Distribución de viajes

Todos los viajes tienen un origen y un destino y estos se consideran en la etapa de distribución del viaje.

La distribución de viajes (o elección de destino o análisis de intercambio zonal ) es el segundo componente (después de la generación de viajes , pero antes de la elección de modo y la asignación de ruta ) en el modelo tradicional de pronóstico de transporte de cuatro pasos . Este paso relaciona los orígenes y destinos de los creadores de viajes para desarrollar una “tabla de viajes”, una matriz que muestra el número de viajes que van desde cada origen a cada destino. ^[1] Históricamente, este componente ha sido el componente menos desarrollado del modelo de planificación del transporte .

Donde: Tij = viajes desde el origen _i al destino j . Obsérvese que el valor práctico de los viajes en diagonal, por ejemplo de la zona 1 a la zona 1, es cero ya que no se produce ningún viaje intrazonal. 

La distribución de los viajes de trabajo es la forma en que los modelos de demanda de viajes entienden cómo las personas consiguen empleo. Existen modelos de distribución de viajes para otras actividades (no laborales), como la elección del lugar para hacer la compra, que siguen la misma estructura.

Historia

A lo largo de los años, los modeladores han utilizado varias formulaciones diferentes de distribución de viajes. El primero fue el modelo Fratar o Growth (que no diferenciaba los viajes por finalidad). Esta estructura extrapoló una tabla de viajes del año base al futuro basada en el crecimiento, pero no tuvo en cuenta los cambios en la accesibilidad espacial debido al aumento de la oferta o los cambios en los patrones de viaje y la congestión. (El modelo de factor de crecimiento simple, el modelo de Furness y el modelo de Detroit son modelos desarrollados en el mismo período)

Los siguientes modelos desarrollados fueron el modelo de gravedad y el modelo de oportunidades intermedias. La formulación más utilizada sigue siendo el modelo de gravedad.

Mientras estudiaba el tráfico en Baltimore, Maryland , Alan Voorhees desarrolló una fórmula matemática para predecir los patrones de tráfico basados ​​en el uso del suelo. Esta fórmula ha sido fundamental en el diseño de numerosos proyectos de transporte y obras públicas en todo el mundo. Escribió "Una teoría general del movimiento del tráfico" (Voorhees, 1956) que aplicó el modelo gravitacional a la distribución de viajes, que traduce los viajes generados en un área a una matriz que identifica el número de viajes desde cada origen a cada destino, que puede luego se cargará en la red.

La evaluación de varios modelos en la década de 1960 concluyó que "el modelo de gravedad y el modelo de oportunidad intermedio demostraron tener aproximadamente la misma confiabilidad y utilidad al simular la distribución de viajes de 1948 y 1955 para Washington, DC" (Heanue y Pyers 1966). Se demostró que el modelo Fratar tiene debilidades en áreas que experimentan cambios en el uso del suelo. Como las comparaciones entre los modelos mostraron que cualquiera de los dos podía calibrarse igualmente bien para coincidir con las condiciones observadas, debido a la facilidad computacional, los modelos de gravedad se difundieron más que los modelos de oportunidades intermedias. Whitaker y West (1968) discutieron algunos problemas teóricos con el modelo de oportunidades intermedias en relación con su incapacidad para dar cuenta de todos los viajes generados en una zona, lo que hace que sea más difícil de calibrar, aunque Ruiter ha desarrollado técnicas para abordar las limitaciones ( 1967).

Con el desarrollo del logit y otras técnicas de elección discreta, se intentaron nuevos enfoques demográficamente desagregados para la demanda de viajes. Al incluir variables distintas del tiempo de viaje para determinar la probabilidad de realizar un viaje, se espera tener una mejor predicción del comportamiento de viaje. Wilson (1967) ha demostrado que el modelo logit y el modelo de gravedad tienen esencialmente la misma forma que los utilizados en mecánica estadística, el modelo de maximización de entropía. La aplicación de estos modelos difiere en concepto en que el modelo de gravedad utiliza la impedancia por tiempo de viaje, quizás estratificada por variables socioeconómicas, para determinar la probabilidad de realizar el viaje, mientras que un enfoque de elección discreta coloca esas variables dentro de la función de utilidad o impedancia. Los modelos de elección discreta requieren más información para estimar y más tiempo de cálculo.

Ben-Akiva y Lerman (1985) han desarrollado modelos combinados de elección de destino y elección de modo utilizando una formulación logit para viajes laborales y no laborales. Debido a la intensidad computacional, estas formulaciones tendieron a agregar zonas de tráfico en distritos o anillos más grandes en la estimación. En la aplicación actual, algunos modelos, incluido, por ejemplo, el modelo de planificación del transporte utilizado en Portland, Oregón, utilizan una formulación logit para la elección del destino. Allen (1984) utilizó utilidades de un modelo de elección de modo basado en logit para determinar la impedancia compuesta para la distribución de disparo. Sin embargo, ese enfoque, que utiliza sumas logarítmicas de elección de modo, implica que la elección de destino depende de las mismas variables que la elección de modo. Levinson y Kumar (1995) emplean las probabilidades de elección de modo como factor de ponderación y desarrollan una función de impedancia específica o “curva f” para cada modo con fines de viajes laborales y no laborales.

Matemáticas

En este punto del proceso de planificación del transporte, la información para el análisis de intercambio zonal se organiza en una tabla de origen-destino. A la izquierda se enumeran los viajes producidos en cada zona. En la parte superior se enumeran las zonas y para cada zona enumeramos su atracción. La tabla es n x n , donde n = el número de zonas.

Cada celda de nuestra tabla debe contener el número de viajes desde la zona i a la zona j . Todavía no tenemos estos números dentro de las celdas, aunque tenemos los totales de filas y columnas. Con los datos organizados de esta manera, nuestra tarea es completar las celdas de las tablas encabezadas desde t  = 1 hasta, por ejemplo, t  =  n .

En realidad, a partir de los datos de la encuesta de viajes de la entrevista domiciliaria y el análisis de atracciones tenemos la información de la celda para t  = 1. Los datos son una muestra, por lo que generalizamos la muestra al universo. Las técnicas utilizadas para el análisis de intercambio zonal exploran la regla empírica que se ajusta a los datos de t = 1. Luego, esa regla se usa para generar datos de celda para t = 2, t = 3, t = 4, etc., hasta t = n .

La primera técnica desarrollada para modelar el intercambio zonal implica un modelo como este:

${\displaystyle T_{ij}=T_{i}{\frac {A_{j}f\left({C_{ij}}\right)K_{ij}}{\sum _{j'=1}^{n}{A_{j'}f\left({C_{ij'}}\right)K_{ij'}}}}}$

dónde:

• ${\displaystyle T_{ij}}$ : viajes de i a j.
• ${\displaystyle T_{i}}$ : viajes desde i, según nuestro análisis de generación
• ${\displaystyle A_{j}}$ : viajes atraídos por j, según análisis generacional
• ${\displaystyle f(C_{ij})}$ : factor de fricción del costo de viaje, digamos = ${\displaystyle C_{ij}^{b}}$
• ${\displaystyle K_{ij}}$ : Parámetro de calibración

La zona i genera _viajes Ti ; ¿ Cuántos irán a la zona j ? Eso depende del atractivo de j comparado con el atractivo de todos los lugares; El atractivo se ve atenuado por la distancia entre una zona y la zona i . Calculamos la fracción comparando j con todos los lugares y multiplicamos T  _{; Yo} por eso. 

La regla suele ser de forma gravitacional:

${\displaystyle T_{ij}=a{\frac {P_{i}P_{j}}{C_{ij}^{b}}}}$

dónde:

• ${\displaystyle P_{i};P_{j}}$ : poblaciones de i y j
• ${\displaystyle a;b}$ : parámetros

Pero en el modo de intercambio zonal, utilizamos números relacionados con los orígenes del viaje ( T  _{; i} ) y los destinos del viaje ( T  _{; j} ) en lugar de poblaciones.

Hay muchas formas de modelos porque podemos usar pesos y parámetros de calibración especiales, por ejemplo, se podría escribir:

${\displaystyle T_{ij}=a{\frac {T_{i}^{c}T_{j}^{d}}{C_{ij}^{b}}}}$

o

${\displaystyle T_{ij}={\frac {cT_{i}dT_{j}}{C_{ij}^{b}}}}$

dónde:

• a, b, c, d son parámetros
• ${\displaystyle C_{ij}}$ : costo de viaje (por ejemplo, distancia, dinero, tiempo)
• ${\displaystyle T_{j}}$ : viajes entrantes, destinos
• ${\displaystyle T_{i}}$ : viajes de ida, origen

modelo de gravedad

El modelo de gravedad ilustra las relaciones macroscópicas entre lugares (por ejemplo, hogares y lugares de trabajo). Durante mucho tiempo se ha postulado que la interacción entre dos lugares disminuye al aumentar (la distancia, el tiempo y el costo) entre ellos, pero está asociada positivamente con la cantidad de actividad en cada lugar (Isard, 1956). En analogía con la física, Reilly (1929) formuló la ley de gravitación minorista de Reilly , y JQ Stewart (1948) formuló definiciones de gravitación demográfica , fuerza, energía y potencial, ahora llamadas accesibilidad (Hansen, 1959). El factor de disminución de la distancia de 1/distancia se ha actualizado a una función más integral de costo generalizado, que no es necesariamente lineal; una exponencial negativa tiende a ser la forma preferida.

El modelo gravitacional ha sido corroborado muchas veces como una relación agregada subyacente básica (Scott 1988, Cervero 1989, Levinson y Kumar 1995). La tasa de disminución de la interacción (llamada alternativamente factor de impedancia o fricción, o función de utilidad o propensión) debe medirse empíricamente y varía según el contexto.

La limitación de la utilidad del modelo gravitacional es su naturaleza agregada. Aunque las políticas también operan a nivel agregado, los análisis más precisos retendrán el nivel más detallado de información durante el mayor tiempo posible. Si bien el modelo gravitacional tiene mucho éxito a la hora de explicar la elección de un gran número de individuos, la elección de cualquier individuo determinado varía mucho del valor previsto. Tal como se aplica en un contexto de demanda de viajes urbanos, las desutilidades son principalmente tiempo, distancia y costo, aunque a veces se utilizan modelos de elección discreta con la aplicación de expresiones de utilidad más amplias, al igual que la estratificación por ingresos o propiedad de vehículos.

Matemáticamente, el modelo de gravedad suele tomar la forma:

${\displaystyle T_{ij}=K_{i}K_{j}T_{i}T_{j}f(C_{ij})}$

${\displaystyle \sum _{j}{T_{ij}=T_{i}},\sum _{i}{T_{ij}=T_{j}}}$

${\displaystyle K_{i}={\frac {1}{\sum _{j}{K_{j}T_{j}f(C_{ij})}}},K_{j}={\frac {1}{\sum _{i}{K_{i}T_{i}f(C_{ij})}}}}$

dónde

• ${\displaystyle T_{ij}}$= Viajes entre origen i y destino j
• ${\displaystyle T_{i}}$= Viajes con origen en i
• ${\displaystyle T_{j}}$= Viajes destinados a j
• ${\displaystyle C_{ij}}$= costo de viaje entre i y j
• ${\displaystyle K_{i},K_{j}}$= factores de equilibrio resueltos iterativamente. Consulte Ajuste proporcional iterativo .
• ${\displaystyle f}$= factor de disminución de la distancia, como en el modelo de accesibilidad

Está doblemente restringido, en el sentido de que para cualquier i, el número total de viajes desde i predicho por el modelo siempre (mecánicamente, para cualquier valor de parámetro) es igual al número total real de viajes desde i . De manera similar, el número total de viajes a j predicho por el modelo es igual al número total real de viajes a j , para cualquier j .

Análisis de entropía

Wilson (1970) ofrece otra forma de pensar sobre el problema del intercambio zonal. Esta sección trata la metodología de Wilson para comprender las ideas centrales.

Para empezar, considere algunos viajes en los que hay siete personas en las zonas de origen que se desplazan a siete trabajos en las zonas de destino. Una configuración de dichos viajes será:

${\displaystyle w\left({T_{ij}}\right)={\frac {7!}{2!1!1!0!2!1!}}=1260}$

donde 0! = 1.

Esa configuración puede aparecer de 1.260 formas. Hemos calculado el número de formas en que podría haber ocurrido la configuración de viajes y, para explicar el cálculo, recordemos esos experimentos de lanzamiento de monedas de los que tanto se habla en estadística elemental.

El número de formas en que puede salir una moneda de dos caras es , donde n es el número de veces que lanzamos la moneda. Si lanzamos la moneda una vez, puede salir cara o cruz, . Si lo lanzamos dos veces, puede salir HH, HT, TH o TT, de cuatro maneras y . Para hacer la pregunta específica sobre, digamos, cuatro monedas que salen todas caras, calculamos . Serían dos caras y dos cruces . Estamos resolviendo la ecuación: ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 2^{1}=2}$ ${\displaystyle 2^{2}=4}$ ${\displaystyle 4!/(4!0!)=1}$ ${\displaystyle 4!/(2!2!)=6}$

${\displaystyle w={\frac {n!}{\prod _{i=1}^{n}{n_{i}!}}}}$

Un punto importante es que a medida que n aumenta, nuestra distribución alcanza cada vez más picos y es cada vez más razonable pensar en un estado más probable.

Sin embargo, la noción de estado más probable no proviene de este pensamiento; Proviene de la mecánica estadística, un campo bien conocido por Wilson y no tanto por los planificadores del transporte. El resultado de la mecánica estadística es que lo más probable es una serie descendente. Piense en la forma en que la energía de las luces del aula afecta el aire del aula. Si el efecto resultara en una serie ascendente, muchos de los átomos y moléculas se verían muy afectados y unos pocos se verían poco afectados. La serie descendente tendría a muchos afectados nada o poco y sólo unos pocos afectados mucho. Podríamos tomar un nivel dado de energía y calcular los niveles de excitación en series ascendentes y descendentes. Usando la fórmula anterior, calcularíamos las formas en que podrían ocurrir series particulares y concluiríamos que dominan las series descendentes.

Esa es más o menos la ley de Boltzmann ,

${\displaystyle p_{j}=p_{0}e^{\beta e_{j}}}$

Es decir, las partículas en cualquier nivel de excitación particular j serán una función exponencial negativa de las partículas en el estado fundamental, el nivel de excitación, y un parámetro , que es una función de la energía (promedio) disponible para las partículas en el sistema. ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle e_{j}}$ ${\displaystyle \beta }$

Los dos párrafos anteriores tienen que ver con los métodos de cálculo por conjuntos desarrollados por Gibbs, un tema que está mucho más allá del alcance de estas notas.

Volviendo a la matriz OD, observe que no hemos utilizado tanta información como la que habríamos obtenido de una encuesta O y D y de nuestro trabajo anterior sobre la generación de viajes. Para el mismo patrón de viaje en la matriz OD utilizada antes, tendríamos totales de filas y columnas, es decir:

Considere la forma en que podrían viajar las cuatro personas, 4!/(2!1!1!) = 12; considere tres personas, 3!/(0!2!1!) = 3. Todos los viajes se pueden combinar de 12×3 = 36 maneras. Por lo tanto, se considera que la posible configuración de los viajes está muy limitada por los totales de columnas y filas.

Juntamos este punto con el trabajo anterior con nuestra matriz y la noción de estado más probable para decir que queremos

${\displaystyle \max w\left({T_{ij}}\right)={\frac {T!}{\prod _{ij}{T_{ij}!}}}}$

sujeto a

${\displaystyle \sum _{j}{T_{ij}=T_{i}};\sum _{i}{T_{ij}=T_{j}}}$

dónde:

${\displaystyle T=\sum _{j}{\sum _{i}{T_{ij}}}=\sum _{i}{T_{i}}=\sum _{j}{T_{j}}}$

y este es el problema que hemos resuelto arriba.

Wilson añade otra consideración; limita el sistema a la cantidad de energía disponible (es decir, dinero), y tenemos la restricción adicional,

${\displaystyle \sum _{i}{\sum _{j}{T_{ij}C_{ij}=C}}}$

donde C es la cantidad de recursos disponibles y es el costo del viaje de i a j . ${\displaystyle C_{ij}}$

La discusión hasta ahora contiene las ideas centrales del trabajo de Wilson, pero aún no hemos llegado al punto donde el lector reconocerá el modelo tal como lo formula Wilson.

Primero, escribiendo la función a maximizar usando multiplicadores lagrangianos , tenemos: ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \Lambda (T_{ij},\lambda _{i},\lambda _{j})={\frac {T!}{\prod _{ij}{Tij!}}}+\sum _{i}{\lambda _{i}\left({T_{i}-\sum _{j}{T_{ij}}}\right)}+\sum _{j}{\lambda _{j}\left({T_{j}-\sum _{i}{T_{ij}}}\right)+\beta \left({C-\sum _{i}{\sum _{j}{T_{ij}C_{ij}}}}\right)}}$

donde y son los multiplicadores de Lagrange, teniendo sentido energético. ${\displaystyle \lambda _{i},\lambda _{j}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$

En segundo lugar, es conveniente maximizar el log natural (ln) en lugar de , ya que entonces podemos usar la aproximación de Stirling . ${\displaystyle w(T_{ij})}$

${\displaystyle \ln N!\approx N\ln N-N}$

entonces

${\displaystyle {\frac {\partial \ln N!}{\partial N}}\approx \ln N}$

En tercer lugar, evaluando el máximo, tenemos

${\displaystyle {\frac {\partial \Lambda (T_{ij},\lambda _{i},\lambda _{j})}{\partial T_{ij}}}=-\ln T_{ij}-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}=0}$

con solución

${\displaystyle \ln T_{ij}=-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}$

${\displaystyle T_{ij}=e^{-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}}$

Finalmente, sustituyendo este valor de en nuestras ecuaciones de restricción, tenemos: ${\displaystyle T_{ij}}$

${\displaystyle \sum _{j}{e^{-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}}=T_{i};\sum _{i}{e^{-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}}=T_{j}}$

y, tomando los múltiplos constantes fuera del signo de la suma

${\displaystyle e^{-\lambda _{i}}={\frac {T_{i}}{\sum _{j}{e^{-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}}}};e^{-\lambda _{j}}={\frac {T_{j}}{\sum _{i}{e^{-\lambda _{i}-\beta C_{ij}}}}}}$

Dejar

${\displaystyle {\frac {e^{-\lambda _{i}}}{T_{i}}}=A_{i};{\frac {e^{-\lambda _{j}}}{T_{j}}}=B_{j}}$

tenemos

${\displaystyle T_{ij}=A_{i}B_{j}T_{i}T_{j}e^{-\beta C_{ij}}}$

que dice que la distribución más probable de viajes tiene forma de modelo gravitacional, es proporcional a los orígenes y destinos de los viajes. Las constantes , y garantizan que se cumplan las restricciones. ${\displaystyle T_{ij}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle B_{j}}$ ${\displaystyle \beta }$

Pasando ahora a la computación, tenemos un gran problema. En primer lugar, no conocemos el valor de C , que antes dijimos que tenía que ver con el dinero disponible, era una restricción de costos. En consecuencia, tenemos que establecer valores diferentes y luego encontrar el mejor conjunto de valores para y . Sabemos lo que significa: cuanto mayor sea el valor de , menor será el costo de la distancia promedio recorrida. (Compárese con la ley de Boltzmann mencionada anteriormente). En segundo lugar, los valores de y dependen unos de otros. Entonces, para cada valor de , debemos usar una solución iterativa. Existen programas informáticos para hacer esto. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle B_{j}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle B_{j}}$ ${\displaystyle \beta }$

Se ha aplicado el método de Wilson al modelo de Lowry .

Asuntos

Congestión

Uno de los principales inconvenientes de la aplicación de muchos de los primeros modelos fue la incapacidad de tener en cuenta el tiempo de viaje congestionado en la red de carreteras para determinar la probabilidad de realizar un viaje entre dos lugares. Aunque Wohl observó ya en 1963 una investigación sobre el mecanismo de retroalimentación o las “interdependencias entre el volumen asignado o distribuido, el tiempo de viaje (o 'resistencia' al viaje) y la ruta o capacidad del sistema”, este trabajo aún no ha sido ampliamente adoptado con pruebas rigurosas de convergencia, o con el llamado “equilibrio” o solución “combinada” (Boyce et al. 1994). Haney (1972) sugiere que los supuestos internos sobre el tiempo de viaje utilizados para desarrollar la demanda deberían ser consistentes con los tiempos de viaje de salida de la ruta asignada a esa demanda. Si bien las pequeñas inconsistencias metodológicas son necesariamente un problema para estimar las condiciones del año base, los pronósticos se vuelven aún más débiles sin una comprensión de la retroalimentación entre la oferta y la demanda. Inicialmente, los métodos heurísticos fueron desarrollados por Irwin y Von Cube ^[2] y otros, y posteriormente Suzanne Evans estableció técnicas formales de programación matemática. ^[3]

Estabilidad de los tiempos de viaje.

Un punto clave al analizar la retroalimentación es el hallazgo de investigaciones anteriores ^[4] de que los tiempos de viaje se han mantenido estables durante los últimos treinta años en la Región Metropolitana de Washington, a pesar de cambios significativos en los ingresos de los hogares, los patrones de uso de la tierra, la estructura familiar y la participación en la fuerza laboral. . Se han encontrado resultados similares en las Ciudades Gemelas ^[5]

La estabilidad de los tiempos de viaje y las curvas de distribución durante las últimas tres décadas ^{[ ¿cuándo? ]} proporciona una buena base para la aplicación de modelos agregados de distribución de viajes para pronósticos a relativamente largo plazo. Esto no quiere decir que exista un presupuesto constante de tiempo de viaje .

Ver también

• Impacto ambiental de la aviación.
• Hipermovilidad (viajes)

Notas a pie de página

1. Orientación sobre evaluación del transporte https://assets.publishing.service.gov.uk/government/uploads/system/uploads/attachment_data/file/263054/guidance-transport-assessment.pdf
2. Florian M., Nguyen S. y Ferland J. 1975 Sobre la distribución y asignación combinadas de tráfico ", Transportation Science, Vol. 9, págs. 43-53, 1975
3. * Evans, Suzanne P. 1976. Derivación y análisis de algunos modelos para combinar distribución y asignación de viajes. Investigación del transporte, vol. 10, págs. 37 a 57, 1976
4. Levinson, D. y A. Kumar 1994 El localizador racional: por qué los tiempos de viaje se han mantenido estables, Revista de la Asociación Estadounidense de Planificación, 60:3 319–332
5. Barnes, G. y Davis, G. 2000. Comprensión de la demanda de viajes urbanos: problemas, soluciones y el papel de la previsión , Centro de estudios de transporte de la Universidad de Minnesota: estudio de crecimiento regional y transporte

Referencias

• Allen, B. 1984 Distribución de viajes utilizando el registro de investigación de transporte de impedancia compuesta 944 págs. 118-127
• Ben-Akiva M. y Lerman S. 1985 Análisis de elección discreta, MIT Press, Cambridge MA
• Boyce, D., Lupa, M. y Zhang, YF 1994 Introducción de la "retroalimentación" en el procedimiento de previsión de viajes en cuatro pasos frente a la solución de equilibrio de un modelo combinado presentado en la 73.ª reunión anual de la Junta de Investigación del Transporte

• Haney, D. 1972 Consistencia en los modelos de evaluación y demanda de transporte, Highway Research Record 392, págs. 13-25 1972
• Hansen, WG 1959. Cómo la accesibilidad da forma al uso de la tierra. Revista del Instituto Americano de Planificadores , 25(2), 73–76.
• Heanue, Kevin E. y Pyers, Clyde E. 1966. Una evaluación comparativa de los procedimientos de distribución de viajes,

• Levinson, D. y Kumar A. 1995. Un modelo de distribución de viajes multimodal. Registro de investigación de transporte n.º 1466: 124–131.
• Informe de la MPO de Portland a la Administración Federal de Tránsito sobre modelos de tránsito
• Reilly, WJ (1929) “Métodos para el estudio de las relaciones minoristas” Boletín de la Universidad de Texas No 2944, noviembre de 1929.
• Reilly, WJ, 1931. La ley de la gravitación minorista, Nueva York.
• Ruiter, E. 1967 Mejoras en la comprensión, calibración y aplicación del registro de investigación de carreteras modelo de oportunidad No. 165 págs. 1–21
• Stewart, JQ (1948) “Gravitación demográfica: evidencia y aplicación” Sociometría vol. XI febrero-mayo de 1948, págs. 31–58.
• Stewart, JQ, 1947. Reglas matemáticas empíricas relativas a la distribución y el equilibrio de la población, Geographical Review, vol 37, 461–486.
• Stewart, JQ, 1950. Potencial de la población y su relación con el marketing. En: Teoría del marketing, R. Cox y W. Alderson (Eds) (Richard D. Irwin, Inc., Homewood, Illinois).
• Stewart, JQ, 1950. El desarrollo de la física social, American Journal of Physics, vol 18, 239–253
• Voorhees, Alan M., 1956, "Una teoría general del movimiento del tráfico", Actas de 1955, Instituto de Ingenieros de Tráfico, New Haven, Connecticut.
• Whitaker, R. y K. West 1968 El modelo de oportunidades intervinientes: una consideración teórica Registro de investigación de carreteras 250 págs. 1–7
• Wilson, AG Una teoría estadística de los modelos de distribución espacial Investigación en transporte, Volumen 1, págs. 253–269 1967
• Wohl, M. 1963 Relaciones de demanda, costo, precio y capacidad aplicadas a la previsión de viajes. Registro de investigación de carreteras 38:40–54
• Zipf, GK , 1946. La hipótesis sobre el movimiento interurbano de personas. Revista sociológica estadounidense, vol. 11 de octubre
• Zipf, GK, 1949. El comportamiento humano y el principio del mínimo esfuerzo. Massachusetts