Energía cinética de turbulencia

Energía cinética media por unidad de masa de los remolinos en flujo turbulento

En dinámica de fluidos , la energía cinética de turbulencia ( TKE ) es la energía cinética media por unidad de masa asociada con los remolinos en el flujo turbulento . Físicamente, la energía cinética de turbulencia se caracteriza por fluctuaciones de velocidad medidas por raíz cuadrada media (RMS). En las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds , la energía cinética de turbulencia se puede calcular con base en el método de cierre, es decir, un modelo de turbulencia .

La TKE se puede definir como la mitad de la suma de las varianzas σ² (cuadrado de las desviaciones estándar σ) de los componentes de velocidad fluctuantes: donde cada componente de velocidad turbulenta es la diferencia entre la velocidad instantánea y la velocidad promedio: ( descomposición de Reynolds ). La media y la varianza son respectivamente. $${\displaystyle k={\frac {1}{2}}(\sigma _{u}^{2}+\sigma _{v}^{2}+\sigma _{w}^{2})={\frac {1}{2}}\left(\,{\overline {(u')^{2}}}+{\overline {(v')^{2}}}+{\overline {(w')^{2}}}\,\right),}$$ ${\displaystyle u'=u-{\overline {u}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {u'}}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}(u(t)-{\overline {u}})\,dt=0,\\[4pt]{\overline {(u')^{2}}}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}(u(t)-{\overline {u}})^{2}\,dt\geq 0=\sigma _{u}^{2},\end{aligned}}}$$

La energía cinética de la turbulencia puede producirse por cizallamiento, fricción o flotabilidad del fluido, o por medio de fuerzas externas a escalas de remolinos de baja frecuencia (escala integral). La energía cinética de la turbulencia se transfiere luego a lo largo de la cascada de energía de turbulencia y se disipa por fuerzas viscosas a escala de Kolmogorov . Este proceso de producción, transporte y disipación se puede expresar como: donde: ^[1] $${\displaystyle {\frac {Dk}{Dt}}+\nabla \cdot T'=P-\varepsilon ,}$$

• ⁠ ⁠ es la ${\displaystyle {\tfrac {Dk}{Dt}}}$derivada del material de flujo medio de TKE;
• ∇ · T′ es el transporte de turbulencia de TKE;
• P es la producción de TKE, y
• ε es la disipación de TKE.

Suponiendo que la viscosidad molecular es constante y realizando la aproximación de Boussinesq , la ecuación TKE es: $${\displaystyle \underbrace {\frac {\partial k}{\partial t}} _{{\text{Local}} \atop {\text{derivative}}}\!\!\!+\ \underbrace {{\overline {u}}_{j}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}} _{{\text{Advection}} \atop {}}=-\underbrace {{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial {\overline {u'_{i}p'}}}{\partial x_{i}}}} _{{\text{Pressure}} \atop {\text{diffusion}}}-\underbrace {{\frac {1}{2}}{\frac {\partial {\overline {u_{j}'u_{j}'u_{i}'}}}{\partial x_{i}}}} _{{{\text{Turbulent}} \atop {\text{transport}}} \atop {\mathcal {T}}}+\underbrace {\nu {\frac {\partial ^{2}k}{\partial x_{j}^{2}}}} _{{{\text{Molecular}} \atop {\text{viscous}}} \atop {\text{transport}}}-\underbrace {{\overline {u'_{i}u'_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}} _{{\text{Production}} \atop {\mathcal {P}}}-\underbrace {\nu {\overline {{\frac {\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}}{\frac {\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}}}}} _{{\text{Dissipation}} \atop \varepsilon _{k}}-\underbrace {{\frac {g}{\rho _{o}}}{\overline {\rho 'u'_{i}}}\delta _{i3}} _{{\text{Buoyancy flux}} \atop b}}$$

Al examinar estos fenómenos, se puede encontrar el presupuesto de energía cinética de turbulencia para un flujo particular. ^[2]

Dinámica de fluidos computacional

En dinámica de fluidos computacional (CFD), es imposible simular numéricamente la turbulencia sin discretizar el campo de flujo hasta las microescalas de Kolmogorov , lo que se denomina simulación numérica directa (DNS). Debido a que las simulaciones DNS son exorbitantemente costosas debido a los costos de memoria, computación y almacenamiento, se utilizan modelos de turbulencia para simular los efectos de la turbulencia. Se utilizan diversos modelos, pero generalmente la TKE es una propiedad fundamental del flujo que debe calcularse para poder modelar la turbulencia del fluido.

Ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds

Las simulaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds (RANS) utilizan la hipótesis de viscosidad de remolino de Boussinesq ^[3] para calcular la tensión de Reynolds que resulta del procedimiento de promediado: donde $${\displaystyle {\overline {u'_{i}u'_{j}}}={\frac {2}{3}}k\delta _{ij}-\nu _{t}\left({\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{j}}}}{\partial x_{i}}}\right),}$$ $${\displaystyle \nu _{t}=c\cdot {\sqrt {k}}\cdot l_{m}.}$$

El método exacto para resolver TKE depende del modelo de turbulencia utilizado; los modelos k – ε (k–epsilon) suponen isotropía de turbulencia, por lo que las tensiones normales son iguales: $${\displaystyle {\overline {(u')^{2}}}={\overline {(v')^{2}}}={\overline {(w')^{2}}}.}$$

Esta suposición hace que el modelado de las cantidades de turbulencia ( k y ε ) sea más simple, pero no será precisa en escenarios donde predomina el comportamiento anisotrópico de las tensiones de turbulencia, y las implicaciones de esto en la producción de turbulencia también conducen a una predicción excesiva, ya que la producción depende de la tasa media de deformación, y no de la diferencia entre las tensiones normales (ya que, por suposición, son iguales). ^[4]

Los modelos de tensión de Reynolds (RSM) utilizan un método diferente para cerrar las tensiones de Reynolds, mediante el cual no se supone que las tensiones normales sean isotrópicas, por lo que se evita el problema con la producción de TKE.

Condiciones iniciales

La prescripción precisa de TKE como condiciones iniciales en simulaciones CFD es importante para predecir con precisión los flujos, especialmente en simulaciones con un número de Reynolds alto. A continuación se muestra un ejemplo de conducto liso. donde I es la intensidad de turbulencia inicial [%] que se indica a continuación y U es la magnitud de velocidad inicial. Como ejemplo para flujos en tuberías, con el número de Reynolds basado en el diámetro de la tubería: $${\displaystyle k={\frac {3}{2}}(UI)^{2},}$$ $${\displaystyle I=0.16Re^{-{\frac {1}{8}}}.}$$

Aquí l es la escala de longitud de turbulencia o remolino, que se muestra a continuación, y c _μ es un parámetro de modelo k – ε cuyo valor normalmente se da como 0,09;

$${\displaystyle \varepsilon ={c_{\mu }}^{\frac {3}{4}}k^{\frac {3}{2}}l^{-1}.}$$

La escala de longitud turbulenta se puede estimar como una longitud característica, siendo L la longitud característica para flujos internos, que puede tomar el valor del ancho (o diámetro) del conducto (o tubería) de entrada o el diámetro hidráulico. ^[5] $${\displaystyle l=0.07L,}$$

Referencias

1. Pope, SB (2000). Flujos turbulentos . Cambridge: Cambridge University Press . Págs. 122-134. ISBN. 978-0521598866.
2. Baldocchi, D. (2005), Conferencia 16, Viento y turbulencia, Parte 1, Capa límite superficial: teoría y principios , División de Ciencias de los Ecosistemas, Departamento de Ciencias Ambientales, Políticas y Gestión, Universidad de California, Berkeley, CA: EE. UU.
3. Boussinesq, JV (1877). "Teoría del encuentro Tourbillant". Memoria. Présentés Par Divers Savants Acad. Ciencia. Inst. P.​ 23 : 46–50.
4. Laurence, D. (2002). "Aplicaciones de las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds a los flujos industriales". En van Beeck, JPAJ; Benocci, C. (eds.). Introducción al modelado de la turbulencia, celebrado del 18 al 22 de marzo de 2002 en el Instituto Von Karman de Dinámica de Fluidos . Sint-Genesius-Rode : Instituto Von Karman de Dinámica de Fluidos .
5. Flórez Orrego; et al. (2012). "Estudio experimental y de CFD de un intercambiador de calor helicoidal cónico monofásico: una correlación empírica". Actas de ECOS 2012 – La 25.ª Conferencia internacional sobre eficiencia, costes, optimización, simulación e impacto medioambiental de los sistemas energéticos, 26-29 de junio de 2012, Perugia, Italia . ISBN 978-88-6655-322-9.

Lectura adicional

• Energía cinética de turbulencia en CFD Online.
• Absi, R. (2008). "Soluciones analíticas para la ecuación k modelada". Journal of Applied Mechanics . 75 (44501): 044501. Bibcode :2008JAM....75d4501A. doi :10.1115/1.2912722.
• Lacey, RWJ; Neary, VS; Liao, JC; Enders, EC; Tritico, HM (2012). "El marco IPOS: vinculando el rendimiento de natación de los peces en flujos alterados desde experimentos de laboratorio hasta ríos". River Res. Applic. 28 (4), págs. 429–443. doi:10.1002/rra.1584.
• Wilcox, DC (2006). "Modelado de turbulencia para CFD". Tercera edición. DCW Industries, La Canada, EE. UU. ISBN 978-1-928729-08-2.