Distribución de Birnbaum-Saunders

La distribución de Birnbaum-Saunders , también conocida como distribución de vida por fatiga , es una distribución de probabilidad que se utiliza ampliamente en aplicaciones de confiabilidad para modelar tiempos de falla. Hay varias formulaciones alternativas de esta distribución en la literatura. Lleva el nombre de ZW Birnbaum y SC Saunders.

Teoría

Esta distribución fue desarrollada para modelar fallas debido a grietas. Un material se somete a ciclos repetidos de tensión. El jésimo ciclo conduce a un aumento de la grieta en ^una _cantidad Xj . Se supone que la suma de X _j tiene una distribución normal con media nμ y varianza nσ ² . La probabilidad de que la grieta no exceda una longitud crítica ω es

${\displaystyle P(X\leq \omega )=\Phi \left({\frac {\omega -n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}\right)}$

donde Φ () es la CDF de distribución normal.

Si T es el número de ciclos hasta la falla, entonces la función de distribución acumulativa (cdf) de T es

${\displaystyle P(T\leq t)=1-\Phi \left({\frac {\omega -t\mu }{\sigma {\sqrt {t}}}}\right)=\Phi \left({\frac {t\mu -\omega }{\sigma {\sqrt {t}}}}\right)=\Phi \left({\frac {\mu {\sqrt {t}}}{\sigma }}-{\frac {\omega }{\sigma {\sqrt {t}}}}\right)=\Phi \left({\frac {\sqrt {\mu \omega }}{\sigma }}\left[\left({\frac {t}{\omega /\mu }}\right)^{0.5}-\left({\frac {\omega /\mu }{t}}\right)^{0.5}\right]\right)}$

La forma más habitual de esta distribución es:

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=\Phi \left({\frac {1}{\alpha }}\left[\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{0.5}-\left({\frac {\beta }{x}}\right)^{0.5}\right]\right)}$

Aquí α es el parámetro de forma y β es el parámetro de escala .

Propiedades

La distribución de Birnbaum-Saunders es unimodal con una mediana de β .

La media ( μ ), la varianza (σ ² ), la asimetría ( γ ) y la curtosis ( κ ) son las siguientes:

${\displaystyle \mu =\beta \left(1+{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\right)}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=(\alpha \beta )^{2}\left(1+{\frac {5\alpha ^{2}}{4}}\right)}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {4\alpha (11\alpha ^{2}+6)}{(5\alpha ^{2}+4)^{\frac {3}{2}}}}}$

${\displaystyle \kappa =3+{\frac {6\alpha ^{2}(93\alpha ^{2}+40)}{(5\alpha ^{2}+4)^{2}}}}$

Dado un conjunto de datos que se cree que está distribuido por Birnbaum-Saunders, los valores de los parámetros se estiman mejor mediante máxima verosimilitud .

Si T tiene una distribución de Birnbaum-Saunders con parámetros α y β, entonces T ⁻¹ también tiene una distribución de Birnbaum-Saunders con parámetros α y β ⁻¹ .

Transformación

Sea T una variable distribuida de Birnbaum-Saunders con parámetros α y β . Una transformación útil de T es

${\displaystyle X={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {T}{\beta }}\right)^{0.5}-\left({\frac {T}{\beta }}\right)^{-0.5}\right]}$.

equivalentemente

${\displaystyle T=\beta \left(1+2X^{2}+2X(1+X^{2})^{0.5}\right)}$.

Luego, X se distribuye normalmente con una media de cero y una varianza de α ^2/4 .

Función de densidad de probabilidad

La fórmula general para la función de densidad de probabilidad (pdf) es

${\displaystyle f(x)={\frac {{\sqrt {\frac {x-\mu }{\beta }}}+{\sqrt {\frac {\beta }{x-\mu }}}}{2\gamma \left(x-\mu \right)}}\phi \left({\frac {{\sqrt {\frac {x-\mu }{\beta }}}-{\sqrt {\frac {\beta }{x-\mu }}}}{\gamma }}\right)\quad x>\mu ;\gamma ,\beta >0}$

donde γ es el parámetro de forma , μ es el parámetro de ubicación , β es el parámetro de escala y es la función de densidad de probabilidad de la distribución normal estándar . ${\displaystyle \phi }$

Distribución estándar de vida por fatiga

El caso en el que μ = 0 y β = 1 se denomina distribución estándar de vida por fatiga . El pdf para la distribución estándar de la vida por fatiga se reduce a

${\displaystyle f(x)={\frac {{\sqrt {x}}+{\sqrt {\frac {1}{x}}}}{2\gamma x}}\phi \left({\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {\frac {1}{x}}}}{\gamma }}\right)\quad x>0;\gamma >0}$

Dado que la forma general de las funciones de probabilidad se puede expresar en términos de la distribución estándar, todas las fórmulas siguientes se dan para la forma estándar de la función.

Función de distribución acumulativa

La fórmula para la función de distribución acumulativa es

${\displaystyle F(x)=\Phi \left({\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {\frac {1}{x}}}}{\gamma }}\right)\quad x>0;\gamma >0}$

donde Φ es la función de distribución acumulada de la distribución normal estándar.

Función cuantil

La fórmula para la función cuantil es

${\displaystyle G(p)={\frac {1}{4}}\left[\gamma \Phi ^{-1}(p)+{\sqrt {4+\left(\gamma \Phi ^{-1}(p)\right)^{2}}}\right]^{2}}$

donde Φ  ⁻¹ es la función cuantil de la distribución normal estándar.

Referencias

• Birnbaum, ZW ; Saunders, SC (1969), "Una nueva familia de distribuciones de vida", Journal of Applied Probability , 6 (2): 319–327, doi :10.2307/3212003, JSTOR  3212003, archivado desde el original el 23 de septiembre de 2017
• Desmond, AF (1985), "Modelos estocásticos de fallas en entornos aleatorios", Canadian Journal of Statistics , 13 (3): 171–183, doi :10.2307/3315148, JSTOR  3315148
• Johnson, N.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1995), Distribuciones univariadas continuas , vol. 2 (2ª ed.), Nueva York: Wiley
• Lemonte, AJ; Cribari-Neto, F.; Vasconcellos, KLP (2007), "Inferencia estadística mejorada para la distribución de Birnbaum-Saunders de dos parámetros", Estadística computacional y análisis de datos , 51 : 4656–4681, doi :10.1016/j.csda.2006.08.016
• Lemonte, AJ; Simas, AB; Cribari-Neto, F. (2008), "Estimadores mejorados basados ​​en Bootstrap para la distribución de Birnbaum-Saunders de dos parámetros", Journal of Statistical Computation and Simulation , 78 : 37–49, doi :10.1080/10629360600903882
• Cordeiro, gerente general; Lemonte, AJ (2011), "La distribución β-Birnbaum-Saunders: una distribución mejorada para el modelado de la vida por fatiga", Estadísticas computacionales y análisis de datos , 55 (3): 1445–1461, doi :10.1016/j.csda.2010.10. 007
• Lemonte, AJ (2013), "Una nueva extensión de la distribución Birnbaum-Saunders", Revista Brasileña de Probabilidad y Estadística , 27 (2): 133–149, doi : 10.1214/11-BJPS160

enlaces externos

• Distribución de la vida por fatiga

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