Descomposición tensorial

Proceso en álgebra

En álgebra multilineal , una descomposición tensorial es cualquier esquema para expresar un "tensor de datos" (matriz de M vías) como una secuencia de operaciones elementales que actúan sobre otros tensores, a menudo más simples. ^{[1] [2] [3]} Muchas descomposiciones tensoriales generalizan algunas descomposiciones matriciales . ^[4]

Los tensores son generalizaciones de matrices a dimensiones superiores (o más bien a órdenes superiores, es decir, a un mayor número de dimensiones) y, en consecuencia, pueden tratarse como campos multidimensionales. ^{[1] [5]} Las principales descomposiciones tensoriales son:

• Descomposición del rango tensorial ; ^[6]
• Descomposición en valores singulares de orden superior ; ^[7]
• Descomposición de Tucker ;
• estados de productos matriciales y operadores o trenes tensoriales;
• Descomposiciones tensoriales en línea ^{[8] [9] [10]}
• descomposición jerárquica de Tucker; ^[11]
• descomposición de términos en bloque ^{[12] [13] [11] [14]}

Notación

Esta sección presenta notaciones y operaciones básicas que se utilizan ampliamente en el campo.

Introducción

Un grafo multidireccional con K perspectivas es una colección de K matrices con dimensiones I × J (donde I, J son el número de nodos). Esta colección de matrices se representa naturalmente como un tensor X de tamaño I × J × K. Para evitar sobrecargar el término “dimensión”, llamamos a un tensor I × J × K un tensor de tres “modas”, donde las “modas” son los números de índices utilizados para indexar el tensor. ${\displaystyle {X_{1},X_{2}.....X_{K}}}$

Referencias

1. Vasilescu, MAO; Terzopoulos, D. "Síntesis, análisis y reconocimiento de imágenes (tensoriales) multilineales [dsp exploratorio]". Revista IEEE Signal Processing . 24 (6): 118–123.
2. Kolda, Tamara G.; Bader, Brett W. (6 de agosto de 2009). "Descomposiciones tensoriales y aplicaciones". SIAM Review . 51 (3): 455–500. Bibcode :2009SIAMR..51..455K. doi :10.1137/07070111X. ISSN  0036-1445. S2CID  16074195.
3. Sidiropoulos, Nicholas D.; De Lathauwer, Lieven; Fu, Xiao; Huang, Kejun; Papalexakis, Evangelos E.; Faloutsos, Christos (1 de julio de 2017). "Descomposición tensorial para procesamiento de señales y aprendizaje automático". IEEE Transactions on Signal Processing . 65 (13): 3551–3582. arXiv : 1607.01668 . Bibcode :2017ITSP...65.3551S. doi :10.1109/TSP.2017.2690524. ISSN  1053-587X. S2CID  16321768.
4. Bernardi, A.; Brachat, J.; Comon, P.; Mourrain, B. (1 de mayo de 2013). "Descomposición tensorial general, matrices de momento y aplicaciones". Journal of Symbolic Computation . 52 : 51–71. arXiv : 1105.1229 . doi :10.1016/j.jsc.2012.05.012. ISSN  0747-7171. S2CID  14181289.
5. Rabanser, Stephan; Shchur, Oleksandr; Günnemann, Stephan (2017). "Introducción a las descomposiciones tensoriales y sus aplicaciones en el aprendizaje automático". arXiv : 1711.10781 [stat.ML].
6. Papalexakis, Evangelos E. (30 de junio de 2016). "Minería tensorial automática no supervisada con evaluación de calidad". Actas de la Conferencia internacional SIAM de 2016 sobre minería de datos . Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas: 711–719. arXiv : 1503.03355 . doi :10.1137/1.9781611974348.80. ISBN 978-1-61197-434-8. Número de identificación del sujeto  10147789.
7. Vasilescu, MAO; Terzopoulos, D. (2002). Análisis multilineal de conjuntos de imágenes: TensorFaces (PDF) . Notas de clase en informática; (Presentado en Proc. 7th European Conference on Computer Vision (ECCV'02), Copenhague, Dinamarca). Vol. 2350. Springer, Berlín, Heidelberg. doi :10.1007/3-540-47969-4_30. ISBN 978-3-540-43745-1.
8. Gujral, Ekta; Pasricha, Ravdeep; Papalexakis, Evangelos E. (7 de mayo de 2018). Ester, Martin; Pedreschi, Dino (eds.). "SamBaTen: descomposición tensorial incremental por lotes basada en muestreo". Actas de la Conferencia internacional SIAM de 2018 sobre minería de datos . doi :10.1137/1.9781611975321. hdl : 10536/DRO/DU:30109588 . ISBN . 978-1-61197-532-1. Número de identificación del sujeto  21674935.
9. Gujral, Ekta; Papalexakis, Evangelos E. (9 de octubre de 2020). "OnlineBTD: algoritmos de transmisión para rastrear la descomposición de términos de bloque de tensores grandes". 2020 IEEE 7th International Conference on Data Science and Advanced Analytics (DSAA) . págs. 168–177. doi :10.1109/DSAA49011.2020.00029. ISBN . 978-1-7281-8206-3. Número de identificación del sujeto  227123356.
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11. Vasilescu, MAO; Kim, E. (2019). Factorización tensorial jerárquica compositiva: representación de factores causales intrínsecos y extrínsecos jerárquicos . En la 25.ª conferencia ACM SIGKDD sobre descubrimiento de conocimiento y minería de datos (KDD'19): métodos tensoriales para desafíos emergentes de la ciencia de datos. arXiv : 1911.04180 .
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14. Gujral, Ekta; Pasricha, Ravdeep; Papalexakis, Evangelos (20 de abril de 2020). "Más allá del rango 1: descubrimiento de una estructura de comunidad rica en gráficos multiaspecto". Actas de la Web Conference 2020. Taipei, Taiwán: ACM. págs. 452–462. doi :10.1145/3366423.3380129. ISBN . 978-1-4503-7023-3.S2CID212745714  .​