Ecuación de Batchelor-Chandrasekhar

La ecuación de Batchelor-Chandrasekhar es la ecuación de evolución de las funciones escalares, que define el tensor de correlación de velocidad de dos puntos de una turbulencia axisimétrica homogénea, llamada así por George Batchelor y Subrahmanyan Chandrasekhar . ^{[1] [2] [3] [4]} Desarrollaron la teoría de la turbulencia axisimétrica homogénea basándose en el trabajo de Howard P. Robertson sobre turbulencia isotrópica utilizando un principio invariante. ^[5] Esta ecuación es una extensión de la ecuación de Kármán-Howarth de la turbulencia isotrópica a la axisimétrica.

Descripción matemática

La teoría se basa en el principio de que las propiedades estadísticas son invariantes para rotaciones sobre una dirección particular (por ejemplo), y reflexiones en planos que contienen y perpendiculares a . Este tipo de axisimetría a veces se denomina axisimetría fuerte o axisimetría en el sentido fuerte , opuesta a la axisimetría débil , donde no se permiten reflexiones en planos perpendiculares a o planos que contienen . ^[6] ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$

Sea la correlación de dos puntos para la turbulencia homogénea

${\displaystyle R_{ij}(\mathbf {r} ,t)={\overline {u_{i}(\mathbf {x} ,t)u_{j}(\mathbf {x} +\mathbf {r} ,t)}}.}$

Un único escalar describe este tensor de correlación en turbulencia isotrópica, mientras que, resulta que para la turbulencia axisimétrica, dos funciones escalares son suficientes para especificar de forma única el tensor de correlación. De hecho, Batchelor no pudo expresar el tensor de correlación en términos de dos funciones escalares, pero terminó con cuatro funciones escalares; no obstante, Chandrasekhar demostró que podía expresarse con solo dos funciones escalares expresando el tensor axisimétrico solenoidal como el rizo de un tensor oblicuo axisimétrico general (tensor reflexivamente no invariante).

Sea el vector unitario que define el eje de simetría del flujo, entonces tenemos dos variables escalares, y . Como , es claro que representa el coseno del ángulo entre y . Sean y las dos funciones escalares que describen la función de correlación, entonces el tensor axisimétrico más general que es solenoidal (incompresible) está dado por, ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =r^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\lambda }}=r\mu }$ ${\displaystyle |{\boldsymbol {\lambda }}|=1}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle Q_{1}(r,\mu ,t)}$ ${\displaystyle Q_{2}(r,\mu ,t)}$

${\displaystyle R_{ij}=Ar_{i}r_{j}+B\delta _{ij}+C\lambda _{i}\lambda _{j}+D\left(\lambda _{i}r_{j}+r_{i}\lambda _{j}\right)}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(D_{r}-D_{\mu \mu }\right)Q_{1}+D_{r}Q_{2},\\B&=\left[-\left(r^{2}D_{r}+r\mu D_{\mu }+2\right)+r^{2}\left(1-\mu ^{2}\right)D_{\mu \mu }-r\mu D_{\mu }\right]Q_{1}-\left[r^{2}\left(1-\mu ^{2}\right)D_{r}+1\right]Q_{2},\\C&=-r^{2}D_{\mu \mu }Q_{1}+\left(r^{2}D_{r}+1\right)Q_{2},\\D&=\left(r\mu D_{\mu }+1\right)D_{\mu }Q_{1}-r\mu D_{r}Q_{2}.\end{aligned}}}$

Los operadores diferenciales que aparecen en las expresiones anteriores se definen como

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{r}&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }},\\D_{\mu }&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \mu }},\\D_{\mu \mu }&=D_{\mu }D_{\mu }={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \mu ^{2}}}.\end{aligned}}}$

Entonces las ecuaciones de evolución (forma equivalente de la ecuación de Kármán-Howarth ) para las dos funciones escalares se dan por

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial Q_{1}}{\partial t}}&=2\nu \Delta Q_{1}+S_{1},\\{\frac {\partial Q_{2}}{\partial t}}&=2\nu \left(\Delta Q_{2}+2D_{\mu \mu }Q_{1}\right)+S_{2}\end{aligned}}}$

¿Dónde está la viscosidad cinemática y ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {4}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1-\mu ^{2}}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \mu ^{2}}}-{\frac {4\mu }{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}.}$

Las funciones escalares y están relacionadas con el tensor triplemente correlacionado , exactamente de la misma manera y están relacionadas con el tensor de dos puntos correlacionados . El tensor triplemente correlacionado es ${\displaystyle S_{1}(r,\mu ,t)}$ ${\displaystyle S_{2}(r,\mu ,t)}$ ${\displaystyle S_{ij}}$ ${\displaystyle Q_{1}(r,\mu ,t)}$ ${\displaystyle Q_{2}(r,\mu ,t)}$ ${\displaystyle R_{ij}}$

${\displaystyle S_{ij}={\frac {\partial }{\partial r_{k}}}\left({\overline {u_{i}(\mathbf {x} ,t)u_{k}(\mathbf {x} ,t)u_{j}(\mathbf {x} +\mathbf {r} ,t)}}-{\overline {u_{i}(\mathbf {x} ,t)u_{k}(\mathbf {x} +\mathbf {r} ,t)u_{j}(\mathbf {x} +\mathbf {r} ,t)}}\right)+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\overline {\partial p(\mathbf {x} ,t)u_{j}(\mathbf {x} +\mathbf {r} ,t)}}{\partial r_{i}}}-{\frac {\overline {\partial p(\mathbf {x} +\mathbf {r} ,t)u_{i}(\mathbf {x} ,t)}}{\partial r_{j}}}\right).}$

Aquí está la densidad del fluido. ${\displaystyle \rho }$

Propiedades

• La traza del tensor de correlación se reduce a

${\displaystyle R_{ii}=r^{2}\left(1-\mu ^{2}\right)\left(D_{\mu \mu }Q_{1}-D_{r}Q_{2}\right)-2Q_{2}-2\left(r^{2}D_{r}+2r\mu D_{\mu }+3\right)Q_{1}.}$

• La condición de homogeneidad implica que tanto y son funciones pares de y . ${\displaystyle R_{ij}(-\mathbf {r} )=R_{ji}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r\mu }$

Decadencia de la turbulencia

Durante la desintegración, si descuidamos los escalares de triple correlación, entonces las ecuaciones se reducen a ecuaciones de calor de cinco dimensiones axialmente simétricas,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial Q_{1}}{\partial t}}&=2\nu \Delta Q_{1},\\{\frac {\partial Q_{2}}{\partial t}}&=2\nu \left(\Delta Q_{2}+2D_{\mu \mu }Q_{1}\right)\end{aligned}}}$

Chandrasekhar resolvió las soluciones de esta ecuación de calor de cinco dimensiones. Las condiciones iniciales se pueden expresar en términos de polinomios de Gegenbauer (sin pérdida de generalidad).

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{1}(r,\mu ,0)&=\sum _{n=0}^{\infty }q_{2n}^{(1)}(r)C_{2n}^{\frac {3}{2}}(\mu ),\\Q_{2}(r,\mu ,0)&=\sum _{n=0}^{\infty }q_{2n}^{(2)}(r)C_{2n}^{\frac {3}{2}}(\mu ),\end{aligned}}}$

¿Dónde están los polinomios de Gegenbauer ? Las soluciones requeridas son ${\displaystyle C_{2n}^{\frac {3}{2}}(\mu )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{1}(r,\mu ,t)&={\frac {e^{-{\frac {r^{2}}{8\nu t}}}}{32(\nu t)^{\frac {5}{2}}}}\sum _{n=0}^{\infty }C_{2n}^{\frac {3}{2}}(\mu )\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {r'^{2}}{8\nu t}}}r'^{4}q_{2n}^{(1)}(r'){\frac {I_{2n+{\frac {3}{2}}}\left({\frac {rr'}{4\nu t}}\right)}{\left({\frac {rr'}{4\nu t}}\right)^{\frac {3}{2}}}}\ dr',\\[8pt]Q_{2}(r,\mu ,t)&={\frac {e^{-{\frac {r^{2}}{8\nu t}}}}{32(\nu t)^{\frac {5}{2}}}}\sum _{n=0}^{\infty }C_{2n}^{\frac {3}{2}}(\mu )\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {r'^{2}}{8\nu t}}}r'^{4}q_{2n}^{(2)}(r'){\frac {I_{2n+{\frac {3}{2}}}\left({\frac {rr'}{4\nu t}}\right)}{\left({\frac {rr'}{4\nu t}}\right)^{\frac {3}{2}}}}\ dr'+4\nu \int _{0}^{t}{\frac {dt'}{[8\pi \nu (t-t')]^{\frac {5}{2}}}}\int \cdots \int \left({\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}Q_{1}}{\partial \mu ^{2}}}\right)_{r',\mu ',t'}e^{-{\frac {|r-r'|^{2}}{8\nu (t-t')}}}\ dx_{1}'\cdots dx_{5}',\end{aligned}}}$

donde es la función de Bessel de primer tipo . ${\displaystyle I_{2n+{\frac {3}{2}}}}$

A medida que las soluciones se vuelven independientes ${\displaystyle t\to \infty ,}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{1}(r,\mu ,t)&\to -{\frac {\Lambda _{1}e^{-{\frac {r^{2}}{8\nu t}}}}{48{\sqrt {2\pi }}(\nu t)^{\frac {5}{2}}}},\\Q_{2}(r,\mu ,t)&\to -{\frac {\Lambda _{2}e^{-{\frac {r^{2}}{8\nu t}}}}{48{\sqrt {2\pi }}(\nu t)^{\frac {5}{2}}}},\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{1}&=-\int _{0}^{\infty }q_{2n}^{(1)}(r)\ dr\\\Lambda _{2}&=-\int _{0}^{\infty }q_{2n}^{(2)}(r)\ dr\end{aligned}}}$

Véase también

• Ecuación de Kármán-Howarth
• Ecuación de Kármán-Howarth-Monin

Referencias

1. Batchelor, GK (1946). La teoría de la turbulencia axisimétrica. Proc. R. Soc. Lond. A, 186(1007), 480–502.
2. Chandrasekhar, S. (1950). La teoría de la turbulencia axisimétrica. Royal Society de Londres.
3. Chandrasekhar, S. (1950). La desintegración de la turbulencia axisimétrica. Proc. Roy. Soc. A, 203, 358–364.
4. Davidson, P. (2015). Turbulencia: una introducción para científicos e ingenieros. Oxford University Press, EE. UU. Apéndice 5
5. Robertson, HP (1940, abril). La teoría invariante de la turbulencia isotrópica. En Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (Vol. 36, No. 2, págs. 209-223). Cambridge University Press.
6. Lindborg, E. (1995). Cinemática de la tubulencia axisimétrica homogénea. Journal of Fluid Mechanics, 302, 179-201.