Martingala Doob

Proceso estocástico

En la teoría matemática de la probabilidad , una martingala de Doob (nombrada en honor a Joseph L. Doob , ^[1] también conocida como martingala de Levy ) es un proceso estocástico que aproxima una variable aleatoria dada y tiene la propiedad de martingala con respecto a la filtración dada . Puede considerarse como la secuencia evolutiva de las mejores aproximaciones a la variable aleatoria en función de la información acumulada hasta un tiempo determinado.

Al analizar sumas, recorridos aleatorios u otras funciones aditivas de variables aleatorias independientes , a menudo se puede aplicar el teorema del límite central , la ley de los grandes números , la desigualdad de Chernoff , la desigualdad de Chebyshev o herramientas similares. Al analizar objetos similares donde las diferencias no son independientes, las herramientas principales son las martingalas y la desigualdad de Azuma . ^{[ aclaración necesaria ]}

Definición

Sea cualquier variable aleatoria con . Supongamos que es una filtración , es decir cuando . Definir ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [|Y|]<\infty }$ ${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}_{0},{\mathcal {F}}_{1},\dots \right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}\subset {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle s<t}$

${\displaystyle Z_{t}=\mathbb {E} [Y\mid {\mathcal {F}}_{t}],}$

entonces es una martingala , ^[2] es decir la martingala de Doob , con respecto a la filtración . ${\displaystyle \left\{Z_{0},Z_{1},\dots \right\}}$ ${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}_{0},{\mathcal {F}}_{1},\dots \right\}}$

Para ver esto, tenga en cuenta que

• ${\displaystyle \mathbb {E} [|Z_{t}|]=\mathbb {E} [|\mathbb {E} [Y\mid {\mathcal {F}}_{t}]|]\leq \mathbb {E} [\mathbb {E} [|Y|\mid {\mathcal {F}}_{t}]]=\mathbb {E} [|Y|]<\infty }$;
• ${\displaystyle \mathbb {E} [Z_{t}\mid {\mathcal {F}}_{t-1}]=\mathbb {E} [\mathbb {E} [Y\mid {\mathcal {F}}_{t}]\mid {\mathcal {F}}_{t-1}]=\mathbb {E} [Y\mid {\mathcal {F}}_{t-1}]=Z_{t-1}}$como . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t-1}\subset {\mathcal {F}}_{t}}$

En particular, para cualquier secuencia de variables aleatorias en el espacio de probabilidad y función tal que , se podría elegir ${\displaystyle \left\{X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right\}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\text{P}})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [|f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})|]<\infty }$

${\displaystyle Y:=f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$

y filtración tal que ${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}_{0},{\mathcal {F}}_{1},\dots \right\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{0}&:=\left\{\phi ,\Omega \right\},\\{\mathcal {F}}_{t}&:=\sigma (X_{1},X_{2},\dots ,X_{t}),\forall t\geq 1,\end{aligned}}}$

ie -álgebra generada por . Entonces, por definición de la martingala de Doob, proceso donde ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{t}}$ ${\displaystyle \left\{Z_{0},Z_{1},\dots \right\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{0}&:=\mathbb {E} [f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\mid {\mathcal {F}}_{0}]=\mathbb {E} [f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})],\\Z_{t}&:=\mathbb {E} [f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\mid {\mathcal {F}}_{t}]=\mathbb {E} [f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\mid X_{1},X_{2},\dots ,X_{t}],\forall t\geq 1\end{aligned}}}$

forma una martingala de Doob. Nótese que . Esta martingala se puede utilizar para demostrar la desigualdad de McDiarmid . ${\displaystyle Z_{n}=f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$

Desigualdad de McDiarmid

La martingala de Doob fue introducida por Joseph L. Doob en 1940 para establecer desigualdades de concentración como la desigualdad de McDiarmid, que se aplica a funciones que satisfacen una propiedad de diferencias acotadas (definida a continuación) cuando se evalúan en argumentos de funciones independientes aleatorios.

Una función satisface la propiedad de diferencias acotadas si al sustituir el valor de la coordenada n cambia el valor de en como máximo . Más formalmente, si hay constantes tales que para todos , y todos , ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}_{1}\times {\mathcal {X}}_{2}\times \cdots \times {\mathcal {X}}_{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}}$ ${\displaystyle i\in [n]}$ ${\displaystyle x_{1}\in {\mathcal {X}}_{1},\,x_{2}\in {\mathcal {X}}_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\in {\mathcal {X}}_{n}}$

${\displaystyle \sup _{x_{i}'\in {\mathcal {X}}_{i}}\left|f(x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{i},x_{i+1},\ldots ,x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{i}',x_{i+1},\ldots ,x_{n})\right|\leq c_{i}.}$

Desigualdad de McDiarmid ^[1]  —  Sea satisfecha la propiedad de diferencias acotadas con límites . ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}_{1}\times {\mathcal {X}}_{2}\times \cdots \times {\mathcal {X}}_{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}}$

Consideremos variables aleatorias independientes donde para todos . Entonces, para cualquier , ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle X_{i}\in {\mathcal {X}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle {\text{P}}\left(f(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})-\mathbb {E} [f(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})]\geq \varepsilon \right)\leq \exp \left(-{\frac {2\varepsilon ^{2}}{\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{2}}}\right),}$

${\displaystyle {\text{P}}(f(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})-\mathbb {E} [f(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})]\leq -\varepsilon )\leq \exp \left(-{\frac {2\varepsilon ^{2}}{\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{2}}}\right),}$

y como consecuencia inmediata,

${\displaystyle {\text{P}}(|f(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})-\mathbb {E} [f(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})]|\geq \varepsilon )\leq 2\exp \left(-{\frac {2\varepsilon ^{2}}{\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{2}}}\right).}$

Véase también

• Catálogo de artículos sobre teoría de la probabilidad
• Desigualdad de concentración : un resumen de la desigualdad de McDiarmid y varias desigualdades similares.
• Valor esperado y varianza
• Lógica difusa y teoría de medidas difusas
• Glosario de probabilidad y estadística
• Lista de temas de probabilidad
• Lista de publicaciones en estadística
• Lista de temas estadísticos
• Notación en probabilidad
• Distribución de probabilidad

Referencias

1. Doob, JL (1940). "Propiedades de regularidad de ciertas familias de variables aleatorias" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 47 (3): 455–486. doi : 10.2307/1989964 . JSTOR  1989964.
2. Doob, JL (1953). Procesos estocásticos . Vol. 101. Nueva York: Wiley. pág. 293.