Desigualdad de Popoviciu sobre varianzas

En teoría de la probabilidad , la desigualdad de Popoviciu , llamada así por Tiberiu Popoviciu , es un límite superior de la varianza σ ² de cualquier distribución de probabilidad acotada . Sean M y m los límites superior e inferior de los valores de cualquier variable aleatoria con una distribución de probabilidad particular. Entonces, la desigualdad de Popoviciu establece: ^[1]

${\displaystyle \sigma ^{2}\leq {\frac {1}{4}}(M-m)^{2}.}$

Esta igualdad se cumple precisamente cuando la mitad de la probabilidad se concentra en cada uno de los dos límites.

Sharma et al . han agudizado la desigualdad de Popoviciu: ^[2]

${\displaystyle {\sigma ^{2}+\left({\frac {\text{Third central moment}}{2\sigma ^{2}}}\right)^{2}}\leq {\frac {1}{4}}(M-m)^{2}.}$

Si además se supone que se conoce la expectativa, entonces se cumple la desigualdad más fuerte de Bhatia-Davis.

${\displaystyle \sigma ^{2}\leq (M-\mu )(\mu -m)}$

donde μ es la expectativa de la variable aleatoria. ^[3]

En el caso de una muestra independiente de n observaciones de una distribución de probabilidad acotada, la desigualdad de von Szokefalvi Nagy ^[4] proporciona un límite inferior a la varianza de la media de la muestra:

${\displaystyle \sigma ^{2}\geq {\frac {(M-m)^{2}}{2n}}.}$

Prueba a través de laDesigualdad de Bhatia-Davis

Sea una variable aleatoria con media , varianza y . Entonces, como , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \Pr(m\leq A\leq M)=1}$ ${\displaystyle m\leq A\leq M}$

${\displaystyle 0\leq \mathbb {E} [(M-A)(A-m)]=-\mathbb {E} [A^{2}]-mM+(m+M)\mu }$.

De este modo,

${\displaystyle \sigma ^{2}=\mathbb {E} [A^{2}]-\mu ^{2}\leq -mM+(m+M)\mu -\mu ^{2}=(M-\mu )(\mu -m)}$.

Ahora, aplicando la desigualdad de las medias aritméticas y geométricas , , con y , se obtiene el resultado deseado: ${\displaystyle ab\leq \left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}$ ${\displaystyle a=M-\mu }$ ${\displaystyle b=\mu -m}$

${\displaystyle \sigma ^{2}\leq (M-\mu )(\mu -m)\leq {\frac {\left(M-m\right)^{2}}{4}}}$.

Referencias

1. Popoviciu, T. (1935). "Sur les équations algébriques ayant toutes leurs racines réelles". Matemática (Cluj) . 9 : 129-145.
2. Sharma, R., Gupta, M., Kapoor, G. (2010). "Algunos límites mejores para la varianza con aplicaciones". Journal of Mathematical Inequalities . 4 (3): 355–363. doi : 10.7153/jmi-04-32 .{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
3. Bhatia, Rajendra; Davis, Chandler (abril de 2000). "Un límite mejor para la varianza". American Mathematical Monthly . 107 (4). Asociación Matemática de América : 353–357. doi :10.2307/2589180. ISSN  0002-9890. JSTOR  2589180.
4. Nagy, Julio (1918). "Über algebraische Gleichungen mit lauter reellen Wurzeln". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 27 : 37–43.