Ecuaciones de Londres

Ecuaciones electromagnéticas que describen los superconductores

A medida que un material desciende por debajo de su temperatura crítica superconductora, los campos magnéticos dentro del material se expulsan a través del efecto Meissner . Las ecuaciones de London dan una explicación cuantitativa de este efecto.

Las ecuaciones de London, desarrolladas por los hermanos Fritz y Heinz London en 1935, ^[1] son ​​relaciones constitutivas para un superconductor que relacionan su corriente superconductora con los campos electromagnéticos dentro y alrededor de él. Mientras que la ley de Ohm es la relación constitutiva más simple para un conductor ordinario , las ecuaciones de London son la descripción significativa más simple de los fenómenos superconductores y forman la génesis de casi cualquier texto introductorio moderno sobre el tema. ^{[2] [3] [4]} Un triunfo importante de las ecuaciones es su capacidad para explicar el efecto Meissner , ^[5] en el que un material expulsa exponencialmente todos los campos magnéticos internos a medida que cruza el umbral superconductor.

Descripción

Hay dos ecuaciones de Londres cuando se expresan en términos de campos mensurables:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} _{\rm {s}}}{\partial t}}={\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {E} ,\qquad \mathbf {\nabla } \times \mathbf {j} _{\rm {s}}=-{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} .}$

Aquí está la densidad de corriente (superconductora) , E y B son respectivamente los campos eléctrico y magnético dentro del superconductor, es la carga de un electrón o protón, es la masa del electrón y es una constante fenomenológica asociada vagamente con una densidad numérica de portadores superconductores. ^[6] ${\displaystyle {\mathbf {j} }_{\rm {s}}}$ ${\displaystyle e\,}$ ${\displaystyle m\,}$ ${\displaystyle n_{\rm {s}}\,}$

Las dos ecuaciones se pueden combinar en una única "Ecuación de Londres" ^{[6] [7]} en términos de un potencial vectorial específico que se ha fijado mediante un calibre en el "calibre de Londres", dando como resultado: ^[8] ${\displaystyle \mathbf {A} _{\rm {s}}}$

${\displaystyle \mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {A} _{\rm {s}}.}$

En el calibre de Londres, el potencial vectorial obedece a los siguientes requisitos, lo que garantiza que pueda interpretarse como una densidad de corriente: ^[9]

• ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} _{\rm {s}}=0,}$
• ${\displaystyle \mathbf {A} _{\rm {s}}=0}$en la masa superconductor,
• ${\displaystyle \mathbf {A} _{\rm {s}}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}=0,}$donde es el vector normal en la superficie del superconductor. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

El primer requisito, también conocido como condición de calibre de Coulomb , conduce a la densidad de electrones superconductores constante como se espera de la ecuación de continuidad. El segundo requisito es consistente con el hecho de que la supercorriente fluye cerca de la superficie. El tercer requisito asegura que no haya acumulación de electrones superconductores en la superficie. Estos requisitos eliminan toda libertad de calibre y determinan de manera única el potencial vectorial. También se puede escribir la ecuación de London en términos de un calibre arbitrario ^[10] simplemente definiendo , donde es una función escalar y es el cambio en el calibre que cambia el calibre arbitrario al calibre de London. La expresión del potencial vectorial es válida para campos magnéticos que varían lentamente en el espacio. ^[4] ${\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {s}}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{\rm {s}}=(\mathbf {A} +\nabla \phi )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \nabla \phi }$

Profundidad de penetración en Londres

Si se manipula la segunda de las ecuaciones de London aplicando la ley de Ampere , ^[11]

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} }$,

Luego se puede convertir en la ecuación de Helmholtz para el campo magnético:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{\lambda _{\rm {s}}^{2}}}\mathbf {B} }$

donde el inverso del valor propio laplaciano :

${\displaystyle \lambda _{\rm {s}}\equiv {\sqrt {\frac {m}{\mu _{0}n_{\rm {s}}e^{2}}}}}$

es la escala de longitud característica, , sobre la cual los campos magnéticos externos se suprimen exponencialmente: se llama profundidad de penetración de London : los valores típicos son de 50 a 500 nm . ${\displaystyle \lambda _{\rm {s}}}$

Por ejemplo, considere un superconductor dentro del espacio libre donde el campo magnético fuera del superconductor es un valor constante que apunta paralelo al plano límite superconductor en la dirección z . Si x conduce perpendicularmente al límite, entonces se puede demostrar que la solución dentro del superconductor es

${\displaystyle B_{z}(x)=B_{0}e^{-x/\lambda _{\rm {s}}}.\,}$

Desde aquí quizás se pueda discernir más fácilmente el significado físico de la profundidad de penetración de Londres.

Razón fundamental

Argumentos originales

Si bien es importante señalar que las ecuaciones anteriores no se pueden derivar formalmente, ^[12] los hermanos London siguieron una cierta lógica intuitiva en la formulación de su teoría. Las sustancias en un rango sorprendentemente amplio de composición se comportan aproximadamente de acuerdo con la ley de Ohm , que establece que la corriente es proporcional al campo eléctrico. Sin embargo, tal relación lineal es imposible en un superconductor porque, casi por definición, los electrones en un superconductor fluyen sin resistencia alguna. Para este fin, los hermanos London imaginaron los electrones como si fueran electrones libres bajo la influencia de un campo eléctrico externo uniforme. Según la ley de fuerza de Lorentz

${\displaystyle \mathbf {F} =m{\dot {\mathbf {v} }}=-e\mathbf {E} -e\mathbf {v} \times \mathbf {B} }$

Estos electrones deberían encontrarse con una fuerza uniforme y, por lo tanto, deberían acelerarse de manera uniforme. Supongamos que los electrones en el superconductor ahora están impulsados ​​por un campo eléctrico; entonces, según la definición de densidad de corriente, deberíamos tener ${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {s}}=-n_{\rm {s}}e\mathbf {v} _{\rm {s}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} _{s}}{\partial t}}=-n_{\rm {s}}e{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}={\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {E} }$

Esta es la primera ecuación de London. Para obtener la segunda ecuación, tome el rotacional de la primera ecuación de London y aplique la ley de Faraday .

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$,

Para obtener

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {j} _{\rm {s}}+{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} \right)=0.}$

En su forma actual, esta ecuación permite soluciones tanto constantes como exponencialmente decrecientes. Los London reconocieron, a partir del efecto Meissner, que las soluciones constantes distintas de cero no eran físicas y, por lo tanto, postularon que no sólo la derivada temporal de la expresión anterior era igual a cero, sino también que la expresión entre paréntesis debía ser idénticamente cero:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {j} _{\rm {s}}+{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} =0}$

Esto da como resultado la segunda ecuación de Londres y (hasta una transformación de calibre que se fija eligiendo "calibre de Londres") ya que el campo magnético se define a través de ${\displaystyle \mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {A} _{\rm {s}}}$ ${\displaystyle B=\nabla \times A_{\rm {s}}.}$

Además, de acuerdo con la ley de Ampere , se puede deducir que: ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} _{\rm {s}}}$ ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla \times \mu _{0}\mathbf {j} _{\rm {s}}=-{\frac {\mu _{0}n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} .}$

Por otra parte, como , tenemos , lo que conduce a que la distribución espacial del campo magnético obedece a: ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$ ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=-\nabla ^{2}\mathbf {B} }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{\lambda _{\rm {s}}^{2}}}\mathbf {B} }$

con profundidad de penetración . En una dimensión, dicha ecuación de Helmholtz tiene la forma de solución ${\displaystyle \lambda _{\rm {s}}={\sqrt {\frac {m}{\mu _{0}n_{\rm {s}}e^{2}}}}}$ ${\displaystyle B_{z}(x)=B_{0}e^{-x/\lambda _{\rm {s}}}.\,}$

Dentro del superconductor , el campo magnético decae exponencialmente, lo que explica bien el efecto Meissner. Con la distribución del campo magnético, podemos usar nuevamente la ley de Ampere para ver que la supercorriente también fluye cerca de la superficie del superconductor, como se esperaba del requisito de interpretación como corriente física. ${\displaystyle (x>0)}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} _{\rm {s}}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {s}}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {s}}}$

Si bien el razonamiento anterior es válido para los superconductores, también se puede argumentar de la misma manera para un conductor perfecto. Sin embargo, un hecho importante que distingue al superconductor del conductor perfecto es que el conductor perfecto no exhibe el efecto Meissner para . De hecho, la postulación no es válida para un conductor perfecto. En cambio, la derivada temporal debe mantenerse y no puede simplemente eliminarse. Esto da como resultado el hecho de que la derivada temporal del campo (en lugar del campo) obedece: ${\displaystyle T<T_{c}}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {j} _{\rm {s}}+{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \nabla ^{2}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {1}{\lambda _{\rm {s}}^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

En el interior de un conductor perfecto, tenemos en lugar de como superconductor. En consecuencia, si el flujo magnético dentro de un conductor perfecto se desvanecerá o no depende de la condición inicial (si está enfriado por campo cero o no). ${\displaystyle T<T_{c}}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {B} }}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {B} =0}$

Argumentos sobre el momento canónico

También es posible justificar las ecuaciones de Londres por otros medios. ^{[13] [14]} La densidad de corriente se define según la ecuación

${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {s}}=-n_{\rm {s}}e\mathbf {v} _{\rm {s}}.}$

Al pasar esta expresión de una descripción clásica a una de mecánica cuántica, debemos reemplazar los valores y por los valores esperados de sus operadores. El operador de velocidad ${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {s}}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\rm {s}}}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{\rm {s}}={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {p} +e\mathbf {A} _{\rm {s}}\right)}$

se define dividiendo el operador de momento cinemático invariante de calibre por la masa de la partícula m . ^[15] Nótese que estamos usando como la carga del electrón. Podemos entonces hacer este reemplazo en la ecuación anterior. Sin embargo, una suposición importante de la teoría microscópica de la superconductividad es que el estado superconductor de un sistema es el estado fundamental y, según un teorema de Bloch, ^[16] en tal estado el momento canónico p es cero. Esto deja ${\displaystyle -e}$

${\displaystyle \mathbf {j} =-{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {A} _{\rm {s}},}$

que es la ecuación de Londres según la segunda formulación anterior.

Referencias

1. Londres, F. ; Londres, H. (1935). "Las ecuaciones electromagnéticas del supraconductor". Actas de la Royal Society A: Ciencias matemáticas, físicas e ingeniería . 149 (866): 71. Bibcode :1935RSPSA.149...71L. doi : 10.1098/rspa.1935.0048 .
2. Michael Tinkham (1996). Introducción a la superconductividad . McGraw-Hill. ISBN 0-07-064878-6.
3. Neil Ashcroft ; David Mermin (1976). Física del estado sólido . Saunders College. pág. 738. ISBN 0-03-083993-9.
4. Charles Kittel (2005). Introducción a la física del estado sólido (8.ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-41526-X.
5. Meissner, W.; R. Ochsenfeld (1933). "Ein neuer Effekt bei Eintritt der Supraleitfähigkeit". Naturwissenschaften . 21 (44): 787. Código bibliográfico : 1933NW.....21..787M. doi :10.1007/BF01504252. S2CID  37842752.
6. James F. Annett (2004). Superconductividad, superfluidos y condensados . Oxford. pág. 58. ISBN 0-19-850756-9.
7. John David Jackson (1999). Electrodinámica clásica . John Wiley & Sons. pág. 604. ISBN 0-19-850756-9.
8. Londres, F. (1 de septiembre de 1948). "Sobre el problema de la teoría molecular de la superconductividad". Physical Review . 74 (5): 562–573. Bibcode :1948PhRv...74..562L. doi :10.1103/PhysRev.74.562.
9. Michael Tinkham (1996). Introducción a la superconductividad . McGraw-Hill. pág. 6. ISBN. 0-07-064878-6.
10. Bardeen, J. (1 de febrero de 1951). "Elección del calibre en el enfoque de London sobre la teoría de la superconductividad". Physical Review . 81 (3): 469–470. Bibcode :1951PhRv...81..469B. doi :10.1103/PhysRev.81.469.2.
11. (Se ignora el desplazamiento porque se supone que el campo eléctrico sólo varía lentamente con respecto al tiempo y el término ya está suprimido por un factor de c ).
12. Michael Tinkham (1996). Introducción a la superconductividad . McGraw-Hill. pág. 5. ISBN. 0-07-064878-6.
13. John David Jackson (1999). Electrodinámica clásica . John Wiley & Sons. págs. 603-604. ISBN. 0-19-850756-9.
14. Michael Tinkham (1996). Introducción a la superconductividad . McGraw-Hill. págs. 5-6. ISBN. 0-07-064878-6.
15. LD Landau y EM Lifshitz (1977). Mecánica cuántica: teoría no relativista . Butterworth-Heinemann. págs. 455-458. ISBN. 0-7506-3539-8.
16. Tinkham p.5: "Este teorema aparentemente no está publicado, aunque es famoso".