Métrica de Bures

Métrica de Riemann en el espacio de estados mixtos de un sistema cuántico

En matemáticas , en el área de la geometría de la información cuántica , la métrica de Bures (nombrada en honor a Donald Bures) ^[1] o la métrica de Helstrom (nombrada en honor a Carl W. Helstrom ) ^[2] define una distancia infinitesimal entre operadores de matriz de densidad que definen estados cuánticos . Es una generalización cuántica de la métrica de información de Fisher y es idéntica a la métrica de Fubini-Study ^[3] cuando se restringe solo a los estados puros.

Definición

La métrica de Bures puede definirse como

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}(d\rho G),}$

¿Dónde está el operador de 1-forma hermítico dado implícitamente por ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \rho G+G\rho =d\rho ,}$

que es un caso especial de una ecuación de Lyapunov continua .

Algunas de las aplicaciones de la métrica de Bures incluyen que, dado un error objetivo, permite el cálculo del número mínimo de mediciones para distinguir dos estados diferentes ^[4] y el uso del elemento de volumen como candidato para la densidad de probabilidad previa de Jeffreys ^[5] para estados cuánticos mixtos.

Distancia de Bures

La distancia de Bures es la versión finita de la distancia cuadrada infinitesimal descrita anteriormente y está dada por

${\displaystyle D_{B}(\rho _{1},\rho _{2})^{2}=2(1-{\sqrt {F(\rho _{1},\rho _{2})}}),}$

donde la función de fidelidad se define como ^[6]

${\displaystyle F(\rho _{1},\rho _{2})=\left[{\mbox{tr}}({\sqrt {{\sqrt {\rho _{1}}}\rho _{2}{\sqrt {\rho _{1}}}}})\right]^{2}.}$

Otra función asociada es el arco de Bures también conocido como ángulo de Bures, longitud de Bures o ángulo cuántico , definido como

${\displaystyle D_{A}(\rho _{1},\rho _{2})=\arccos {\sqrt {F(\rho _{1},\rho _{2})}},}$

que es una medida de la distancia estadística ^[7] entre estados cuánticos.

Distancia de Wootters

Cuando ambos operadores de densidad son diagonales (de modo que son simplemente distribuciones de probabilidad clásicas), entonces sea y de manera similar , entonces la fidelidad es con la longitud de Bures convirtiéndose en la distancia de Wootters . La distancia de Wootters es la distancia geodésica entre las distribuciones de probabilidad bajo la métrica de chi-cuadrado . ^[8] ${\displaystyle \rho _{1}=diag(p_{1},...)}$ ${\displaystyle \rho _{2}=diag(q_{1},...)}$ $${\displaystyle {\sqrt {F}}=\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}}$$ ${\displaystyle \arccos \left(\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}\right)}$ ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {dp_{i}^{2}}{p_{i}}}}$

Realizamos un cambio de variables con , entonces la métrica de chi-cuadrado se convierte en . Como , los puntos están restringidos a moverse en el cuadrante positivo de una hiperesfera unitaria. Por lo tanto, las geodésicas son solo los círculos máximos en la hiperesfera y también obtenemos la fórmula de la distancia de Wootters. ${\displaystyle x_{i}:={\sqrt {p_{i}}}}$ ${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i}dx_{i}^{2}}$ ${\displaystyle \sum _{i}x_{i}^{2}=\sum _{i}p_{i}=1}$ ${\displaystyle x}$

Si ambos operadores de densidad son estados puros , entonces la fidelidad es y obtenemos la versión cuántica de la distancia de Wootter. ${\displaystyle \psi ,\phi }$ ${\displaystyle {\sqrt {F}}=|\langle \psi |\phi \rangle |}$

${\displaystyle \arccos(|\langle \psi |\phi \rangle |)}$. ^[9]

En particular, la distancia de Bures directa entre dos estados ortogonales es , mientras que la distancia de Bures sumada a lo largo de la trayectoria geodésica que los conecta es . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \pi /2}$

Información sobre Quantum Fisher

La métrica de Bures puede verse como el equivalente cuántico de la métrica de información de Fisher y puede reescribirse en términos de la variación de los parámetros de coordenadas como

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}\left({\frac {d\rho }{d\theta ^{\mu }}}L_{\nu }\right)d\theta ^{\mu }d\theta ^{\nu },}$

que se cumple siempre que y tengan el mismo rango. En los casos en que no tengan el mismo rango, hay un término adicional en el lado derecho. ^{[10] [11]} es el operador de derivada logarítmica simétrica (SLD) definido a partir de ^[12] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho +d\rho }$ ${\displaystyle L_{\mu }}$

${\displaystyle {\frac {\rho L_{\mu }+L_{\mu }\rho }{2}}={\frac {d\rho ^{\,}}{d\theta ^{\mu }}}.}$

De esta manera, se tiene

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}\left[\rho {\frac {L_{\mu }L_{\nu }+L_{\nu }L_{\mu }}{2}}\right]d\theta ^{\mu }d\theta ^{\nu },}$

donde la métrica cuántica de Fisher (componentes tensoriales) se identifica como

${\displaystyle J_{\mu \nu }={\mbox{tr}}\left[\rho {\frac {L_{\mu }L_{\nu }+L_{\nu }L_{\mu }}{2}}\right].}$

La definición de SLD implica que la métrica cuántica de Fisher es 4 veces la métrica de Bures. En otras palabras, dado que son componentes del tensor de la métrica de Bures, se tiene ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle J_{\mu \nu }^{}=4g_{\mu \nu }.}$

Al igual que sucede con la métrica de información de Fisher clásica, la métrica cuántica de Fisher se puede utilizar para encontrar el límite de Cramér-Rao de la covarianza .

Fórmulas explícitas

El cálculo real de la métrica de Bures no es evidente a partir de la definición, por lo que se desarrollaron algunas fórmulas para ese propósito. Para los sistemas 2x2 y 3x3, respectivamente, la forma cuadrática de la métrica de Bures se calcula como ^[13]

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{4}}{\mbox{tr}}\left[d\rho d\rho +{\frac {1}{\det(\rho )}}(\mathbf {1} -\rho )d\rho (\mathbf {1} -\rho )d\rho \right],}$

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{4}}{\mbox{tr}}\left[d\rho d\rho +{\frac {3}{1-{\mbox{tr}}\rho ^{3}}}(\mathbf {1} -\rho )d\rho (\mathbf {1} -\rho )d\rho +{\frac {3\det {\rho }}{1-{\mbox{tr}}\rho ^{3}}}(\mathbf {1} -\rho ^{-1})d\rho (\mathbf {1} -\rho ^{-1})d\rho \right].}$

Para sistemas generales, la métrica de Bures se puede escribir en términos de los vectores propios y valores propios de la matriz de densidad como ^{[14] [15]} ${\displaystyle \rho =\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}|j\rangle \langle j|}$

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{j,k=1}^{n}{\frac {|\langle j|d\rho |k\rangle |^{2}}{\lambda _{j}+\lambda _{k}}},}$

como una integral, ^[16]

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\text{tr}}[e^{-\rho t}d\rho e^{-\rho t}d\rho ]\ dt,}$

o en términos de producto y vectorización de Kronecker , ^[17]

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\text{vec}}[d\rho ]^{\dagger }{\big (}\rho ^{*}\otimes \mathbf {1} +\mathbf {1} \otimes \rho {\big )}^{-1}{\text{vec}}[d\rho ],}$

donde denota conjugado complejo y denota transpuesta conjugada . Esta fórmula es válida para matrices de densidad invertibles. Para matrices de densidad no invertibles, la inversa anterior se sustituye por la pseudoinversa de Moore-Penrose . Alternativamente, la expresión también se puede calcular realizando un límite en un cierto estado mixto y, por lo tanto, invertible. ${\displaystyle ^{*}}$ ${\displaystyle ^{\dagger }}$

Sistema de dos niveles

El estado de un sistema de dos niveles se puede parametrizar con tres variables como

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}(I+{\boldsymbol {r\cdot \sigma }}),}$

donde es el vector de matrices de Pauli y es el vector de Bloch (tridimensional) que satisface . Los componentes de la métrica de Bures en esta parametrización se pueden calcular como ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ ${\displaystyle r^{2}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\boldsymbol {r\cdot r}}\leq 1}$

${\displaystyle {\mathsf {g}}={\frac {\mathsf {I}}{4}}+{\frac {\boldsymbol {r\otimes r}}{4(1-r^{2})}}}$.

La medida de Bures se puede calcular tomando la raíz cuadrada del determinante para encontrar

${\displaystyle dV_{B}={\frac {d^{3}{\boldsymbol {r}}}{8{\sqrt {1-r^{2}}}}},}$

que se puede utilizar para calcular el volumen de Bures como

${\displaystyle V_{B}=\iiint _{r^{2}\leq 1}{\frac {d^{3}{\boldsymbol {r}}}{8{\sqrt {1-r^{2}}}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}.}$

Sistema de tres niveles

El estado de un sistema de tres niveles se puede parametrizar con ocho variables como

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{3}}(I+{\sqrt {3}}\sum _{\nu =1}^{8}\xi _{\nu }\lambda _{\nu }),}$

¿Dónde están las ocho matrices de Gell-Mann y el vector de Bloch de 8 dimensiones que satisfacen ciertas restricciones? ${\displaystyle \lambda _{\nu }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\in \mathbb {R} ^{8}}$

Véase también

• Fubini–Estudio métrico
• Fidelidad de los estados cuánticos
• Información de Fisher
• Métrica de información de Fisher

Referencias

1. Bures, Donald (1969). "Una extensión del teorema de Kakutani sobre medidas de producto infinitas al producto tensorial de ω {\displaystyle \omega } *-álgebras semifinitas" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 135 . American Mathematical Society (AMS): 199. doi : 10.1090/s0002-9947-1969-0236719-2 . ISSN  0002-9947.
2. Helstrom, CW (1967). "Error cuadrático medio mínimo de estimaciones en estadística cuántica". Physics Letters A . 25 (2). Elsevier BV: 101–102. Bibcode :1967PhLA...25..101H. doi :10.1016/0375-9601(67)90366-0. ISSN  0375-9601.
3. Facchi, Paolo; Kulkarni, Ravi; Man'ko, VI; Marmo, Giuseppe; Sudarshan, ECG; Ventriglia, Franco (2010). "Información clásica y cuántica de Fisher en la formulación geométrica de la mecánica cuántica". Physics Letters A . 374 (48): 4801–4803. arXiv : 1009.5219 . Código Bibliográfico :2010PhLA..374.4801F. doi :10.1016/j.physleta.2010.10.005. ISSN  0375-9601. S2CID  55558124.
4. Braunstein, Samuel L.; Caves, Carlton M. (30 de mayo de 1994). "Distancia estadística y geometría de los estados cuánticos". Physical Review Letters . 72 (22). American Physical Society (APS): 3439–3443. Bibcode :1994PhRvL..72.3439B. doi :10.1103/physrevlett.72.3439. ISSN  0031-9007. PMID  10056200.
5. Slater, Paul B. (1996). "Aplicaciones de la información de Fisher cuántica y clásica a sistemas complejos de dos niveles y cuaterniónicos y de tres niveles". Journal of Mathematical Physics . 37 (6). AIP Publishing: 2682–2693. Bibcode :1996JMP....37.2682S. doi :10.1063/1.531528. ISSN  0022-2488.
6. Desafortunadamente, algunos autores utilizan una definición diferente, ${\displaystyle F(\rho _{1},\rho _{2})={\mbox{tr}}({\sqrt {{\sqrt {\rho _{1}}}\rho _{2}{\sqrt {\rho _{1}}}}})}$
7. Wootters, WK (15 de enero de 1981). "Distancia estadística y espacio de Hilbert". Physical Review D . 23 (2). American Physical Society (APS): 357–362. Código Bibliográfico :1981PhRvD..23..357W. doi :10.1103/physrevd.23.357. ISSN  0556-2821.
8. Braunstein, Samuel L.; Caves, Carlton M. (30 de mayo de 1994). "Distancia estadística y geometría de los estados cuánticos". Physical Review Letters . 72 (22): 3439–3443. Bibcode :1994PhRvL..72.3439B. doi :10.1103/PhysRevLett.72.3439. PMID  10056200.
9. Deffner, Sebastian; Campbell, Steve (10 de noviembre de 2017). "Límites de velocidad cuántica: del principio de incertidumbre de Heisenberg al control cuántico óptimo". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 50 (45): 453001. arXiv : 1705.08023 . Bibcode :2017JPhA...50S3001D. doi :10.1088/1751-8121/aa86c6. hdl :11603/19391. ISSN  1751-8113. S2CID  3477317.
10. Šafránek, Dominik (11 de mayo de 2017). "Discontinuidades de la información cuántica de Fisher y la métrica de Bures". Physical Review A . 95 (5): 052320. arXiv : 1612.04581 . Código Bibliográfico :2017PhRvA..95e2320S. doi :10.1103/physreva.95.052320. ISSN  2469-9926.
11. Rezakhani, AT; Hassani, M.; Alipour, S. (12 de septiembre de 2019). "Continuidad de la información cuántica de Fisher". Physical Review A . 100 (3): 032317. arXiv : 1507.01736 . Código Bibliográfico :2019PhRvA.100c2317R. doi :10.1103/PhysRevA.100.032317. S2CID  51680508.
12. Paris, Matteo GA (2009). "Estimación cuántica para tecnología cuántica". Revista internacional de información cuántica . 07 (supp01): 125–137. arXiv : 0804.2981 . doi :10.1142/s0219749909004839. ISSN  0219-7499. S2CID  2365312.
13. Dittmann, J (1 de enero de 1999). "Fórmulas explícitas para la métrica de Bures". Journal of Physics A: Mathematical and General . 32 (14): 2663–2670. arXiv : quant-ph/9808044 . Código Bibliográfico :1999JPhA...32.2663D. doi :10.1088/0305-4470/32/14/007. ISSN  0305-4470. S2CID  18298901.
14. Hübner, Matthias (1992). "Cálculo explícito de la distancia de Bures para matrices de densidad". Physics Letters A . 163 (4). Elsevier BV: 239–242. Bibcode :1992PhLA..163..239H. doi :10.1016/0375-9601(92)91004-b. ISSN  0375-9601.
15. Hübner, Matthias (1993). "Cálculo del transporte paralelo de Uhlmann para matrices de densidad y la métrica de Bures en el espacio de Hilbert tridimensional". Physics Letters A . 179 (4–5). Elsevier BV: 226–230. Bibcode :1993PhLA..179..226H. doi :10.1016/0375-9601(93)90668-p. ISSN  0375-9601.
16. PARIS, MATTEO GA (2009). "Estimación cuántica para tecnología cuántica". Revista internacional de información cuántica . 07 (supp01): 125–137. arXiv : 0804.2981 . doi :10.1142/s0219749909004839. ISSN  0219-7499. S2CID  2365312.
17. Šafránek, Dominik (12 de abril de 2018). "Expresión simple para la matriz de información cuántica de Fisher". Physical Review A . 97 (4): 042322. arXiv : 1801.00945 . Código Bibliográfico :2018PhRvA..97d2322S. doi :10.1103/physreva.97.042322. ISSN  2469-9926.

Lectura adicional

• Uhlmann, A. (1992). "La métrica de Bures y la fase geométrica". En Gielerak, R.; Lukierski, J.; Popowicz, Z. (eds.). Grupos y temas relacionados . Actas del primer simposio Max Born. págs. 267–274. doi :10.1007/978-94-011-2801-8_23. ISBN 94-010-5244-1.
• Sommers, HJ; Zyczkowski, K. (2003). "Volumen de Bures del conjunto de estados cuánticos mixtos". Journal of Physics A . 36 (39): 10083–10100. arXiv : quant-ph/0304041 . Código Bibliográfico :2003JPhA...3610083S. doi :10.1088/0305-4470/36/39/308. S2CID  39943897.
• Dittmann, J. (1993). "Sobre la geometría riemanniana de estados mixtos de dimensión finita" (PDF) . Seminario Sophus Lie . 73 .
• Slater, Paul B. (1996). "Información cuántica de Fisher-Bures de sistemas de dos niveles y una extensión de tres niveles". J. Phys. A: Math. Gen. 29 ( 10): L271–L275. doi :10.1088/0305-4470/29/10/008.
• Nielsen, MA; Chuang, IL (2000). Computación cuántica e información cuántica . Cambridge University Press. ISBN 0-521-63235-8.