La cuadratura del cuadrado es el problema de teselar un cuadrado entero utilizando solo otros cuadrados enteros. (Un cuadrado entero es un cuadrado cuyos lados tienen una longitud entera ). El nombre fue acuñado en una analogía humorística con la cuadratura del círculo . La cuadratura del cuadrado es una tarea fácil a menos que se establezcan condiciones adicionales. La restricción más estudiada es que la cuadratura sea perfecta , lo que significa que los tamaños de los cuadrados más pequeños son todos diferentes. Un problema relacionado es la cuadratura del plano , que se puede hacer incluso con la restricción de que cada número natural aparezca exactamente una vez como tamaño de un cuadrado en la teselación. El orden de un cuadrado al cuadrado es su número de cuadrados constituyentes.
Un cuadrado "perfecto" es un cuadrado tal que cada uno de los cuadrados más pequeños tiene un tamaño diferente.
Se tiene constancia de que su estudio se llevó a cabo por primera vez entre 1936 y 1938 por RL Brooks , CAB Smith , AH Stone y WT Tutte (que escribieron bajo el seudónimo colectivo de " Blanche Descartes ") en la Universidad de Cambridge. Transformaron el mosaico de cuadrados en un circuito eléctrico equivalente (lo llamaron "diagrama de Smith") al considerar los cuadrados como resistencias que se conectaban a sus vecinos en sus bordes superior e inferior, y luego aplicaron las leyes de circuitos de Kirchhoff y las técnicas de descomposición de circuitos a ese circuito. Los primeros cuadrados perfectos que encontraron fueron de orden 69.
El primer cuadrado perfecto publicado, un cuadrado compuesto de lado 4205 y orden 55, fue encontrado por Roland Sprague en 1939. [1]
Martin Gardner publicó un extenso artículo escrito por WT Tutte sobre la historia temprana de la cuadratura del cuadrado en su columna Mathematical Games de noviembre de 1958. [2]
Un cuadrado cuadriculado "simple" es aquel en el que ningún subconjunto de más de uno de los cuadrados forma un rectángulo o un cuadrado. Cuando un cuadrado cuadriculado tiene un subconjunto cuadrado o rectangular, es "compuesto".
En 1978, AJW Duijvestijn descubrió un cuadrado perfecto simple de lado 112 con el menor número de cuadrados utilizando una búsqueda por computadora. Su mosaico utiliza 21 cuadrados y se ha demostrado que es mínimo. [3] Este cuadrado forma el logotipo de la Trinity Mathematical Society . También aparece en la portada del Journal of Combinatorial Theory .
Duijvestijn también encontró dos cuadrados perfectos simples de 110 lados, pero cada uno de ellos compuesto por 22 cuadrados. Theophilus Harding Willcocks, un matemático aficionado y compositor de ajedrez de hadas , encontró otro. En 1999, I. Gambini demostró que estos tres son los cuadrados perfectos más pequeños en términos de longitud de lado. [4]
El cuadrado compuesto perfecto con el menor número de cuadrados fue descubierto por TH Willcocks en 1946 y tiene 24 cuadrados; sin embargo, no fue hasta 1982 que Duijvestijn, Pasquale Joseph Federico y P. Leeuw demostraron matemáticamente que era el ejemplo de orden más bajo. [5]
Cuando se relaja la restricción de que todos los cuadrados sean de tamaños diferentes, un cuadrado cuadriculado tal que las longitudes de los lados de los cuadrados más pequeños no tengan un divisor común mayor que 1 se llama "colcha de la Sra. Perkins". En otras palabras, el máximo común divisor de todas las longitudes de los lados más pequeños debe ser 1. El problema de la colcha de la Sra. Perkins pide una colcha de la Sra. Perkins con la menor cantidad de piezas para un cuadrado dado. El número de piezas requeridas es al menos , [6] y como máximo . [7] Las búsquedas por computadora han encontrado soluciones exactas para valores pequeños de (lo suficientemente pequeños como para necesitar hasta 18 piezas). [8] Para el número de piezas requeridas es:
Para cualquier número entero distinto de 2, 3 y 5, es posible diseccionar un cuadrado en cuadrados de uno o dos tamaños diferentes. [9]
En 1975, Solomon Golomb planteó la cuestión de si todo el plano puede ser cubierto con cuadrados, uno de cada arista con una longitud entera, lo que denominó conjetura de la cubierta heterogénea . Este problema fue publicado posteriormente por Martin Gardner en su columna de Scientific American y apareció en varios libros, pero no se logró resolver durante más de 30 años.
En Tilings and patterns , publicado en 1987, Branko Grünbaum y GC Shephard afirmaron que en todos los tiles integrales perfectos del plano conocidos en ese momento, los tamaños de los cuadrados crecían exponencialmente . Por ejemplo, el plano puede teselarse con diferentes cuadrados integrales, pero no para cada entero, tomando recursivamente cualquier cuadrado perfecto y ampliándolo de modo que el mosaico anterior más pequeño ahora tenga el tamaño del cuadrado original, y luego reemplazando este mosaico con una copia del cuadrado original.
En 2008, James Henle y Frederick Henle demostraron que esto, de hecho, se puede hacer. Su demostración es constructiva y procede "inflando" una región en forma de L formada por dos cuadrados de diferentes tamaños, uno al lado del otro y alineados horizontalmente, hasta formar un mosaico perfecto de una región rectangular más grande, y luego uniendo el cuadrado de menor tamaño que aún no se ha utilizado para obtener otra región en forma de L más grande. Los cuadrados agregados durante el procedimiento de inflado tienen tamaños que aún no han aparecido en la construcción y el procedimiento está configurado de modo que las regiones rectangulares resultantes se expandan en las cuatro direcciones, lo que conduce a un mosaico de todo el plano. [10]
Elevar al cubo el cubo es el análogo en tres dimensiones de elevar al cuadrado el cuadrado: es decir, dado un cubo C , el problema es dividirlo en un número finito de cubos más pequeños, sin que haya dos congruentes.
A diferencia del caso de la cuadratura del cuadrado, un problema difícil pero solucionable, no existe un cubo cúbico perfecto y, más generalmente, no existe ninguna disección de un cuboide rectangular C en un número finito de cubos desiguales.
Para demostrarlo, partimos de la siguiente afirmación: en cualquier disección perfecta de un rectángulo en cuadrados, el cuadrado más pequeño de esta disección no se encuentra en una arista del rectángulo. De hecho, cada cuadrado de esquina tiene un cuadrado de arista adyacente más pequeño, y el cuadrado de arista más pequeño es adyacente a cuadrados más pequeños que no están en la arista.
Supongamos ahora que hay una disección perfecta de un cuboide rectangular en cubos. Haz una cara de C como su base horizontal. La base está dividida en un rectángulo cuadrado perfecto R por los cubos que descansan sobre ella. El cuadrado más pequeño s 1 en R está rodeado por cubos más grandes y, por lo tanto , más altos . Por lo tanto, la cara superior del cubo en s 1 está dividida en un cuadrado cuadrado perfecto por los cubos que descansan sobre él. Sea s 2 el cuadrado más pequeño en esta disección. Por la afirmación anterior, este está rodeado por los 4 lados por cuadrados que son más grandes que s 2 y, por lo tanto, más altos.
La sucesión de cuadrados s 1 , s 2 , ... es infinita y los cubos correspondientes son infinitos en número. Esto contradice nuestra suposición original. [11]
Si un hipercubo de cuatro dimensiones pudiera ser perfectamente hipercubizado, sus "caras" serían cubos cúbicos perfectos; esto es imposible. De manera similar, no existe una solución para todos los cubos de dimensiones superiores.
