descomposición de tucker

Descomposición tensorial

En matemáticas, la descomposición de Tucker descompone un tensor en un conjunto de matrices y un pequeño tensor central. Lleva el nombre de Ledyard R. Tucker ^[1] aunque se remonta a Hitchcock en 1927. ^[2] Inicialmente descrito como una extensión de tres modos del análisis factorial y del análisis de componentes principales, en realidad puede generalizarse al análisis de modos superiores, que es también llamada descomposición de valores singulares de orden superior (HOSVD).

Puede considerarse como un modelo PARAFAC (análisis de factores paralelos) más flexible. En PARAFAC el tensor central está restringido a ser "diagonal".

En la práctica, la descomposición de Tucker se utiliza como herramienta de modelado. Por ejemplo, se utiliza para modelar datos de tres vías (o de una vía superior) mediante un número relativamente pequeño de componentes para cada uno de los tres o más modos, y los componentes están vinculados entre sí mediante un enlace de tres (o más). ) forma de matriz central. Los parámetros del modelo se estiman de tal manera que, dado un número fijo de componentes, los datos modelados se asemejen de manera óptima a los datos reales en el sentido de mínimos cuadrados. El modelo proporciona un resumen de la información de los datos, de la misma manera que lo hace el análisis de componentes principales para los datos bidireccionales.

Para un tensor de tercer orden , donde es o , la descomposición de Tucker se puede denotar de la siguiente manera, ${\displaystyle T\in F^{n_{1}\times n_{2}\times n_{3}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle T={\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)}\times _{2}U^{(2)}\times _{3}U^{(3)}}$$

tensor centralnorma de Frobeniusk ( k ${\displaystyle {\mathcal {T}}\in F^{d_{1}\times d_{2}\times d_{3}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle U^{(1)},U^{(2)},U^{(3)}}$ ${\displaystyle F^{d_{1}\times n_{1}},F^{d_{2}\times n_{2}},F^{d_{3}\times n_{3}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle U^{(k)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}\times U^{(k)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)})(i_{1},j_{2},j_{3})&=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}{\mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(1)}(j_{1},i_{1})\\({\mathcal {T}}\times _{2}U^{(2)})(j_{1},i_{2},j_{3})&=\sum _{j_{2}=1}^{d_{2}}{\mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(2)}(j_{2},i_{2})\\({\mathcal {T}}\times _{3}U^{(3)})(j_{1},j_{2},i_{3})&=\sum _{j_{3}=1}^{d_{3}}{\mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(3)}(j_{3},i_{3})\end{aligned}}}$

En total, la descomposición también se puede escribir más directamente como

${\displaystyle T(i_{1},i_{2},i_{3})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\sum _{j_{2}=1}^{d_{2}}\sum _{j_{3}=1}^{d_{3}}{\mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(1)}(j_{1},i_{1})U^{(2)}(j_{2},i_{2})U^{(3)}(j_{3},i_{3})}$

Tomar todo siempre es suficiente para representar exactamente, pero a menudo se puede comprimir o aproximadamente de manera eficiente eligiendo . Una opción común es , que puede resultar eficaz cuando la diferencia en los tamaños de las dimensiones es grande. ${\displaystyle d_{i}=n_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle d_{i}<n_{i}}$ ${\displaystyle d_{1}=d_{2}=d_{3}=\min(n_{1},n_{2},n_{3})}$

Hay dos casos especiales de descomposición de Tucker:

Tucker1 : si y son identidad, entonces ${\displaystyle U^{(2)}}$ ${\displaystyle U^{(3)}}$ ${\displaystyle T={\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)}}$

Tucker2 : si es identidad, entonces . ${\displaystyle U^{(3)}}$ ${\displaystyle T={\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)}\times _{2}U^{(2)}}$

La descomposición RESCAL ^[3] puede verse como un caso especial de Tucker donde es identidad y es igual a . ${\displaystyle U^{(3)}}$ ${\displaystyle U^{(1)}}$ ${\displaystyle U^{(2)}}$

Ver también

• Descomposición de valores singulares de orden superior
• Análisis de componentes principales multilineal.

Referencias

1. Ledyard R. Tucker (septiembre de 1966). "Algunas notas matemáticas sobre el análisis factorial de tres modos". Psicometrika . 31 (3): 279–311. doi :10.1007/BF02289464. PMID  5221127.
2. FL Hitchcock (1927). "La expresión de un tensor o poliádico como suma de productos". Revista de Matemáticas y Física . 6 : 164–189.
3. Níquel, Maximiliano; Tresp, Volker; Kriegel, Hans-Peter (28 de junio de 2011). Un modelo de tres vías para el aprendizaje colectivo sobre datos multirrelacionales . ICML. vol. 11. págs. 809–816.