El método se basa en la idea de revestir una esfera con triángulos esféricos (véase los triángulos de Schwarz ). Esta construcción dispone tres espejos a los lados de un triángulo, como en un caleidoscopio . Sin embargo, a diferencia de un caleidoscopio, los espejos no son paralelos, sino que se cortan en un único punto. Por lo tanto, encierran un triángulo esférico en la superficie de cualquier esfera centrada en ese punto y las reflexiones repetidas producen una multitud de copias del triángulo. Si los ángulos del triángulo esférico se eligen adecuadamente, los triángulos revestirán la esfera una o más veces.
Si se coloca un vértice en un punto adecuado dentro del triángulo esférico encerrado por los espejos, es posible asegurar que las reflexiones de ese punto produzcan un poliedro uniforme. Para un triángulo esférico ABC tenemos cuatro posibilidades que producirán un poliedro uniforme:
Se coloca un vértice en el punto A. Esto produce un poliedro con símbolo de Wythoff a | b c , donde a es igual a π dividido por el ángulo del triángulo en A , y de manera similar para b y c .
Se coloca un vértice en un punto de la línea AB de modo que biseca el ángulo en C. Esto produce un poliedro con el símbolo de Wythoff a b | c .
Se coloca un vértice de manera que esté en el incentro de ABC . Esto produce un poliedro con el símbolo de Wythoff a b c |.
El vértice está en un punto tal que, cuando se gira alrededor de cualquiera de las esquinas del triángulo el doble del ángulo en ese punto, se desplaza la misma distancia para cada ángulo. Solo se utilizan reflexiones pares del vértice original. El poliedro tiene el símbolo de Wythoff | a b c .
Los politopos uniformes que no se pueden crear mediante una construcción de espejo Wythoff se denominan no Wythoffianos. Por lo general, se pueden derivar de formas Wythoffianas ya sea por alternancia (eliminación de vértices alternativos) o por inserción de capas alternadas de figuras parciales. Ambos tipos de figuras contendrán simetría rotacional. A veces, las formas truncadas se consideran Wythoffianas, aunque solo se puedan construir mediante la alternancia de formas omnitruncadas.
Coxeter La belleza de la geometría: doce ensayos , Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8 (Capítulo 3: Construcción de Wythoff para politopos uniformes)
Har'El, Z. Solución uniforme para poliedros uniformes. , Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. [1] (Sección 4: El caleidoscopio)
WA Wythoff , Una relación entre los politopos de la familia C600 , Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, Actas de la Sección de Ciencias, 20 (1918) 966–970.
Enlaces externos
Aplicación de Greg Egan para mostrar poliedros uniformes utilizando el método de construcción de Wythoff
Una representación de Shadertoy del método de construcción de Wythoff
Jenn, software que genera vistas de poliedros (esféricos) y policoras a partir de grupos de simetría
