Desigualdad de Poincaré

Desigualdad matemática en la teoría del espacio de Sobolev

En matemáticas , la desigualdad de Poincaré ^[1] es un resultado de la teoría de los espacios de Sobolev , llamada así en honor al matemático francés Henri Poincaré . La desigualdad permite obtener límites de una función utilizando límites de sus derivadas y la geometría de su dominio de definición. Dichos límites son de gran importancia en los métodos directos modernos del cálculo de variaciones . Un resultado muy relacionado es la desigualdad de Friedrichs .

Enunciado de la desigualdad

La desigualdad clásica de Poincaré

Sea p , de modo que 1 ≤  p  < ∞ y Ω un subconjunto acotado al menos en una dirección. Entonces existe una constante C , que depende únicamente de Ω y p , de modo que, para cada función u del espacio de Sobolev W ₀ ^{1, p} (Ω) de funciones de traza cero (también conocidas como cero en el borde),

${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )}.}$

Desigualdad de Poincaré-Wirtinger

Supóngase que 1 ≤  p  ≤ ∞ y que Ω es un subconjunto abierto, conexo y acotado del espacio euclidiano n - dimensional con un límite de Lipschitz (es decir, Ω es un dominio de Lipschitz ). Entonces existe una constante C , que depende solo de Ω y p , tal que para cada función u en el espacio de Sobolev W ^{1, p} (Ω) , donde es el valor promedio de u sobre Ω, con |Ω| representando la medida de Lebesgue del dominio Ω. Cuando Ω es una pelota, la desigualdad anterior se llama desigualdad ( p , p ) -Poincaré; para dominios Ω más generales, lo anterior se conoce más familiarmente como desigualdad de Sobolev . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )},}$$ $${\displaystyle u_{\Omega }={\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }u(y)\,\mathrm {d} y}$$

La necesidad de restar el valor promedio se puede ver al considerar funciones constantes para las cuales la derivada es cero, mientras que, sin restar el promedio, podemos tener la integral de la función tan grande como queramos. Hay otras condiciones en lugar de restar el promedio que podemos requerir para tratar este problema con funciones constantes, por ejemplo, requerir traza cero o restar el promedio sobre algún subconjunto propio del dominio. La constante C en la desigualdad de Poincaré puede ser diferente de una condición a otra. También tenga en cuenta que el problema no son solo las funciones constantes, porque es lo mismo que decir que agregar un valor constante a una función puede aumentar su integral mientras que la integral de su derivada permanece igual. Entonces, simplemente excluir las funciones constantes no resolverá el problema.

Generalizaciones

En el contexto de los espacios de medida métrica, la definición de una desigualdad de Poincaré es ligeramente diferente. Una definición es: un espacio de medida métrica admite una desigualdad de Poincaré (q,p) para algunos si hay constantes C y λ ≥ 1 de modo que para cada bola B en el espacio, Aquí tenemos una bola agrandada en el lado derecho. En el contexto de los espacios de medida métrica, es el gradiente superior p-débil mínimo de u en el sentido de Heinonen y Koskela. ^[2] ${\displaystyle 1\leq q,p<\infty }$ $${\displaystyle \mu (B)^{-{\frac {1}{q}}}\left\|u-u_{B}\right\|_{L^{q}(B)}\leq C\operatorname {rad} (B)\mu (B)^{-{\frac {1}{p}}}\|\nabla u\|_{L^{p}(\lambda B)}.}$$ ${\displaystyle \|\nabla u\|}$

Se ha demostrado que el hecho de que un espacio admita una desigualdad de Poincaré tiene profundas conexiones con la geometría y el análisis del espacio. Por ejemplo, Cheeger ha demostrado que un espacio de duplicación que satisface una desigualdad de Poincaré admite una noción de diferenciación. ^[3] Dichos espacios incluyen variedades subriemannianas y espacios de Laakso .

Existen otras generalizaciones de la desigualdad de Poincaré a otros espacios de Sobolev. Por ejemplo, considérese el espacio de Sobolev H ^1/2 ( T ² ), es decir, el espacio de funciones u en el espacio L 2 del toro unitario T ² con transformada de Fourier û que satisface En este contexto, la desigualdad de Poincaré dice: existe una constante C tal que, para cada u ∈ H ^1/2 ( T ² ) con u idénticamente cero en un conjunto abierto E ⊆ T ² , donde cap( E × {0}) denota la capacidad armónica de E × {0 } cuando se piensa en él como un subconjunto de . ^[4] $${\displaystyle [u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2}=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{2}}|k|\left|{\hat {u}}(k)\right|^{2}<+\infty .}$$ $${\displaystyle \int _{\mathbf {T} ^{2}}|u(x)|^{2}\,\mathrm {d} x\leq C\left(1+{\frac {1}{\operatorname {cap} (E\times \{0\})}}\right)[u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2},}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Otra generalización implica desigualdades de Poincaré ponderadas donde la medida de Lebesgue se reemplaza por una versión ponderada.

La constante de Poincaré

La constante óptima C en la desigualdad de Poincaré se conoce a veces como la constante de Poincaré para el dominio Ω. Determinar la constante de Poincaré es, en general, una tarea muy difícil que depende del valor de p y de la geometría del dominio Ω. Sin embargo, ciertos casos especiales son manejables. Por ejemplo, si Ω es un dominio Lipschitz acotado , convexo y con diámetro d , entonces la constante de Poincaré es como máximo d /2 para p = 1 , para p = 2 , ^{[5] [6]} y esta es la mejor estimación posible de la constante de Poincaré en términos del diámetro solo. Para funciones suaves, esto puede entenderse como una aplicación de la desigualdad isoperimétrica a los conjuntos de niveles de la función . ^[7] En una dimensión, esta es la desigualdad de Wirtinger para funciones . ${\displaystyle d/\pi }$

Sin embargo, en algunos casos especiales la constante C puede determinarse de forma concreta. Por ejemplo, para p  = 2, es bien sabido que en el dominio del triángulo rectángulo isósceles unitario, C  = 1/π ( <  d /π donde ). ^[8] ${\displaystyle d={\sqrt {2}}}$

Además, para un dominio suave y acotado Ω , dado que el cociente de Rayleigh para el operador de Laplace en el espacio se minimiza por la función propia correspondiente al valor propio mínimo λ ₁ del laplaciano (negativo), es una consecuencia simple que, para cualquier , y además, que la constante λ ₁ es óptima. ${\displaystyle W_{0}^{1,2}(\Omega )}$ ${\displaystyle u\in W_{0}^{1,2}(\Omega )}$ $${\displaystyle \|u\|_{L^{2}}^{2}\leq \lambda _{1}^{-1}\left\|\nabla u\right\|_{L^{2}}^{2}}$$

Desigualdad de Poincaré en espacios métricos

Desde los años 90 se han encontrado varias formas fructíferas de dar sentido a las funciones de Sobolev en espacios de medida métrica general (espacios métricos dotados de una medida que suele ser compatible con la métrica en ciertos sentidos). Por ejemplo, el enfoque basado en "gradientes superiores" conduce al espacio de funciones Newtoniano-Sobolev. Por lo tanto, tiene sentido decir que un espacio "admite una desigualdad de Poincaré".

Resulta que el hecho de que un espacio admita una desigualdad de Poincaré y, en tal caso, el exponente crítico para el cual lo hace, está estrechamente ligado a la geometría del espacio. Por ejemplo, un espacio que admita una desigualdad de Poincaré debe estar conectado por trayectorias. De hecho, entre cualquier par de puntos debe existir una trayectoria rectificable con una longitud comparable a la distancia de los puntos. Se han encontrado conexiones mucho más profundas, por ejemplo, a través de la noción de módulo de familias de trayectorias. Una buena y bastante reciente referencia es la monografía "Sobolev Spaces on Metric Measure Spaces, an approach based on upper gradients" escrita por Heinonen et al.

Los espacios de Sobolev Slobodeckij y la desigualdad de Poincaré

Dados y , el espacio de Sobolev Slobodeckij se define como el conjunto de todas las funciones tales que y la seminorma es finita. La seminorma se define por: ${\displaystyle 0<s<1}$ ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$ ${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u\in L^{p}(\Omega )}$ ${\displaystyle [u]_{s,p}}$ ${\displaystyle [u]_{s,p}}$

${\displaystyle [u]_{s,p}=\left(\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|u(x)-u(y)|^{p}}{|x-y|^{n+sp}}}\,dx\,dy\right)^{1/p}}$

La desigualdad de Poincaré en este contexto se puede generalizar de la siguiente manera:

${\displaystyle \|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C[u]_{s,p}}$

donde es el promedio de y es una constante que depende de , y . Esta desigualdad se cumple para cada . ${\displaystyle u_{\Omega }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle s,p}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Prueba de la desigualdad de Poincaré

La demostración sigue la de Irene Drelichman y Ricardo G. Durán. ^[9] Sea . Aplicando la desigualdad de Jensen, obtenemos: ${\displaystyle f_{\Omega }={\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }f(x)\,dx}$

${\displaystyle \|f-f_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}=\left\|{\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }(f(y)-f(x))\,dx\right\|_{L^{p}}^{p}=\int _{\Omega }\left|{\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }f(y)-f(x)\,dy\right|^{p}\,dx}$

${\displaystyle \leq {\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }\int _{\Omega }|f(y)-f(x)|^{p}\,dy\,dx}$

Aprovechando la acotación y otras estimaciones: ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }\int _{\Omega }|f(y)-f(x)|^{p}\,dy\,dx}$

${\displaystyle \leq {\frac {{\text{diam}}(\Omega )^{n+sp}}{|\Omega |}}\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(y)-f(x)|^{p}}{|y-x|^{n+sp}}}\,dy\,dx}$

De ello se deduce que la constante se da como , sin embargo, la referencia ^[10] con el Teorema 1 indica que ésta no es la constante óptima. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C={\frac {{\text{diam}}(\Omega )^{{\frac {n}{p}}+s}}{|\Omega |^{\frac {1}{p}}}}}$

Poincaré sobre las pelotas

Podemos derivar una constante de crecimiento para Balls de una manera similar a los casos anteriores. La relación está dada por la siguiente desigualdad:

${\displaystyle \|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(B_{R}(y))}\leq CR^{s}[u]_{{\dot {W}}^{s,p}(B_{R}(x))}}$

Bosquejo de la prueba

La prueba se realiza de manera similar a la clásica, utilizando el escalamiento . Luego, utilizando una forma de regla de la cadena para la derivada fraccionaria, obtenemos como resultado ${\displaystyle u_{R}(x)=u(Rx)}$ ${\displaystyle R^{s}}$

Véase también

• Desigualdad de Friedrichs
• Desigualdad de Korn
• Brecha espectral

Referencias

1. Poincaré, H. (1890). "Sur les Equations aux Dérivées Partielles de la Physique Mathématique". Revista Estadounidense de Matemáticas . 12 (3). Ecuación (11) página 253. doi :10.2307/2369620. ISSN  0002-9327. JSTOR  2369620.
2. Heinonen, J.; Koskela, P. (1998). "Mapas cuasiconformales en espacios métricos con geometría controlada". Acta Mathematica . 181 : 1–61. doi : 10.1007/BF02392747 . ISSN  1871-2509.
3. Cheeger, J. (1 de agosto de 1999). "Diferenciabilidad de funciones de Lipschitz en espacios de medida métricos". Análisis geométrico y funcional . 9 (3): 428–517. doi :10.1007/s000390050094. S2CID  120149485.
4. Garroni, Adriana ; Müller, Stefan (2005). "Límite Γ de un modelo de campo de fase de dislocaciones". SIAM J. Math. Anal . 36 (6): 1943–1964 (electrónico). doi :10.1137/S003614100343768X. Señor 2178227
5. Acosta, Gabriel; Durán, Ricardo G. (2004). "Una desigualdad de Poincaré óptima en L1 para dominios convexos". Actas de la American Mathematical Society . 132 (1): 195–202 (electrónica). doi : 10.1090/S0002-9939-03-07004-7 .
6. Payne, LE; Weinberger, HF (1960). "Una desigualdad de Poincaré óptima para dominios convexos". Archivo de Mecánica Racional y Análisis . 5 (1): 286–292. Bibcode :1960ArRMA...5..286P. doi :10.1007/BF00252910. ISSN  0003-9527. S2CID  121881343.
7. Alger, Nick. «L1 Poincaré Inequality». Archivado desde el original el 3 de marzo de 2012.
8. Kikuchi, Fumio; Liu, Xuefeng (2007), "Estimación de constantes de error de interpolación para los elementos finitos triangulares P0 y P1", Comput. Methods. Appl. Mech. Engrg. , 196 (37–40): 3750–3758, Bibcode :2007CMAME.196.3750K, doi :10.1016/j.cma.2006.10.029 Señor 2340000
9. Drelichman, Irene; Durán, Ricardo G. (2018). "Mejoras de las desigualdades de Poincaré en espacios fraccionarios de Sobolev". Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ . 43 (2): 885–903. arXiv : 1705.04227 . doi : 10.5186/aasfm.2018.4352 .
10. Bourgain, Jean ; Brezis, Haïm ; Mironescu, Petru (2002). "Limitar teoremas de incorporación para cuándo y aplicaciones". Revista de Análisis Matemático . 87 : 77-101. doi :10.1007/BF02868470. ${\displaystyle W^{s,p}}$ ${\displaystyle s\uparrow 1}$

• Evans, Lawrence C. (1998), Ecuaciones diferenciales parciales , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2
• Leoni, Giovanni (2009), Un primer curso en espacios de Sobolev , Estudios de posgrado en matemáticas, American Mathematical Society, pp. xvi+607 ISBN 978-0-8218-4768-8 , MR 2527916, Zbl  1180.46001, MAA