Estos) resultados pueden tentarnos a suponer que hay resultados simples similares para la forma ax 2 + by 2 + cz 2 cualesquiera que sean los valores de a , b y c . Sin embargo, parece que en la mayoría de los casos no hay resultados tan simples". [3] Para fundamentar esta observación, Ramanujan analizó la forma que ahora se denomina forma cuadrática ternaria de Ramanujan.
En su artículo de 1916 [3] Ramanujan hizo las siguientes observaciones sobre la forma x 2 + y 2 + 10 z 2 .
Al poner puntos suspensivos al final de la lista de números impares no representables como x 2 + y 2 + 10 z 2 , Ramanujan indicó que su lista estaba incompleta. No estaba claro si Ramanujan pretendía que fuera una lista finita o infinita. Esto impulsó a otros a buscar tales números impares. En 1927, Burton W. Jones y Gordon Pall [2] descubrieron que el número 679 no podía expresarse en la forma x 2 + y 2 + 10 z 2 y también verificaron que no había otros números similares por debajo de 2000. Esto condujo a una conjetura temprana de que los diecisiete números (los dieciséis números en la lista de Ramanujan y el número descubierto por ellos) eran los únicos números impares no representables como x 2 + y 2 + 10 z 2 . Sin embargo, en 1941, H. Gupta [4] demostró que el número 2719 no podía representarse como x 2 + y 2 + 10 z 2 . También verificó que no existían otros números inferiores a 20000. Los avances en esta dirección se produjeron solo después del desarrollo de las computadoras modernas. W. Galway escribió un programa de computadora para determinar los números enteros impares no expresables como x 2 + y 2 + 10 z 2 . Galway verificó que solo hay dieciocho números menores que 2 × 10 10 no representables en la forma x 2 + y 2 + 10 z 2 . [1] Basándose en los cálculos de Galway, Ken Ono y K. Soundararajan formularon la siguiente conjetura: [1]
La conjetura de Ken Ono y Soundararajan no ha sido resuelta por completo. Sin embargo, además de los resultados enunciados por Ramanujan, se han establecido algunos resultados más generales sobre la forma. Las pruebas de algunos de ellos son bastante simples, mientras que las de otros implican conceptos y argumentos bastante complicados. [1]