Teorema de descomposición de Lebesgue

Teorema

En matemáticas , más precisamente en teoría de la medida , el teorema de descomposición de Lebesgue ^{[1] [2] [3]} establece que para cada dos medidas con signo σ-finitas y en un espacio medible existen dos medidas con signo σ-finitas y tales que: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ),}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$ ${\displaystyle \nu _{1}}$

• ${\displaystyle \nu =\nu _{0}+\nu _{1}\,}$
• ${\displaystyle \nu _{0}\ll \mu }$(es decir, es absolutamente continua con respecto a ) ${\displaystyle \nu _{0}}$ ${\displaystyle \mu }$
• ${\displaystyle \nu _{1}\perp \mu }$(es decir, y son singulares ). ${\displaystyle \nu _{1}}$ ${\displaystyle \mu }$

Estas dos medidas están determinadas únicamente por y ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu .}$

Refinamiento

El teorema de descomposición de Lebesgue se puede refinar de varias maneras.

En primer lugar, se puede refinar la descomposición de una medida regular de Borel en la línea real : ^[4]

${\displaystyle \,\nu =\nu _{\mathrm {cont} }+\nu _{\mathrm {sing} }+\nu _{\mathrm {pp} }}$

dónde

• ν _cont es la parte absolutamente continua
• ν _sing es la parte continua singular
• ν _pp es la parte puntual pura (una medida discreta ).

En segundo lugar, las medidas absolutamente continuas se clasifican mediante el teorema de Radon-Nikodym , y las medidas discretas se entienden fácilmente. Por lo tanto (dejando de lado las medidas continuas singulares), la descomposición de Lebesgue proporciona una descripción muy explícita de las medidas. La medida de Cantor (la medida de probabilidad en la línea real cuya función de distribución acumulativa es la función de Cantor ) es un ejemplo de una medida continua singular.

Conceptos relacionados

Descomposición de Lévy-Itō

La descomposición análoga ^{[ cita requerida ]} para un proceso estocástico es la descomposición de Lévy-Itō : dado un proceso de Lévy X, se puede descomponer como una suma de tres procesos de Lévy independientes donde: ${\displaystyle X=X^{(1)}+X^{(2)}+X^{(3)}}$

• ${\displaystyle X^{(1)}}$es un movimiento browniano con deriva, correspondiente a la parte absolutamente continua;
• ${\displaystyle X^{(2)}}$es un proceso de Poisson compuesto , correspondiente a la parte puntual pura;
• ${\displaystyle X^{(3)}}$es una martingala de salto puro integrable cuadrada que casi seguramente tiene un número contable de saltos en un intervalo finito, correspondiente a la parte continua singular.

Véase también

• Descomposición del espectro
• Teorema de descomposición de Hahn y teorema de descomposición de Jordan correspondiente

Citas

1. (Halmos 1974, Sección 32, Teorema C)
2. (Hewitt y Stromberg 1965, Capítulo V, § 19, (19.42) Teorema de descomposición de Lebesgue)
3. (Rudin 1974, Sección 6.9, El teorema de Lebesgue-Radon-Nikodym)
4. (Hewitt y Stromberg 1965, Capítulo V, § 19, Teorema (19.61))

Referencias

• Halmos, Paul R. (1974) [1950], Teoría de la medida, Textos de posgrado en matemáticas , vol. 18, Nueva York, Heidelberg, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90088-9, MR  0033869, Zbl  0283.28001
• Hewitt, Edwin ; Stromberg, Karl (1965), Análisis real y abstracto. Un tratamiento moderno de la teoría de funciones de una variable real, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 25, Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90138-1, MR  0188387, Zbl  0137.03202
• Rudin, Walter (1974), Análisis real y complejo, McGraw-Hill Series in Higher Mathematics (2.ª ed.), Nueva York, Düsseldorf, Johannesburgo: McGraw-Hill Book Comp., ISBN 0-07-054233-3, MR  0344043, Zbl  0278.26001

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