ecuación de goldman

Generalización de la ecuación de Nernst para el potencial de membrana.

La ecuación de voltaje de Goldman-Hodgkin-Katz , a veces llamada ecuación de Goldman , se utiliza en fisiología de la membrana celular para determinar el potencial de reposo a través de la membrana de una célula, teniendo en cuenta todos los iones que atraviesan esa membrana.

Los descubridores de esto son David E. Goldman de la Universidad de Columbia y los premios Nobel de Medicina Alan Lloyd Hodgkin y Bernard Katz .

Ecuación para iones monovalentes.

La ecuación de voltaje de GHK para especies iónicas positivas monovalentes y negativas: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle E_{m}={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {\sum _{i}^{n}P_{M_{i}^{+}}[M_{i}^{+}]_{\mathrm {out} }+\sum _{j}^{m}P_{A_{j}^{-}}[A_{j}^{-}]_{\mathrm {in} }}{\sum _{i}^{n}P_{M_{i}^{+}}[M_{i}^{+}]_{\mathrm {in} }+\sum _{j}^{m}P_{A_{j}^{-}}[A_{j}^{-}]_{\mathrm {out} }}}\right)}}$

Esto resulta en lo siguiente si consideramos una membrana que separa dos soluciones: ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle \mathrm {K} _{x}\mathrm {Na} _{1-x}\mathrm {Cl} }$

${\displaystyle E_{m,\mathrm {K} _{x}\mathrm {\text{Na}} _{1-x}\mathrm {Cl} }={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {P_{\text{Na}}[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {out} }+P_{\text{K}}[{\text{K}}^{+}]_{\mathrm {out} }+P_{\text{Cl}}[{\text{Cl}}^{-}]_{\mathrm {in} }}{P_{\text{Na}}[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {in} }+P_{\text{K}}[{\text{K}}^{+}]_{\mathrm {in} }+P_{\text{Cl}}[{\text{Cl}}^{-}]_{\mathrm {out} }}}\right)}}$

Es " similar a Nernst " pero tiene un término para cada ion permeante:

${\displaystyle E_{m,{\text{Na}}}={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {P_{\text{Na}}[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {out} }}{P_{\text{Na}}[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {in} }}}\right)}={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {out} }}{[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {in} }}}\right)}}$

• ${\displaystyle E_{m}}$= el potencial de membrana (en voltios , equivalente a julios por culombio )
• ${\displaystyle P_{\mathrm {ion} }}$= la selectividad para ese ion (en metros por segundo)
• ${\displaystyle [\mathrm {ion} ]_{\mathrm {out} }}$= la concentración extracelular de ese ion (en moles por metro cúbico, para igualar las otras unidades del SI ) ^[4]
• ${\displaystyle [\mathrm {ion} ]_{\mathrm {in} }}$= la concentración intracelular de ese ion (en moles por metro cúbico) ^[4]
• ${\displaystyle R}$= la constante del gas ideal (julios por kelvin por mol) ^[4]
• ${\displaystyle T}$= la temperatura en kelvins ^[4]
• ${\displaystyle F}$= Constante de Faraday (culombios por mol)

${\displaystyle {\frac {RT}{F}}}$es de aproximadamente 26,7 mV a la temperatura del cuerpo humano (37 °C); al factorizar la fórmula de cambio de base entre el logaritmo natural, ln, y el logaritmo con base 10 , se convierte en , un valor de uso frecuente en neurociencia. ${\displaystyle ([\log _{10}\exp(1)]^{-1}=\ln(10)=2.30258...)}$ ${\displaystyle 26.7\,\mathrm {mV} \cdot 2.303=61.5\,\mathrm {mV} }$

${\displaystyle E_{X}=61.5\,\mathrm {mV} \cdot \log {\left({\frac {[X^{+}]_{\mathrm {out} }}{[X^{+}]_{\mathrm {in} }}}\right)}=-61.5\,\mathrm {mV} \cdot \log {\left({\frac {[X^{-}]_{\mathrm {out} }}{[X^{-}]_{\mathrm {in} }}}\right)}}$

La carga iónica determina el signo de la contribución del potencial de membrana. Durante un potencial de acción, aunque el potencial de membrana cambia alrededor de 100 mV, las concentraciones de iones dentro y fuera de la célula no cambian significativamente. Siempre están muy cerca de sus respectivas concentraciones cuando la membrana está en su potencial de reposo.

Calculando el primer término

Usando , , (asumiendo la temperatura corporal) y el hecho de que un voltio es igual a un julio de energía por culombio de carga, la ecuación ${\displaystyle R\approx {\frac {8.3\ \mathrm {J} }{\mathrm {K} \cdot \mathrm {mol} }}}$ ${\displaystyle F\approx {\frac {9.6\times 10^{4}\ \mathrm {J} }{\mathrm {mol} \cdot \mathrm {V} }}}$ ${\displaystyle T=37\ ^{\circ }\mathrm {C} =310\ \mathrm {K} }$

${\displaystyle E_{X}={\frac {RT}{zF}}\ln {\frac {X_{o}}{X_{i}}}}$

se puede reducir a

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{X}&\approx {\frac {0.0267\ \mathrm {V} }{z}}\ln {\frac {X_{o}}{X_{i}}}\\&={\frac {26.7\ \mathrm {mV} }{z}}\ln {\frac {X_{o}}{X_{i}}}\\&\approx {\frac {61.5\ \mathrm {mV} }{z}}\log {\frac {X_{o}}{X_{i}}}&{\text{ since }}\ln 10\approx 2.303\end{aligned}}}$

que es la ecuación de Nernst .

Derivación

La ecuación de Goldman busca determinar el voltaje Em a través _de una membrana. ^[5] Se utiliza un sistema de coordenadas cartesianas para describir el sistema, siendo la dirección z perpendicular a la membrana. Suponiendo que el sistema es simétrico en las direcciones xey (alrededor y a lo largo del axón , respectivamente), sólo es necesario considerar la dirección z ; por tanto, el voltaje Em es la integral de la componente z del campo eléctrico a través _de la membrana.

Según el modelo de Goldman, sólo dos factores influyen en el movimiento de los iones a través de una membrana permeable: el campo eléctrico promedio y la diferencia en la concentración iónica de un lado a otro de la membrana. Se supone que el campo eléctrico es constante a través de la membrana, de modo que puede igualarse a _Em / L , donde L es el espesor de la membrana. Para un ion dado denominado A con valencia n _A , su flujo j _A —en otras palabras, el número de iones que cruzan por tiempo y por área de la membrana— viene dado por la fórmula

${\displaystyle j_{\mathrm {A} }=-D_{\mathrm {A} }\left({\frac {d\left[\mathrm {A} \right]}{dz}}-{\frac {n_{\mathrm {A} }F}{RT}}{\frac {E_{m}}{L}}\left[\mathrm {A} \right]\right)}$

El primer término corresponde a la ley de difusión de Fick , que da el flujo debido a la difusión a lo largo del gradiente de concentración , es decir, de mayor a menor concentración. La constante D _A es la constante de difusión del ion A. El segundo término refleja el flujo debido al campo eléctrico, que aumenta linealmente con el campo eléctrico; Formalmente, se multiplica [A] por la velocidad de deriva de los iones, expresando la velocidad de deriva utilizando la relación de Stokes-Einstein aplicada a la movilidad electroforética . Las constantes aquí son la valencia de carga n _A del ion A (por ejemplo, +1 para K ⁺ , +2 para Ca ²⁺ y −1 para Cl ⁻ ), la temperatura T (en kelvins ), la constante molar del gas R , y el faraday F , que es la carga total de un mol de electrones .

Esta es una EDO de primer orden de la forma y' = ay + b , con y = [A] e y' = d[A]/d z ; integrando ambos lados desde z = 0 hasta z = L con las condiciones de contorno [A](0) = [A] _adentro y [A]( L ) = [A] _afuera , se obtiene la solución

${\displaystyle j_{\mathrm {A} }=\mu n_{\mathrm {A} }P_{\mathrm {A} }{\frac {\left[\mathrm {A} \right]_{\mathrm {out} }-\left[\mathrm {A} \right]_{\mathrm {in} }e^{n_{\mathrm {A} }\mu }}{1-e^{n_{\mathrm {A} }\mu }}}}$

donde μ es un número adimensional

${\displaystyle \mu ={\frac {FE_{m}}{RT}}}$

y P _A es la permeabilidad iónica, definida aquí como

${\displaystyle P_{\mathrm {A} }={\frac {D_{\mathrm {A} }}{L}}}$

La densidad de corriente eléctrica J _A es igual a la carga q _A del ion multiplicada por el flujo j _A

${\displaystyle J_{A}=q_{\mathrm {A} }j_{\mathrm {A} }}$

La densidad de corriente tiene unidades de (Amperios/m ² ). El flujo molar tiene unidades de (mol/(sm ² )). Por lo tanto, para obtener la densidad de corriente a partir del flujo molar es necesario multiplicar por la constante F de Faraday (Coulombs/mol). Entonces F se cancelará de la siguiente ecuación. Dado que la valencia ya se ha tenido en cuenta anteriormente, la carga q _A de cada ion en la ecuación anterior debe interpretarse como +1 o -1 dependiendo de la polaridad del ion.

Existe una corriente asociada a cada tipo de ion que puede atravesar la membrana; esto se debe a que cada tipo de ion requeriría un potencial de membrana distinto para equilibrar la difusión, pero sólo puede haber un potencial de membrana. Por suposición, en el voltaje de Goldman Em _, la densidad de corriente total es cero

${\displaystyle J_{tot}=\sum _{A}J_{A}=0}$

(Aunque la corriente para cada tipo de ion considerado aquí es distinta de cero, hay otras bombas en la membrana, por ejemplo, Na ⁺ /K ⁺ -ATPasa , no consideradas aquí, que sirven para equilibrar la corriente de cada ion individual, de modo que las concentraciones de iones en ambos lados de la membrana no cambian con el tiempo en equilibrio.) Si todos los iones son monovalentes, es decir, si todos los n _A son iguales a +1 o -1, esta ecuación se puede escribir

${\displaystyle w-ve^{\mu }=0}$

cuya solución es la ecuación de Goldman

${\displaystyle {\frac {FE_{m}}{RT}}=\mu =\ln {\frac {w}{v}}}$

dónde

${\displaystyle w=\sum _{\mathrm {cations\ C} }P_{\mathrm {C} }\left[\mathrm {C} ^{+}\right]_{\mathrm {out} }+\sum _{\mathrm {anions\ A} }P_{\mathrm {A} }\left[\mathrm {A} ^{-}\right]_{\mathrm {in} }}$

${\displaystyle v=\sum _{\mathrm {cations\ C} }P_{\mathrm {C} }\left[\mathrm {C} ^{+}\right]_{\mathrm {in} }+\sum _{\mathrm {anions\ A} }P_{\mathrm {A} }\left[\mathrm {A} ^{-}\right]_{\mathrm {out} }}$

Si se consideran iones divalentes como el calcio aparecen términos como e ^2μ que es el cuadrado de e ^μ ; en este caso, la fórmula de la ecuación de Goldman se puede resolver mediante la fórmula cuadrática .

Ver también

• Bioelectrónica
• Teoría del cable
• Ecuación actual de GHK
• Modelo Hindmarsh-Rose
• Modelo de Hodgkin-Huxley
• Modelo Morris-Lecar
• ecuación de nernst
• Conducción saltatoria

Referencias

1. Enderle, John (1 de enero de 2005), Enderle, John D.; Blanchard, Susan M.; Bronzino, Joseph D. (eds.), "Bioelectric Phenomena", Introducción a la ingeniería biomédica (segunda edición) , Ingeniería biomédica, Boston: Academic Press, págs. 627–691, doi :10.1016/b978-0-12-238662- 6.50013-6, ISBN 978-0-12-238662-6, recuperado el 23 de octubre de 2020
2. Reuss, Luis (1 de enero de 2008), Alpern, Robert J.; Hebert, Steven C. (eds.), "Capítulo 2: Mecanismos de transporte de iones a través de membranas celulares y epitelios", The Kidney (cuarta edición) de Seldin y Giebisch , San Diego: Academic Press, págs. 35–56, doi :10.1016 /b978-012088488-9.50005-x, ISBN 978-0-12-088488-9, recuperado el 23 de octubre de 2020
3. Enderle, John D. (1 de enero de 2012), Enderle, John D.; Bronzino, Joseph D. (eds.), "Capítulo 12 – Fenómenos bioeléctricos", Introducción a la ingeniería biomédica (tercera edición) , Ingeniería biomédica, Boston: Academic Press, págs. 747–815, doi :10.1016/b978-0-12 -374979-6.00012-5, ISBN 978-0-12-374979-6, recuperado el 23 de octubre de 2020
4. Bhadra, Narendra (1 de enero de 2015), Kilgore, Kevin (ed.), "2 - Principios fisiológicos de la estimulación eléctrica", Neuroprótesis implantables para restaurar la función , Woodhead Publishing Series in Biomaterials, Woodhead Publishing, págs.13– 43, doi :10.1016/b978-1-78242-101-6.00002-1, ISBN 978-1-78242-101-6, recuperado el 23 de octubre de 2020
5. Junge D (1981). Excitación de nervios y músculos (2ª ed.). Sunderland, Massachusetts: Sinauer Associates. págs. 33–37. ISBN 0-87893-410-3.

enlaces externos

• Fenómenos de membrana subumbral Incluye una derivación bien explicada de la ecuación de Goldman-Hodgkin-Katz.
• Simulador de ecuaciones de Nernst / Goldman Archivado el 8 de agosto de 2010 en la Wayback Machine.
• Calculadora de ecuaciones de Goldman-Hodgkin-Katz
• Subprograma Java interactivo de Nernst/Goldman El voltaje de la membrana se calcula de forma interactiva a medida que cambia el número de iones entre el interior y el exterior de la célula.
• Potencial, impedancia y rectificación en membranas de Goldman (1943)