Base ortonormal

Base lineal específica (matemáticas)

En matemáticas , particularmente en álgebra lineal , una base ortonormal para un espacio de producto interno con dimensión finita es una base para cuyos vectores son ortonormales , es decir, todos son vectores unitarios y ortogonales entre sí. ^{[1] [2] [3]} Por ejemplo, la base estándar para un espacio euclidiano es una base ortonormal, donde el producto interno relevante es el producto escalar de los vectores. La imagen de la base estándar bajo una rotación o reflexión (o cualquier transformación ortogonal ) también es ortonormal, y cada base ortonormal para surge de esta manera. Una base ortonormal se puede derivar de una base ortogonal mediante normalización . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$La elección de un origen y una base ortonormal forma un marco de coordenadas conocido como marco ortonormal .

Para un espacio de producto interno general, se puede utilizar una base ortonormal para definir coordenadas ortogonales normalizadas en Bajo estas coordenadas, el producto interno se convierte en un producto escalar de vectores. Por lo tanto, la presencia de una base ortonormal reduce el estudio de un espacio de producto interno de dimensión finita al estudio de bajo el producto escalar. Todo espacio de producto interno de dimensión finita tiene una base ortonormal, que se puede obtener a partir de una base arbitraria utilizando el proceso de Gram-Schmidt . ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

En el análisis funcional , el concepto de base ortonormal se puede generalizar a espacios de producto interno arbitrarios (de dimensión infinita) . ^[4] Dado un espacio pre-Hilbert , una base ortonormal para es un conjunto ortonormal de vectores con la propiedad de que cada vector en se puede escribir como una combinación lineal infinita de los vectores en la base. En este caso, la base ortonormal a veces se denomina base de Hilbert para Nótese que una base ortonormal en este sentido generalmente no es una base de Hamel , ya que se requieren combinaciones lineales infinitas. ^[5] Específicamente, el espacio lineal de la base debe ser denso en aunque no necesariamente en todo el espacio. ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle H,}$

Si pasamos a los espacios de Hilbert , un conjunto de vectores no ortonormales que tengan el mismo espacio lineal que una base ortonormal puede no ser una base en absoluto. Por ejemplo, cualquier función integrable al cuadrado en el intervalo se puede expresar ( casi en todas partes ) como una suma infinita de polinomios de Legendre (una base ortonormal), pero no necesariamente como una suma infinita de los monomios. ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle x^{n}.}$

Una generalización diferente es la de los espacios pseudoproducto internos, espacios vectoriales de dimensión finita dotados de una forma bilineal simétrica no degenerada conocida como tensor métrico . En tal base, la métrica adopta la forma con unos positivos y unos negativos. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\text{diag}}(+1,\cdots ,+1,-1,\cdots ,-1)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Ejemplos

• Para , el conjunto de vectores se denomina base estándar y forma una base ortonormal de con respecto al producto escalar estándar. Nótese que tanto la base estándar como el producto escalar estándar se basan en la visualización como el producto cartesiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {e_{1}} ={\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}}\ ,\ \mathbf {e_{2}} ={\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}}\ ,\ \mathbf {e_{3}} ={\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}}\right\},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$

  Demostración: Un cálculo sencillo muestra que los productos internos de estos vectores son iguales a cero y que cada una de sus magnitudes es igual a uno. Esto significa que es un conjunto ortonormal. Todos los vectores se pueden expresar como una suma de los vectores base escalados de modo que abarca y, por lo tanto, debe ser una base. También se puede demostrar que la base estándar rotada sobre un eje que pasa por el origen o reflejada en un plano que pasa por el origen también forma una base ortonormal de . ${\displaystyle \left\langle \mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{3}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \right\rangle =0}$ ${\displaystyle \left\|\mathbf {e_{1}} \right\|=\left\|\mathbf {e_{2}} \right\|=\left\|\mathbf {e_{3}} \right\|=1.}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \right\}}$ ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )\in \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=\mathbf {xe_{1}} +\mathbf {ye_{2}} +\mathbf {ze_{3}} ,}$$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

• Para , la base estándar y el producto interno se definen de manera similar. Cualquier otra base ortonormal está relacionada con la base estándar mediante una transformación ortogonal en el grupo O(n). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• En el caso del espacio pseudoeuclidiano , una base ortogonal con métrica satisface si , si y si . Dos bases ortonormales cualesquiera están relacionadas mediante una transformación pseudoortogonal. En el caso , se trata de transformaciones de Lorentz. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q},}$ ${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=0}$ ${\displaystyle \mu \neq \nu }$ ${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\mu })=+1}$ ${\displaystyle 1\leq \mu \leq p}$ ${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\mu })=-1}$ ${\displaystyle p+1\leq \mu \leq p+q}$ ${\displaystyle (p,q)=(1,3)}$
• El conjunto con donde denota la función exponencial , forma una base ortonormal del espacio de funciones con integrales de Lebesgue finitas, respecto de la 2-norma . Esto es fundamental para el estudio de las series de Fourier . ${\displaystyle \left\{f_{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$ ${\displaystyle f_{n}(x)=\exp(2\pi inx),}$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle L^{2}([0,1]),}$
• El conjunto con si y en caso contrario forma una base ortonormal de ${\displaystyle \left\{e_{b}:b\in B\right\}}$ ${\displaystyle e_{b}(c)=1}$ ${\displaystyle b=c}$ ${\displaystyle e_{b}(c)=0}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(B).}$
• "Funciones propias de un problema propio de Sturm-Liouville" .
• Los vectores columna de una matriz ortogonal forman un conjunto ortonormal.

Fórmula básica

Si es una base ortogonal de entonces cada elemento puede escribirse como ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle x\in H}$ $${\displaystyle x=\sum _{b\in B}{\frac {\langle x,b\rangle }{\lVert b\rVert ^{2}}}b.}$$

Cuando es ortonormal, esto se simplifica a y el cuadrado de la norma de se puede dar por ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle x=\sum _{b\in B}\langle x,b\rangle b}$$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{b\in B}|\langle x,b\rangle |^{2}.}$$

Incluso si es incontable , solo una cantidad contable de términos en esta suma serán distintos de cero y, por lo tanto, la expresión está bien definida. Esta suma también se denomina expansión de Fourier de y la fórmula se conoce generalmente como identidad de Parseval . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x,}$

Si es una base ortonormal de entonces es isomorfa a en el siguiente sentido: existe una función lineal biyectiva tal que ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(B)}$ ${\displaystyle \Phi :H\to \ell ^{2}(B)}$ $${\displaystyle \langle \Phi (x),\Phi (y)\rangle =\langle x,y\rangle \ \ \forall \ x,y\in H.}$$

Sistema ortonormal

Un conjunto de vectores mutuamente ortonormales en un espacio de Hilbert se denomina sistema ortonormal. Una base ortonormal es un sistema ortonormal con la propiedad adicional de que el espacio lineal de es denso en . ^[6] Alternativamente, el conjunto puede considerarse completo o incompleto con respecto a . Es decir, podemos tomar el subespacio lineal cerrado más pequeño que contiene Entonces será una base ortonormal de que, por supuesto, puede ser más pequeña que ella misma, siendo un conjunto ortonormal incompleto , o ser cuando es un conjunto ortonormal completo . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V\subseteq H}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V;}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H,}$

Existencia

Utilizando el lema de Zorn y el proceso de Gram-Schmidt (o más simplemente el buen ordenamiento y la recursión transfinita), se puede demostrar que todo espacio de Hilbert admite una base ortonormal; ^[7] además, dos bases ortonormales cualesquiera del mismo espacio tienen la misma cardinalidad (esto se puede demostrar de una manera similar a la de la prueba del teorema de dimensión habitual para espacios vectoriales , con casos separados dependiendo de si el candidato a base más grande es numerable o no). Un espacio de Hilbert es separable si y solo si admite una base ortonormal numerable . (Se puede demostrar esta última afirmación sin utilizar el axioma de elección . Sin embargo, habría que utilizar el axioma de elección numerable ).

Elección de la base como elección de isomorfismo

Para ser más concretos, analizamos bases ortonormales para un espacio vectorial real, de dimensión 1, con una forma bilineal simétrica definida positiva . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi =\langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Una forma de ver una base ortonormal con respecto a es como un conjunto de vectores , que nos permiten escribir , y o . Con respecto a esta base, los componentes de son particularmente simples: (donde es el delta de Kronecker ). ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{i}\}}$ ${\displaystyle v=v^{i}e_{i}\ \ \forall \ v\in V}$ ${\displaystyle v^{i}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (v^{i})\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi (e_{i},e_{j})=\delta _{ij}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Ahora podemos ver la base como un mapa que es un isomorfismo de espacios de productos internos: para hacer esto más explícito podemos escribir ${\displaystyle \psi _{\mathcal {B}}:V\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \psi _{\mathcal {B}}:(V,\phi )\rightarrow (\mathbb {R} ^{n},\delta _{ij}).}$

Explícitamente podemos escribir donde es el elemento base dual . ${\displaystyle (\psi _{\mathcal {B}}(v))^{i}=e^{i}(v)=\phi (e_{i},v)}$ ${\displaystyle e^{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

La inversa es un mapa de componentes

${\displaystyle C_{\mathcal {B}}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V,(v^{i})\mapsto \sum _{i=1}^{n}v^{i}e_{i}.}$

Estas definiciones ponen de manifiesto que existe una biyección.

${\displaystyle \{{\text{Space of orthogonal bases }}{\mathcal {B}}\}\leftrightarrow \{{\text{Space of isomorphisms }}V\leftrightarrow \mathbb {R} ^{n}\}.}$

El espacio de isomorfismos admite acciones de grupos ortogonales tanto en el lado como en el lado. Para ser más concretos, fijamos los isomorfismos para que apunten en la dirección , y consideramos el espacio de tales aplicaciones, . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow V}$ ${\displaystyle {\text{Iso}}(\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V)}$

Este espacio admite una acción por la izquierda del grupo de isometrías de , es decir, tal que , con la acción dada por composición: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle R\in {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle \phi (\cdot ,\cdot )=\phi (R\cdot ,R\cdot )}$ ${\displaystyle R*C=R\circ C.}$

Este espacio también admite una acción derecha por el grupo de isometrías de , es decir, , con la acción nuevamente dada por la composición: . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle R_{ij}\in {\text{O}}(n)\subset {\text{Mat}}_{n\times n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C*R_{ij}=C\circ R_{ij}}$

Como espacio homogéneo principal

El conjunto de bases ortonormales para con el producto interno estándar es un espacio homogéneo principal o G-torsor para el grupo ortogonal y se llama variedad de Stiefel de marcos ortonormales . ^[8] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle G={\text{O}}(n),}$ ${\displaystyle V_{n}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle n}$

En otras palabras, el espacio de bases ortonormales es como el grupo ortogonal, pero sin elección del punto base: dado el espacio de bases ortonormales, no hay elección natural de base ortonormal, pero una vez que se da una, hay una correspondencia biunívoca entre bases y grupo ortogonal. Concretamente, una función lineal está determinada por el lugar donde envía una base dada: así como una función invertible puede llevar cualquier base a cualquier otra base, una función ortogonal puede llevar cualquier base ortogonal a cualquier otra base ortogonal .

Las otras variedades de Stiefel para bases ortonormales incompletas ( marcos -ortonormales) siguen siendo espacios homogéneos para el grupo ortogonal, pero no espacios homogéneos principales : cualquier marco - puede ser llevado a cualquier otro marco -por una función ortogonal, pero esta función no está unívocamente determinada. ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle k<n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

• El conjunto de bases ortonormales para es un G-torsor para . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ ${\displaystyle G={\text{O}}(p,q)}$
• El conjunto de bases ortonormales para es un G-torsor para . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle G={\text{U}}(n)}$
• El conjunto de bases ortonormales para es un G-torsor para . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{p,q}}$ ${\displaystyle G={\text{U}}(p,q)}$
• El conjunto de bases ortonormales diestras para es un G-torsor para ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle G={\text{SO}}(n)}$

Véase también

• Base ortogonal
• Base (álgebra lineal)  : conjunto de vectores utilizados para definir coordenadas
• Marco ortonormal  : espacio euclidiano sin distancias ni ángulos
• Base Schauder  – Herramienta computacional
• Conjunto total  : subconjunto de un espacio vectorial topológico cuyo espacio lineal es densoPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Notas

1. Lay, David C. (2006). Álgebra lineal y sus aplicaciones (3.ª ed.). Addison–Wesley . ISBN 0-321-28713-4.
2. Strang, Gilbert (2006). Álgebra lineal y sus aplicaciones (4.ª ed.). Brooks Cole . ISBN 0-03-010567-6.
3. Axler, Sheldon (2002). Álgebra lineal bien hecha (2.ª ed.). Springer . ISBN 0-387-98258-2.
4. Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo . McGraw-Hill . ISBN. 0-07-054234-1.
5. Romano 2008, pág. 218, cap. 9.
6. Steinwart y Christmann 2008, pag. 503.
7. Análisis funcional lineal Autores: Rynne, Bryan, Youngson, MA página 79
8. "Cuerpo docente de la CU". engfac.cooper.edu . Consultado el 15 de abril de 2021 .

Referencias

• Roman, Stephen (2008). Álgebra lineal avanzada . Textos de posgrado en matemáticas (tercera edición). Springer. ISBN 978-0-387-72828-5.(pagina 218, cap.9)
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Steinwart, Ingo; Christmann, Andreas (2008). Máquinas de vectores de soporte . Nueva York: Springer. doi :10.1007/978-0-387-77242-4. ISBN 978-0-387-77241-7.

Enlaces externos

• Esta publicación de Stack Exchange analiza por qué el conjunto de funciones delta de Dirac no es una base de L ² ([0,1]).