Mecanismo Kelvin-Helmholtz

Proceso de liberación de energía de una estrella o planeta en contracción.

El mecanismo Kelvin-Helmholtz es un proceso astronómico que ocurre cuando la superficie de una estrella o un planeta se enfría. El enfriamiento hace que la presión interna disminuya y, como resultado, la estrella o el planeta se encoge. Esta compresión, a su vez, calienta el núcleo de la estrella/planeta. Este mecanismo es evidente en Júpiter y Saturno y en enanas marrones cuyas temperaturas centrales no son lo suficientemente altas como para sufrir fusión de hidrógeno . Se estima que Júpiter irradia más energía a través de este mecanismo de la que recibe del Sol, pero es posible que Saturno no. Se ha estimado que Júpiter se contrae a un ritmo de aproximadamente 1 mm/año mediante este proceso, ^[1] correspondiente a un flujo interno de 7,485 W/m ² . ^[2]

El mecanismo fue propuesto originalmente por Kelvin y Helmholtz a finales del siglo XIX para explicar la fuente de energía del Sol . A mediados del siglo XIX se había aceptado la conservación de la energía y una consecuencia de esta ley de la física es que el Sol debe tener alguna fuente de energía para seguir brillando. Como se desconocían las reacciones nucleares, la principal candidata a fuente de energía solar era la contracción gravitacional.

Sin embargo, pronto Sir Arthur Eddington y otros reconocieron que la cantidad total de energía disponible a través de este mecanismo sólo permitía que el Sol brillara durante millones de años, en lugar de los miles de millones de años que la evidencia geológica y biológica sugería para la edad del planeta. Tierra . (El propio Kelvin había argumentado que la Tierra tenía millones, no miles de millones, de años.) La verdadera fuente de energía del Sol permaneció incierta hasta la década de 1930, cuando Hans Bethe demostró que se trataba de una fusión nuclear .

Energía generada por una contracción Kelvin-Helmholtz

Se teorizó que la energía potencial gravitacional de la contracción del Sol podría ser su fuente de energía. Para calcular la cantidad total de energía que liberaría el Sol en tal mecanismo (suponiendo una densidad uniforme ), se aproximó a una esfera perfecta formada por capas concéntricas . La energía potencial gravitacional podría entonces encontrarse como la integral de todas las capas desde el centro hasta su radio exterior.

La energía potencial gravitacional de la mecánica newtoniana se define como: ^[3]

${\displaystyle U=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r}},}$

donde G es la constante gravitacional , y las dos masas en este caso son la de las capas delgadas de ancho dr y la masa contenida dentro del radio r como uno que se integra entre cero y el radio de la esfera total. Esto da: ^[3]

${\displaystyle U=-G\int _{0}^{R}{\frac {m(r)4\pi r^{2}\rho }{r}}\,dr,}$

donde R es el radio exterior de la esfera y m ( r ) es la masa contenida dentro del radio r . Cambiando m ( r ) a un producto de volumen y densidad para satisfacer la integral, ^[3]

${\displaystyle U=-G\int _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{3}\rho 4\pi r^{2}\rho }{3r}}\,dr=-{\frac {16}{15}}G\pi ^{2}\rho ^{2}R^{5}.}$

Reformulándolo en términos de la masa de la esfera se obtiene la energía potencial gravitacional total como ^[3]

${\displaystyle U=-{\frac {3GM^{2}}{5R}}.}$

Según el teorema de Virial , la energía total de los sistemas ligados gravitacionalmente en equilibrio es la mitad de la energía potencial promediada en el tiempo,

${\displaystyle U_{r}={\frac {|\langle U\rangle |}{2}}={\frac {3GM^{2}}{10R}}.}$

Si bien la densidad uniforme no es correcta, se puede obtener una estimación aproximada del orden de magnitud de la edad esperada de nuestra estrella insertando valores conocidos para la masa y el radio del Sol y luego dividiéndolos por la luminosidad conocida del Sol (tenga en cuenta que esto implicará otra aproximación, ya que la producción de energía del Sol no siempre ha sido constante): ^[3]

${\displaystyle {\frac {U_{\text{r}}}{L_{\odot }}}\approx {\frac {1.1\times 10^{41}~{\text{J}}}{3.828\times 10^{26}~{\text{W}}}}=2.874\times 10^{14}~\mathrm {s} \,\approx 8\,900\,000~{\text{years}},}$

¿Dónde está la luminosidad del Sol? Si bien proporcionaba energía suficiente durante mucho más tiempo que muchos otros métodos físicos, como la energía química , este valor claramente todavía no era suficiente debido a la evidencia geológica y biológica de que la Tierra tenía miles de millones de años. Finalmente se descubrió que la energía termonuclear era responsable de la producción de energía y de la larga vida útil de las estrellas. ^[4] ${\displaystyle L_{\odot }}$

El flujo de calor interno de Júpiter viene dado por la derivada según el tiempo de la energía total.

${\displaystyle {\frac {dU_{r}}{dt}}={\frac {-3GM^{2}}{10R^{2}}}{\frac {dR}{dt}}=-1.46\times 10^{28}~{\text{[J/m]}}~\times {\frac {dR}{dt}}~{\text{[m/s]}}.}$

Con una reducción de , se obtiene ${\textstyle -1\mathrm {\frac {~mm}{yr}} =-0.001\mathrm {\frac {~m}{yr}} =-3.17\times 10^{-11}~\mathrm {\frac {m}{s}} }$

${\displaystyle {\frac {dU_{r}}{dt}}=4.63\times 10^{17}~{\text{W}},}$

dividiendo por toda el área de Júpiter, es decir , se obtiene ${\displaystyle S=6.14\times 10^{16}~\mathrm {m^{2}} }$

${\displaystyle {\frac {1}{S}}{\frac {dU_{r}}{dt}}=7.5~\mathrm {\frac {W}{m^{2}}} .}$

Por supuesto, esta ecuación suele calcularse en el sentido contrario: la cifra experimental del flujo específico de calor interno, 7,485 W/m ² , se obtuvo a partir de las medidas directas realizadas in situ por la sonda Cassini durante su sobrevuelo el 30 de diciembre. 2000 y se obtiene la cantidad de contracción, ~1 mm/año, una cifra diminuta por debajo de los límites de la medición práctica.

Referencias

1. Patrick GJ Irwin (2009). Planetas gigantes de nuestro sistema solar: atmósferas, composición y estructura 2ª edición. Saltador. págs. 4–5. ISBN 978-3-642-09888-8.
2. Encalado, Li; et al. (2018). "Menos energía solar absorbida y más calor interno para Júpiter". Comunicaciones de la naturaleza . 9 (3709): 1–10. Código Bib : 2018NatCo...9.3709L. doi : 10.1038/s41467-018-06107-2 . PMC 6137063 . PMID  30213944. 
3. Carroll, Bradley W.; Ostlie, Dale A. (2007). Introducción a la astrofísica moderna (2ª ed.). Pearson Addison Wesley. págs. 296–298. ISBN 978-0-8053-0402-2. Archivado desde el original el 22 de diciembre de 2015.
4. Pogge, Richard (15 de enero de 2006). "El mecanismo de Kelvin-Helmholtz". Conferencia 12: Mientras brille el sol . Universidad del Estado de Ohio . Consultado el 5 de noviembre de 2009 .