Condición de compatibilidad de Saint-Venant

En la teoría matemática de la elasticidad , la condición de compatibilidad de Saint-Venant define la relación entre la deformación y un campo de desplazamiento mediante ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \ u}$

${\displaystyle \epsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$

donde . Barré de Saint-Venant derivó la condición de compatibilidad para que un cuerpo tensorial simétrico de segundo rango arbitrario tuviera esta forma, esto ahora se ha generalizado a cuerpos tensoriales simétricos de rango superior en espacios de dimensión ${\displaystyle 1\leq i,j\leq 3}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

Campos tensoriales de rango 2

Para un campo tensorial simétrico de rango 2 en un espacio euclidiano n-dimensional ( ), la condición de integrabilidad toma la forma de la desaparición del tensor de Saint-Venant ^[1] definido por ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle W(F)}$

${\displaystyle W_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}F_{ij}}{\partial x_{k}\partial x_{l}}}+{\frac {\partial ^{2}F_{kl}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}F_{il}}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}-{\frac {\partial ^{2}F_{jk}}{\partial x_{i}\partial x_{l}}}}$

El resultado de que, en un dominio simplemente conexo W=0 implica que la deformación es la derivada simétrica de algún campo vectorial, fue descrito por primera vez por Barré de Saint-Venant en 1864 y demostrado rigurosamente por Beltrami en 1886. ^[2] Para dominios no simplemente conexos existen espacios de dimensión finita de tensores simétricos con tensor de Saint-Venant que se desvanece y que no son la derivada simétrica de un campo vectorial. La situación es análoga a la cohomología de De Rham ^[3]

El tensor de Saint-Venant está estrechamente relacionado con el tensor de curvatura de Riemann . De hecho, la primera variación sobre la métrica euclidiana con una perturbación en la métrica es precisamente . ^[4] En consecuencia, el número de componentes independientes de es el mismo que ^[5] específicamente para la dimensión n. ^[6] Específicamente para , tiene solo un componente independiente mientras que para hay seis. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle R_{ijkl}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\frac {n^{2}(n^{2}-1)}{12}}}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle n=3}$

En su forma más simple, por supuesto, los componentes de deben suponerse dos veces continuamente diferenciables, pero un trabajo más reciente ^[2] demuestra el resultado en un caso mucho más general. ${\displaystyle F}$

La relación entre la condición de compatibilidad de Saint-Venant y el lema de Poincaré se puede entender más claramente utilizando una forma reducida del tensor de Kröner ^[5]. ${\displaystyle W}$

${\displaystyle K_{i_{1}...i_{n-2}j_{1}...j_{n-2}}=\epsilon _{i_{1}...i_{n-2}kl}\epsilon _{j_{1}...j_{n-2}mp}F_{lm,kp}}$

donde es el símbolo de permutación . Para , es un campo tensorial simétrico de rango 2. La desaparición de es equivalente a la desaparición de y esto también muestra que hay seis componentes independientes para el importante caso de tres dimensiones. Si bien esto todavía involucra dos derivadas en lugar de la del lema de Poincaré, es posible reducirlo a un problema que involucra primeras derivadas introduciendo más variables y se ha demostrado que el 'complejo de elasticidad' resultante es equivalente al complejo de De Rham . ^[7] ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle W}$

En geometría diferencial, la derivada simetrizada de un campo vectorial aparece también como la derivada de Lie del tensor métrico g con respecto al campo vectorial.

${\displaystyle T_{ij}=({\mathcal {L}}_{U}g)_{ij}=U_{i;j}+U_{j;i}}$

donde los índices que siguen a un punto y coma indican diferenciación covariante. La desaparición de es, por tanto, la condición de integrabilidad para la existencia local de en el caso euclidiano. Como se señaló anteriormente, esto coincide con la desaparición de la linealización del tensor de curvatura de Riemann sobre la métrica euclidiana. ${\displaystyle W(T)}$ ${\displaystyle U}$

Generalización a tensores de rango superior

La condición de compatibilidad de Saint-Venant puede considerarse como un análogo, para campos tensoriales simétricos, del lema de Poincaré para campos tensoriales antisimétricos ( formas diferenciales ). El resultado puede generalizarse a campos tensoriales simétricos de rango superior . ^[8] Sea F un campo tensorial simétrico de rango k en un conjunto abierto en el espacio euclidiano n-dimensional , entonces la derivada simétrica es el campo tensorial de rango k+1 definido por

${\displaystyle (dF)_{i_{1}...i_{k}i_{k+1}}=F_{(i_{1}...i_{k},i_{k+1})}}$

donde utilizamos la notación clásica según la cual los índices que siguen a una coma indican diferenciación y los grupos de índices entre corchetes indican simetrización sobre esos índices. El tensor de Saint-Venant de un cuerpo tensorial de rango k simétrico se define mediante ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle W_{i_{1}..i_{k}j_{1}...j_{k}}=V_{(i_{1}..i_{k})(j_{1}...j_{k})}}$

con

${\displaystyle V_{i_{1}..i_{k}j_{1}...j_{k}}=\sum \limits _{p=0}^{k}(-1)^{p}{k \choose p}T_{i_{1}..i_{k-p}j_{1}...j_{p},j_{p+1}...j_{k}i_{k-p+1}...i_{k}}}$

En un dominio simplemente conexo en el espacio euclidiano implica que para algún campo tensorial simétrico de rango k-1 . ${\displaystyle W=0}$ ${\displaystyle T=dF}$ ${\displaystyle F}$

Referencias

1. NI Muskhelishvili, Algunos problemas básicos de la teoría matemática de la elasticidad. Leyden: Noordhoff Intern. Publ., 1975.
2. C Amrouche, PG Ciarlet , L Gratie, S Kesavan, Sobre las condiciones de compatibilidad de Saint Venant y el lema de Poincaré, CR Acad. Ciencia. París, Ser. I, 342 (2006), 887-891. doi :10.1016/j.crma.2006.03.026
3. Giuseppe Geymonat, Francoise Krasucki, Descomposición de Hodge para campos de matrices simétricas y el complejo de elasticidad en dominios de Lipschitz, COMUNICACIONES SOBRE ANÁLISIS PURO Y APLICADO, Volumen 8, Número 1, enero de 2009, págs. 295–309 doi :10.3934/cpaa.2009.8.295
4. Philippe G. Ciarlet, Cristinel Mardare, Ming Shen, Recuperación de un campo de desplazamiento a partir de su campo tensorial de deformación linealizado en coordenadas curvilíneas, CR Acad. Sci. París, Ser. I 344 (2007) 535–540
5. DV Georgiyecskii y B. Ye. Pobedrya, El número de ecuaciones de compatibilidad independientes en la mecánica de sólidos deformables, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 68 (2004) 941-946
6. Weisstein, Eric W. Tensor de Riemann. De MathWorld, un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/RiemannTensor.html
7. M Eastwood, Un complejo de elasticidad lineal, Rediconti del circolo mathematico di Palermo, Ser II Suppl 63 (2000), págs.23-29
8. VA Sharafutdinov, Geometría integral de campos tensoriales, VSP 1994, ISBN 90-6764-165-0 . Capítulo 2. Versión en línea 

Véase también

• Compatibilidad (mecánica)