Más construcción

En matemáticas , la construcción plus es un método para simplificar el grupo fundamental de un espacio sin cambiar sus grupos de homología y cohomología .

Explícitamente, si es un complejo CW conexo basado y es un subgrupo normal perfecto de entonces un mapa se llama una construcción + relativa a si induce un isomorfismo en homología, y es el núcleo de . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)\to \pi _{1}(Y)}$

La construcción plus fue introducida por Michel Kervaire  (1969), y fue utilizada por Daniel Quillen para definir la K-teoría algebraica . Dado un subgrupo normal perfecto del grupo fundamental de un complejo CW conexo , se unen dos celdas a lo largo de bucles en cuyas imágenes en el grupo fundamental se genera el subgrupo. Esta operación generalmente cambia la homología del espacio, pero estos cambios se pueden revertir mediante la adición de tres celdas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

La aplicación más común de la construcción plus es en la K-teoría algebraica. Si es un anillo unital , denotamos por el grupo de matrices invertibles -por- con elementos en . se incrusta en añadiendo a a lo largo de la diagonal y s en el resto. El límite directo de estos grupos a través de estas funciones se denota y su espacio de clasificación se denota . La construcción plus puede entonces aplicarse al subgrupo normal perfecto de , generado por matrices que solo difieren de la matriz identidad en una entrada fuera de la diagonal. Para , el -ésimo grupo de homotopía del espacio resultante, , es isomorfo al -ésimo grupo de , es decir, ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(R)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(R)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n+1}(R)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (R)}$ ${\displaystyle B\operatorname {GL} (R)}$ ${\displaystyle E(R)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (R)=\pi _{1}(B\operatorname {GL} (R))}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B\operatorname {GL} (R)^{+}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \pi _{n}\left(B\operatorname {GL} (R)^{+}\right)\cong K_{n}(R).}$

Véase también

• Semi-s-cobordismo

Referencias

1. Charles Weibel , Introducción a la teoría K algebraica IV, Definición 1.4.1

• Adams, J. Frank (1978), Espacios de bucles infinitos , Princeton, NJ: Princeton University Press , págs. 82–95, ISBN 0-691-08206-5
• Kervaire, Michel A. (1969), "Esferas de homología suave y sus grupos fundamentales", Transactions of the American Mathematical Society , 144 : 67–72, doi : 10.2307/1995269 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1995269, MR  0253347
• Quillen, Daniel (1971), "El espectro de un anillo de cohomología equivariante: I", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 94 (3): 549–572, doi :10.2307/1970770, JSTOR  1970770.
• Quillen, Daniel (1971), "El espectro de un anillo de cohomología equivariante: II", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 94 (3): 573–602, doi :10.2307/1970771, JSTOR  1970771.
• Quillen, Daniel (1972), "Sobre la cohomología y la teoría K de los grupos lineales generales sobre un cuerpo finito", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 96 (3): 552–586, doi :10.2307/1970825, JSTOR  1970825.

Enlaces externos

• "Construcción de sumas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]