Métrica de Riemann sobre el espacio de estados mixtos de un sistema cuántico
En matemáticas , en el área de la geometría de la información cuántica , la métrica de Bures (llamada así por Donald Bures) [1] o la métrica de Helstrom (llamada así por Carl W. Helstrom ) [2] define una distancia infinitesimal entre operadores de matrices de densidad que definen estados cuánticos . Es una generalización cuántica de la métrica de información de Fisher y es idéntica a la métrica del estudio Fubini [3] cuando se restringe únicamente a los estados puros.
Definición
La métrica de Bures se puede definir como
¿Dónde está el operador hermitiano de 1 forma implícitamente dado por
que es un caso especial de una ecuación de Lyapunov continua .
Algunas de las aplicaciones de la métrica de Bures incluyen que dado un error objetivo, permite calcular el número mínimo de mediciones para distinguir dos estados diferentes [4] y el uso del elemento volumen como candidato para la densidad de probabilidad previa de Jeffreys [ 5] para estados cuánticos mixtos.
Distancia de Bures
La distancia de Bures es la versión finita de la distancia cuadrada infinitesimal descrita anteriormente y está dada por
donde la función de fidelidad se define como [6]
Otra función asociada es el arco de Bures también conocido como ángulo de Bures, longitud de Bures o ángulo cuántico , definido como
que es una medida de la distancia estadística [7]
entre estados cuánticos.
distancia de Wootter
Cuando ambos operadores de densidad son diagonales (de modo que son solo distribuciones de probabilidad clásicas), entonces sea y de manera similar , entonces la fidelidad es
distancia de Wootterschi-cuadrado[8]Realice un cambio de variables con , luego la métrica chi-cuadrado se convierte en . Desde , los puntos están restringidos a moverse en el cuadrante positivo de una hiperesfera unitaria. Entonces, las geodésicas son solo los círculos máximos de la hiperesfera, y también obtenemos la fórmula de distancia de Wootters.
Si ambos operadores de densidad son estados puros, entonces la fidelidad es y obtenemos la versión cuántica de la distancia de Wootter.
. [9]
En particular, la distancia de Bures directa entre dos estados ortogonales cualesquiera es , mientras que la distancia de Bures sumada a lo largo del camino geodésico que los conecta es .
Información sobre el pescador cuántico
La métrica de Bures puede verse como el equivalente cuántico de la métrica de información de Fisher y puede reescribirse en términos de la variación de los parámetros de coordenadas como
que se mantiene mientras y tenga el mismo rango. En los casos en que no tengan el mismo rango, hay un término adicional en el lado derecho. [10] [11] es el operador de derivada logarítmica simétrica (SLD) definido a partir de [12]
De esta manera, uno tiene
donde la métrica cuántica de Fisher (componentes tensoriales) se identifica como
La definición de SLD implica que la métrica cuántica de Fisher es 4 veces la métrica de Bures. En otras palabras, dado que son componentes del tensor métrico de Bures, se tiene
Como sucede con la métrica de información clásica de Fisher, la métrica cuántica de Fisher se puede utilizar para encontrar el límite de covarianza de Cramér-Rao .
Fórmulas explícitas
El cálculo real de la métrica de Bures no es evidente a partir de la definición, por lo que se desarrollaron algunas fórmulas para ese propósito. Para sistemas 2x2 y 3x3, respectivamente, la forma cuadrática de la métrica de Bures se calcula como [13]
Para sistemas generales, la métrica de Bures se puede escribir en términos de vectores propios y valores propios de la matriz de densidad como [14] [15]
como integral, [16]
o en términos de producto de Kronecker y vectorización , [17]
donde denota conjugado complejo y denota transpuesta conjugada . Esta fórmula es válida para matrices de densidad invertibles. Para matrices de densidad no invertibles, la inversa anterior se sustituye por la pseudoinversa de Moore-Penrose . Alternativamente, la expresión también se puede calcular aplicando un límite a un determinado estado mixto y, por tanto, invertible.
Sistema de dos niveles
El estado de un sistema de dos niveles se puede parametrizar con tres variables como
donde es el vector de matrices de Pauli y es el vector de Bloch (tridimensional) que satisface . Los componentes de la métrica de Bures en esta parametrización se pueden calcular como
- .
La medida de Bures se puede calcular tomando la raíz cuadrada del determinante para encontrar
que se puede utilizar para calcular el volumen de Bures como
Sistema de tres niveles
El estado de un sistema de tres niveles se puede parametrizar con ocho variables como
¿Dónde están las ocho matrices de Gell-Mann y el vector de Bloch de 8 dimensiones que satisfacen ciertas restricciones?
Ver también
Referencias
- ^ Bures, Donald (1969). "Una extensión del teorema de Kakutani sobre medidas de productos infinitos al producto tensorial de álgebras semifinitas ω {\displaystyle \omega } *" (PDF) . Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 135 . Sociedad Estadounidense de Matemáticas (AMS): 199. doi : 10.1090/s0002-9947-1969-0236719-2 . ISSN 0002-9947.
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Otras lecturas
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