Estimación de la densidad del grano.

Estimador

Estimación de la densidad del kernel de 100 números aleatorios distribuidos normalmente utilizando diferentes anchos de banda de suavizado.

En estadística , la estimación de densidad de kernel ( KDE ) es la aplicación del suavizado de kernel para la estimación de densidad de probabilidad , es decir, un método no paramétrico para estimar la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria basada en kernels como ponderaciones . KDE responde a un problema fundamental de suavizado de datos en el que se hacen inferencias sobre la población basándose en una muestra de datos finita . En algunos campos, como el procesamiento de señales y la econometría, también se le denomina método de ventana de Parzen-Rosenblatt , en honor a Emanuel Parzen y Murray Rosenblatt , a quienes generalmente se les atribuye haberlo creado de forma independiente en su forma actual. ^{[1] [2] Una de las aplicaciones famosas de la estimación de la densidad del núcleo es la estimación de las} densidades marginales de datos condicionales de clase cuando se utiliza un clasificador Bayes ingenuo , ^{[3] [4]} que puede mejorar la precisión de su predicción. ^[3]

Definición

Sean ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) muestras independientes e idénticamente distribuidas extraídas de alguna distribución univariada con una densidad desconocida ƒ en cualquier punto x dado . Estamos interesados ​​en estimar la forma de esta función ƒ . Su estimador de densidad de núcleo es

${\displaystyle {\widehat {f}}_{h}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}K_{h}(x-x_{i})={\frac {1}{nh}}\sum _{i=1}^{n}K{\Big (}{\frac {x-x_{i}}{h}}{\Big )},}$

donde K es el núcleo (una función no negativa) y h > 0 es un parámetro de suavizado llamado ancho de banda . Un núcleo con subíndice h se llama núcleo escalado y se define como K _h ( x ) = K ( ) ${\displaystyle {\tfrac {1}{h}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {x}{h}}}$ . Intuitivamente uno quiere elegir h tan pequeño como lo permitan los datos; sin embargo, siempre existe un equilibrio entre el sesgo del estimador y su varianza. La elección del ancho de banda se analiza con más detalle a continuación.

Comúnmente se utiliza una variedad de funciones del kernel : uniforme, triangular, biweight, triweight, Epanechnikov, normal y otras. El núcleo de Epanechnikov es óptimo en el sentido del error cuadrático medio, ^[5] aunque la pérdida de eficiencia es pequeña para los núcleos enumerados anteriormente. ^[6] Debido a sus convenientes propiedades matemáticas, el núcleo normal se usa a menudo, lo que significa K ( x ) = ϕ ( x ) , donde ϕ es la función de densidad normal estándar .

La construcción de una estimación de la densidad del núcleo encuentra interpretaciones en campos fuera de la estimación de la densidad. ^[7] Por ejemplo, en termodinámica , esto es equivalente a la cantidad de calor generado cuando _los núcleos de calor (la solución fundamental de la ecuación de calor ) se colocan en cada ubicación de punto de datos xi . Se utilizan métodos similares para construir operadores de Laplace discretos en nubes de puntos para aprendizaje múltiple (por ejemplo, mapa de difusión ).

Ejemplo

Las estimaciones de densidad del kernel están estrechamente relacionadas con los histogramas , pero se les pueden dotar de propiedades como suavidad o continuidad mediante el uso de un kernel adecuado. El siguiente diagrama basado en estos 6 puntos de datos ilustra esta relación:

Para el histograma, primero, el eje horizontal se divide en subintervalos o contenedores que cubren el rango de datos: en este caso, seis contenedores cada uno de ancho 2. Siempre que un punto de datos cae dentro de este intervalo, se crea un cuadro de altura 1 /12 se coloca allí. Si más de un punto de datos cae dentro del mismo contenedor, las cajas se apilan una encima de la otra.

_{Para la estimación de la} densidad de granos, se colocan granos normales con una desviación estándar de 1,5 (indicada por las líneas discontinuas rojas) en cada uno de los puntos de datos xi . Los granos se suman para hacer la estimación de la densidad de los granos (curva azul continua). La suavidad de la estimación de la densidad del núcleo (en comparación con la discreción del histograma) ilustra cómo las estimaciones de la densidad del núcleo convergen más rápidamente a la verdadera densidad subyacente para variables aleatorias continuas. ^[8]

Comparación del histograma (izquierda) y la estimación de densidad del núcleo (derecha) construida con los mismos datos. Los seis granos individuales son las curvas discontinuas rojas, la estimación de la densidad de los granos son las curvas azules. Los puntos de datos son el diagrama de alfombra en el eje horizontal.

Selección de ancho de banda

Estimación de la densidad del kernel (KDE) con diferentes anchos de banda de una muestra aleatoria de 100 puntos de una distribución normal estándar. Gris: densidad real (estándar normal). Rojo: KDE con h=0,05. Negro: KDE con h=0,337. Verde: KDE con h=2.

El ancho de banda del núcleo es un parámetro libre que presenta una fuerte influencia en la estimación resultante. Para ilustrar su efecto, tomamos una muestra aleatoria simulada de la distribución normal estándar (trazada en los picos azules en el diagrama de alfombra en el eje horizontal). La curva gris es la densidad verdadera (una densidad normal con media 0 y varianza 1). En comparación, la curva roja no está suficientemente suavizada ya que contiene demasiados artefactos de datos espurios que surgen del uso de un ancho de banda h = 0,05, que es demasiado pequeño. La curva verde está demasiado suavizada ya que el uso del ancho de banda h = 2 oscurece gran parte de la estructura subyacente. Se considera que la curva negra con un ancho de banda de h = 0,337 está óptimamente suavizada ya que su estimación de densidad está cerca de la densidad real. Se encuentra una situación extrema en el límite (sin suavizado), donde la estimación es una suma de n funciones delta centradas en las coordenadas de las muestras analizadas. En el otro límite extremo la estimación conserva la forma del grano utilizado, centrado en la media de las muestras (completamente liso). ${\displaystyle h\to 0}$ ${\displaystyle h\to \infty }$

El criterio de optimización más común utilizado para seleccionar este parámetro es la función de riesgo _L2 esperada , también denominada error cuadrático integrado medio :

${\displaystyle \operatorname {MISE} (h)=\operatorname {E} \!\left[\,\int ({\hat {f}}_{h}(x)-f(x))^{2}\,dx\right]}$

Bajo supuestos débiles sobre ƒ y K , ( ƒ es la función de densidad real, generalmente desconocida), ^{[1] [2]}

${\displaystyle \operatorname {MISE} (h)=\operatorname {AMISE} (h)+{\mathcal {o}}((nh)^{-1}+h^{4})}$

donde o es la pequeña notación o y n el tamaño de la muestra (como arriba). La AMISE es la MISE asintótica, es decir. mi. los dos términos principales,

${\displaystyle \operatorname {AMISE} (h)={\frac {R(K)}{nh}}+{\frac {1}{4}}m_{2}(K)^{2}h^{4}R(f'')}$

donde para una función g , y es la segunda derivada de y es el núcleo. El mínimo de esta AMISE es la solución de esta ecuación diferencial ${\displaystyle R(g)=\int g(x)^{2}\,dx}$ ${\displaystyle m_{2}(K)=\int x^{2}K(x)\,dx}$ ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial h}}\operatorname {AMISE} (h)=-{\frac {R(K)}{nh^{2}}}+m_{2}(K)^{2}h^{3}R(f'')=0}$

o

${\displaystyle h_{\operatorname {AMISE} }={\frac {R(K)^{1/5}}{m_{2}(K)^{2/5}R(f'')^{1/5}}}n^{-1/5}=Cn^{-1/5}}$

Ni las fórmulas AMISE ni h _AMISE se pueden utilizar directamente ya que involucran la función de densidad desconocida o su segunda derivada . Para superar esa dificultad, se han desarrollado una variedad de métodos automáticos basados ​​en datos para seleccionar el ancho de banda. Se han realizado varios estudios de revisión para comparar sus eficacias, ^{[9] [10] [11] [12] [13] [14] [15]} con el consenso general de que los selectores de complementos ^{[7] [16] [17 ]} y los selectores de validación cruzada ^{[18] [19] [20]} son ​​los más útiles en una amplia gama de conjuntos de datos. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f''}$

Sustituyendo cualquier ancho de banda h que tenga el mismo orden asintótico n ^−1/5 que h _AMISE en AMISE se obtiene que AMISE( h ) = O ( n ^−4/5 ), donde O es la notación O grande . Se puede demostrar que, bajo supuestos débiles, no puede existir un estimador no paramétrico que converja a un ritmo más rápido que el estimador kernel. ^[21] Tenga en cuenta que la tasa n ^−4/5 es más lenta que la tasa de convergencia típica n ⁻¹ de los métodos paramétricos.

Si el ancho de banda no se mantiene fijo, sino que varía dependiendo de la ubicación de la estimación (estimador de globo) o de las muestras (estimador puntual), esto produce un método particularmente poderoso denominado estimación de densidad del kernel de ancho de banda variable o adaptativo .

La selección del ancho de banda para la estimación de la densidad del núcleo de distribuciones de cola pesada es relativamente difícil. ^[22]

Un estimador de ancho de banda de regla general

Si se utilizan funciones de base gaussianas para aproximar datos univariados y la densidad subyacente que se estima es gaussiana, la elección óptima para h (es decir, el ancho de banda que minimiza el error cuadrático integrado medio ) es: ^[23]

${\displaystyle h=\left({\frac {4{\hat {\sigma }}^{5}}{3n}}\right)^{\frac {1}{5}}\approx 1.06\,{\hat {\sigma }}\,n^{-1/5},}$

Un valor se considera más robusto cuando mejora el ajuste para distribuciones asimétricas y de cola larga o para distribuciones mixtas bimodales. A menudo, esto se hace empíricamente reemplazando la desviación estándar por el siguiente parámetro: ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\min \left({\hat {\sigma }},{\frac {IQR}{1.34}}\right)}$donde IQR es el rango intercuartil.

Comparación entre la regla general y el ancho de banda de resolución de ecuaciones.

Otra modificación que mejorará el modelo es reducir el factor de 1,06 a 0,9. Entonces la fórmula final sería:

${\displaystyle h=0.9\,\min \left({\hat {\sigma }},{\frac {IQR}{1.34}}\right)\,n^{-{\frac {1}{5}}}}$

¿Dónde está el tamaño de la muestra? ${\displaystyle n}$

Esta aproximación se denomina aproximación de distribución normal , aproximación gaussiana o regla general de Silverman . ^[23] Si bien esta regla general es fácil de calcular, debe usarse con precaución, ya que puede producir estimaciones muy inexactas cuando la densidad no está cerca de ser normal. Por ejemplo, al estimar el modelo de mezcla gaussiana bimodal

${\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}(x-10)^{2}}+{\frac {1}{2{\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}(x+10)^{2}}}$

A partir de una muestra de 200 puntos, la figura de la derecha muestra la densidad real y dos estimaciones de densidad del núcleo: una que utiliza el ancho de banda de la regla general y la otra que utiliza un ancho de banda de resolución de ecuaciones. ^{[7] [17]} La ​​estimación basada en la regla general del ancho de banda está significativamente sobresuavizada.

Relación con la función característica estimador de densidad.

Dada la muestra ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ), es natural estimar la función característica φ ( t ) = E[ e ^itX ] como

${\displaystyle {\widehat {\varphi }}(t)={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}e^{itx_{j}}}$

Conociendo la función característica, es posible encontrar la función de densidad de probabilidad correspondiente mediante la fórmula de la transformada de Fourier . Una dificultad al aplicar esta fórmula de inversión es que conduce a una integral divergente, ya que la estimación no es confiable para t grandes . Para evitar este problema, el estimador se multiplica por una función de amortiguación ψ _h ( t ) = ψ ( ht ) , que es igual a 1 en el origen y luego cae a 0 en el infinito. El “parámetro de ancho de banda” h controla qué tan rápido intentamos amortiguar la función . En particular, cuando h es pequeño, entonces ψ _h ( t ) será aproximadamente uno para un rango grande de t , lo que significa que permanece prácticamente inalterado en la región más importante de t . ${\displaystyle \scriptstyle {\widehat {\varphi }}(t)}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\widehat {\varphi }}(t)}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\widehat {\varphi }}(t)}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\widehat {\varphi }}(t)}$

La elección más común para la función ψ es la función uniforme ψ ( t ) = 1 {−1 ≤ t ≤ 1 }, lo que efectivamente significa truncar el intervalo de integración en la fórmula de inversión a [−1/ h , 1/ h ] , o la función gaussiana ψ ( t ) = e ^{- π t 2} . Una vez elegida la función ψ , se podrá aplicar la fórmula de inversión y el estimador de densidad será

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\widehat {\varphi }}(t)\psi _{h}(t)e^{-itx}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}e^{it(x_{j}-x)}\psi (ht)\,dt\\[5pt]&={\frac {1}{nh}}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-i(ht){\frac {x-x_{j}}{h}}}\psi (ht)\,d(ht)={\frac {1}{nh}}\sum _{j=1}^{n}K{\Big (}{\frac {x-x_{j}}{h}}{\Big )},\end{aligned}}}$

donde K es la transformada de Fourier de la función de amortiguación ψ . Por tanto, el estimador de densidad del kernel coincide con el estimador de densidad de la función característica.

Características geométricas y topológicas.

Podemos extender la definición del modo (global) a un sentido local y definir los modos locales:

${\displaystyle M=\{x:g(x)=0,\lambda _{1}(x)<0\}}$

Es decir, es el conjunto de puntos para los cuales la función de densidad se maximiza localmente. Un estimador natural de es un complemento de KDE, ^{[24] [25]} donde y son la versión de KDE de y . Bajo supuestos suaves, es un estimador consistente de . Tenga en cuenta que se puede utilizar el algoritmo de desplazamiento medio ^{[26] [27] [28]} para calcular el estimador numéricamente. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle \lambda _{1}(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle \lambda _{1}(x)}$ ${\displaystyle M_{c}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{c}}$

Implementación estadística

Una lista no exhaustiva de implementaciones de software de estimadores de densidad del kernel incluye:

• En Analytica versión 4.4, la opción Suavizado para resultados PDF usa KDE y, a partir de expresiones, está disponible a través de la función incorporada Pdf.
• En C / C++ , FIGTree es una biblioteca que se puede utilizar para calcular estimaciones de densidad del núcleo utilizando núcleos normales. Interfaz MATLAB disponible.
• En C++ , libagf es una biblioteca para la estimación de densidad de núcleo variable .
• En C++ , mlpack es una biblioteca que puede calcular KDE utilizando muchos núcleos diferentes. Permite establecer una tolerancia a errores para un cálculo más rápido. Las interfaces Python y R están disponibles.
• En C# y F# , Math.NET Numerics es una biblioteca de código abierto para cálculo numérico que incluye estimación de densidad del núcleo.
• En CrimeStat , la estimación de la densidad del núcleo se implementa utilizando cinco funciones del núcleo diferentes: normal, uniforme, cuártica, exponencial negativa y triangular. Se encuentran disponibles rutinas de estimación de densidad de núcleo único y doble. La estimación de la densidad del kernel también se utiliza para interpolar una rutina Head Bang, para estimar una función de densidad bidimensional del viaje al delito y para estimar una estimación bayesiana tridimensional del viaje al delito.
• En ELKI , las funciones de densidad del kernel se pueden encontrar en el paquetede.lmu.ifi.dbs.elki.math.statistics.kernelfunctions
• En los productos ESRI , el mapeo de densidad del kernel se administra desde la caja de herramientas de Spatial Analyst y utiliza el kernel Quartic (biweight).
• En Excel , la Royal Society of Chemistry ha creado un complemento para ejecutar la estimación de la densidad del núcleo basándose en su Informe técnico 4 del Comité de métodos analíticos.
• En gnuplot , la estimación de la densidad del kernel se implementa mediante la smooth kdensityopción, el archivo de datos puede contener un peso y un ancho de banda para cada punto, o el ancho de banda se puede configurar automáticamente ^[29] de acuerdo con la "regla general de Silverman" (ver arriba).
• En Haskell , la densidad del kernel se implementa en el paquete de estadísticas.
• En IGOR Pro , la estimación de la densidad del kernel se implementa mediante la StatsKDEoperación (agregada en Igor Pro 7.00). El ancho de banda puede ser especificado por el usuario o estimado mediante Silverman, Scott o Bowmann y Azzalini . Los tipos de kernel son: Epanechnikov, Bi-peso, Tri-peso, Triangular, Gaussiano y Rectangular.
• En Java , el paquete de aprendizaje automático Weka proporciona weka.estimators.KernelEstimator, entre otros.
• En JavaScript , el paquete de visualización D3.js ofrece un paquete KDE en su paquete science.stats.
• En JMP , la plataforma Graph Builder utiliza la estimación de densidad del núcleo para proporcionar gráficos de contorno y regiones de alta densidad (HDR) para densidades bivariadas, y gráficos de violín y HDR para densidades univariadas. Los controles deslizantes permiten al usuario variar el ancho de banda. Las plataformas Fit Y by X y Distribution también proporcionan estimaciones bivariadas y univariadas de la densidad del núcleo, respectivamente.
• En Julia , la estimación de la densidad del núcleo se implementa en el paquete KernelDensity.jl.
• En KNIME , se pueden generar y trazar distribuciones de densidad de kernel 1D y 2D utilizando nodos de la contribución de la comunidad Vernalis , por ejemplo, 1D Kernel Density Plot, entre otros. La implementación subyacente está escrita en Java .
• En MATLAB , la estimación de la densidad del kernel se implementa a través de la ksdensityfunción (Statistics Toolbox). A partir de la versión 2018a de MATLAB, se pueden especificar tanto el ancho de banda como la suavidad del kernel, incluidas otras opciones, como especificar el rango de densidad del kernel. ^[30] Alternativamente, un paquete de software MATLAB gratuito que implementa un método de selección automática de ancho de banda ^[7] está disponible en MATLAB Central File Exchange para
  • datos unidimensionales
  • datos bidimensionales
  • Datos n-dimensionales
    En estas páginas está disponible una caja de herramientas MATLAB gratuita con implementación de regresión kernel, estimación de densidad kernel, estimación kernel de función de riesgo y muchas otras (esta caja de herramientas es parte del libro ^[31] ).
• En Mathematica , la estimación numérica de la densidad del núcleo se implementa mediante la función SmoothKernelDistribution^[32] y la estimación simbólica se implementa utilizando la función KernelMixtureDistribution^[33], las cuales proporcionan anchos de banda basados ​​en datos.
• En Minitab , la Royal Society of Chemistry ha creado una macro para ejecutar la estimación de la densidad del núcleo basándose en su Informe técnico 4 del Comité de métodos analíticos. ^[34]
• En la biblioteca NAG , la estimación de la densidad del núcleo se implementa mediante la g10barutina (disponible en las versiones Fortran ^[35] y C ^[36] de la biblioteca).
• En Nuklei, los métodos de densidad del kernel de C++ se centran en datos del grupo euclidiano especial . ${\displaystyle SE(3)}$
• En Octave , la estimación de la densidad del núcleo se implementa mediante la kernel_densityopción (paquete econométrico).
• En Origin , el gráfico de densidad del kernel 2D se puede realizar desde su interfaz de usuario, y se pueden usar dos funciones, Ksdensity para 1D y Ks2density para 2D desde su código LabTalk, Python o C.
• En Perl , se puede encontrar una implementación en el módulo Statistics-KernelEstimation
• En PHP , se puede encontrar una implementación en la biblioteca MathPHP.
• En Python , existen muchas implementaciones: pyqt_fit.kde Módulo en el paquete PyQt-Fit, SciPy ( scipy.stats.gaussian_kde), Statsmodels ( KDEUnivariatey KDEMultivariate) y scikit-learn ( KernelDensity) (ver comparación ^[37] ). KDEpy admite datos ponderados y su implementación FFT es mucho más rápida que las otras implementaciones. La biblioteca pandas de uso común [1] ofrece soporte para el trazado de kde mediante el método de trazado ( df.plot(kind='kde')[2]). El paquete getdist para muestras MCMC ponderadas y correlacionadas admite ancho de banda optimizado, corrección de límites y métodos de orden superior para distribuciones 1D y 2D. Un paquete recientemente utilizado para la estimación de la densidad del grano es seaborn ( import seaborn as sns, sns.kdeplot()). ^[38] También existe una implementación GPU de KDE. ^[39]
• En R , se implementa a través densityde la distribución base y bw.nrd0la función se usa en el paquete de estadísticas; esta función usa la fórmula optimizada en el libro de Silverman. bkdeen la biblioteca KernSmooth, ParetoDensityEstimationen la biblioteca DataVisualizations (para estimación de densidad de distribución de Pareto), kdeen la biblioteca ks dkdeny dbckdenen la biblioteca evmix (esta última para estimación de densidad de kernel con corrección de límites para soporte acotado), npudensen la biblioteca np (datos numéricos y categóricos ) , sm.densityen la biblioteca sm. Para ver una implementación de la kde.Rfunción, que no requiere instalar ningún paquete o biblioteca, consulte kde.R. La biblioteca btb, dedicada al análisis urbano, implementa la estimación de la densidad del kernel a través de kernel_smoothing.
• En SAS , proc kdese puede utilizar para estimar densidades de kernel univariadas y bivariadas.
• En Apache Spark , la KernelDensity()clase ^[40]
• En Stata , se implementa a través de kdensity; ^[41] por ejemplo histogram x, kdensity. Alternativamente, está disponible un módulo Stata gratuito KDENS ^[42] que permite al usuario estimar funciones de densidad 1D o 2D.
• En Swift , se implementa a través SwiftStats.KernelDensityEstimationde la biblioteca de estadísticas de código abierto SwiftStats.

Ver también

• Núcleo (estadísticas)
• Alisado del grano
• regresión del núcleo
• Estimación de densidad (con presentación de otros ejemplos)
• cambio medio
• Espacio de escala : los tripletes {( x , h , KDE con ancho de banda h evaluado en x : todos x , h > 0} forman una representación de espacio de escala de los datos.
• Estimación multivariante de la densidad del kernel.
• Estimación de la densidad del grano variable.
• Roturas de cabeza/cola

Otras lecturas

• Härdle, Müller, Sperlich, Werwatz, Métodos no paramétricos y semiparamétricos , Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2004, págs. 39–83

Referencias

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enlaces externos

• Introducción a la estimación de la densidad del núcleo Un breve tutorial que motiva a los estimadores de densidad del núcleo como una mejora con respecto a los histogramas.
• Optimización del ancho de banda del kernel Una herramienta en línea gratuita que genera una estimación optimizada de la densidad del kernel.
• El software gratuito en línea (Calculadora) calcula la estimación de la densidad del kernel para una serie de datos de acuerdo con los siguientes kernels: gaussiano, epanechnikov, rectangular, triangular, bipeso, coseno y optcoseno.
• Applet de estimación de densidad de núcleo Un ejemplo interactivo en línea de estimación de densidad de núcleo. Requiere .NET 3.0 o posterior.