Dinámica estructural

Comportamiento de una estructura sometida a cargas dinámicas (acciones con alta aceleración)

La dinámica estructural es un tipo de análisis estructural que cubre el comportamiento de una estructura sometida a cargas dinámicas (acciones con alta aceleración). Las cargas dinámicas incluyen personas, viento, olas, tráfico, terremotos y explosiones. Cualquier estructura puede estar sujeta a cargas dinámicas. El análisis dinámico se puede utilizar para encontrar desplazamientos dinámicos , historia temporal y análisis modal .

El análisis estructural se ocupa principalmente de descubrir el comportamiento de una estructura física cuando se somete a una fuerza. Esta acción puede ser en forma de carga por el peso de cosas como personas, muebles, viento, nieve, etc. o algún otro tipo de excitación como un terremoto, temblor del suelo debido a una explosión cercana, etc. En esencia, todas estas cargas son dinámicas, incluido el peso propio de la estructura porque en algún momento estas cargas no estuvieron allí. La distinción entre análisis dinámico y estático se basa en si la acción aplicada tiene suficiente aceleración en comparación con la frecuencia natural de la estructura. Si una carga se aplica con suficiente lentitud, las fuerzas de inercia ( primera ley del movimiento de Newton ) pueden ignorarse y el análisis puede simplificarse como análisis estático.

Una carga estática es aquella que varía muy lentamente. Una carga dinámica es aquella que cambia con el tiempo con bastante rapidez en comparación con la frecuencia natural de la estructura. Si cambia lentamente, la respuesta de la estructura puede determinarse con un análisis estático, pero si varía rápidamente (en relación con la capacidad de respuesta de la estructura), la respuesta debe determinarse con un análisis dinámico.

El análisis dinámico para estructuras simples se puede realizar manualmente, pero para estructuras complejas se puede utilizar el análisis de elementos finitos para calcular las formas y frecuencias modales.

Desplazamientos

Una carga dinámica puede tener un efecto significativamente mayor que una carga estática de la misma magnitud debido a la incapacidad de la estructura para responder rápidamente a la carga (mediante deflexión). El aumento en el efecto de una carga dinámica viene dado por el factor de amplificación dinámica (DAF) o factor de carga dinámica (DLF):

${\displaystyle {\text{DAF}}={\text{DLF}}={\frac {u_{\max }}{u_{\text{static}}}}}$

donde u es la deflexión de la estructura debido a la carga aplicada.

Existen gráficos de factores de amplificación dinámica versus tiempo de subida adimensional ( t _r / T ) para funciones de carga estándar (para obtener una explicación del tiempo de subida, consulte el análisis del historial temporal a continuación). Por lo tanto, el DAF para una carga determinada se puede leer en el gráfico, la deflexión estática se puede calcular fácilmente para estructuras simples y se puede encontrar la deflexión dinámica.

Análisis de la historia del tiempo

Un historial de tiempo completo dará la respuesta de una estructura a lo largo del tiempo durante y después de la aplicación de una carga. Para encontrar la historia temporal completa de la respuesta de una estructura, debes resolver la ecuación de movimiento de la estructura .

Ejemplo

Sistema de un solo grado de libertad: modelo de resorte de masa simple

Un sistema simple de un solo grado de libertad (una masa , M , sobre un resorte de rigidez k , por ejemplo) tiene la siguiente ecuación de movimiento:

${\displaystyle M{\ddot {x}}+kx=F(t)}$

donde es la aceleración (la doble derivada del desplazamiento) y x es el desplazamiento. ${\displaystyle {\ddot {x}}}$

Si la carga F ( t ) es una función de paso de Heaviside (la aplicación repentina de una carga constante), la solución a la ecuación de movimiento es:

${\displaystyle x={\frac {F_{0}}{k}}[1-\cos(\omega t)]}$

donde y la frecuencia natural fundamental, . ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{M}}}}$ ${\displaystyle f={\frac {\omega }{2\pi }}}$

La deflexión estática de un sistema de un solo grado de libertad es:

${\displaystyle x_{\text{static}}={\frac {F_{0}}{k}}}$

entonces podemos escribir, combinando las fórmulas anteriores:

${\displaystyle x=x_{\text{static}}[1-\cos(\omega t)]}$

Esto proporciona la historia temporal (teórica) de la estructura debido a una carga F(t), donde se hace la suposición falsa de que no hay amortiguamiento .

Aunque esto es demasiado simplista para aplicarlo a una estructura real, la función de escalón de Heaviside es un modelo razonable para la aplicación de muchas cargas reales, como la adición repentina de un mueble o la eliminación de un puntal a una estructura de hormigón recién colado. piso. Sin embargo, en realidad las cargas nunca se aplican instantáneamente: se acumulan durante un período de tiempo (que puede ser muy corto). Este tiempo se llama tiempo de subida .

A medida que aumenta el número de grados de libertad de una estructura, rápidamente se vuelve demasiado difícil calcular manualmente el historial temporal: las estructuras reales se analizan utilizando software de análisis de elementos finitos no lineales .

Mojadura

Cualquier estructura real disipará energía (principalmente mediante fricción). Esto se puede modelar modificando el DAF.

${\displaystyle {\text{DAF}}=1+e^{-c\pi }}$

donde y suele ser del 2 al 10% según el tipo de construcción: ${\displaystyle c={\frac {\text{damping coefficient}}{\text{critical damping coefficient}}}}$

• Acero atornillado ~6%
• Hormigón armado ~5%
• Acero soldado ~2%
• Mampostería de ladrillo ~10%

Métodos para aumentar la amortiguación.

Uno de los métodos más utilizados para aumentar la amortiguación es unir una capa de material con un alto coeficiente de amortiguación, por ejemplo caucho, a una estructura vibratoria.

Análisis modal

Un análisis modal calcula los modos de frecuencia o frecuencias naturales de un sistema determinado, pero no necesariamente su respuesta histórica a tiempo completo a una entrada determinada. La frecuencia natural de un sistema depende únicamente de la rigidez de la estructura y de la masa que participa en la estructura (incluido el peso propio). No depende de la función de carga.

Es útil conocer las frecuencias modales de una estructura, ya que permite garantizar que la frecuencia de cualquier carga periódica aplicada no coincidirá con una frecuencia modal y, por tanto, provocará resonancia , lo que provoca grandes oscilaciones .

El método es:

1. Encuentra los modos naturales (la forma adoptada por una estructura) y las frecuencias naturales.
2. Calcular la respuesta de cada modo.
3. Opcionalmente, superponga la respuesta de cada modo para encontrar la respuesta modal completa a una carga determinada.

Método energético

Es posible calcular manualmente la frecuencia de diferentes modos de forma del sistema mediante el método de energía . Para una forma modal determinada de un sistema de múltiples grados de libertad, puede encontrar una masa, rigidez y fuerza aplicada "equivalentes" para un sistema de un solo grado de libertad. Para estructuras simples, las formas modales básicas se pueden encontrar mediante inspección, pero no es un método conservador. El principio de Rayleigh establece:

"La frecuencia ω de un modo arbitrario de vibración, calculada por el método de la energía, es siempre mayor o igual que la frecuencia fundamental ω _n ."

Para una forma modal asumida , de un sistema estructural con masa M; rigidez a la flexión, EI ( módulo de Young , E , multiplicado por el segundo momento del área , I ); y fuerza aplicada, F ( x ): ${\displaystyle {\bar {u}}(x)}$

${\displaystyle {\text{Equivalent mass, }}M_{\text{eq}}=\int M{\bar {u}}^{2}\,du}$

${\displaystyle {\text{Equivalent stiffness, }}k_{\text{eq}}=\int EI\left({\frac {d^{2}{\bar {u}}}{dx^{2}}}\right)^{2}\,dx}$

${\displaystyle {\text{Equivalent force, }}F_{\text{eq}}=\int F{\bar {u}}\,dx}$

entonces, como arriba:

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k_{\text{eq}}}{M_{\text{eq}}}}}}$

respuesta modal

La respuesta modal completa a una carga dada F ( x , t ) es . La suma se puede realizar mediante uno de tres métodos comunes: ${\displaystyle v(x,t)=\sum u_{n}(x,t)}$

• Superponer historiales de tiempo completos de cada modo (lleva mucho tiempo, pero es exacto)
• Superponer las amplitudes máximas de cada modo (rápido pero conservador)
• Superponga la raíz cuadrada de la suma de cuadrados (buena estimación para frecuencias bien separadas, pero insegura para frecuencias muy espaciadas)

Para superponer las respuestas modales individuales manualmente, habiéndolas calculado por el método de la energía:

Suponiendo que se conoce el tiempo de subida t _{r (} T = 2 π / ω ), es posible leer el DAF a partir de un gráfico estándar. El desplazamiento estático se puede calcular con . El desplazamiento dinámico para el modo elegido y la fuerza aplicada se puede encontrar a partir de: ${\displaystyle u_{\text{static}}={\frac {F_{1,{\text{eq}}}}{k_{1,{\text{eq}}}}}}$

${\displaystyle u_{\max }=u_{\text{static}}{\text{DAF}}}$

Factor de participación modal

_{Para los sistemas reales ,} a menudo hay masa que participa en la función de forzamiento (como la masa del suelo en un terremoto ) y masa que participa en los efectos de inercia (la masa de la estructura misma, Meq ). El factor de participación modal Γ es una comparación de estas dos masas. Para un sistema de un solo grado de libertad Γ = 1.

${\displaystyle \Gamma ={\frac {\sum M_{n}{\bar {u}}_{n}}{\sum M_{n}{\bar {u}}_{n}^{2}}}}$

enlaces externos

• Laboratorio de Vibración y Dinámica Estructural de la Universidad McGill
• Función de respuesta de frecuencia a partir de parámetros modales.
• Tutoriales de dinámica estructural y scripts de Matlab
• AIAA Exploring Structural Dynamics (http://www.exploringstructuraldynamics.org/) - Dinámica estructural en ingeniería aeroespacial: demostraciones interactivas, vídeos y entrevistas con ingenieros en ejercicio