Cinemática directa

Cálculo de la posición del efector final de un robot a partir de valores articulares y ecuaciones cinemáticas

Un brazo robótico articulado de seis grados de libertad utiliza cinemática avanzada para posicionar la pinza.

Las ecuaciones de cinemática directa definen la trayectoria del efector final de un robot PUMA que alcanza las piezas.

En cinemática de robots , la cinemática directa se refiere al uso de las ecuaciones cinemáticas de un robot para calcular la posición del efector final a partir de valores específicos para los parámetros de la articulación . ^[1]

Las ecuaciones cinemáticas del robot se utilizan en robótica , juegos de ordenador y animación . El proceso inverso, que calcula los parámetros de las articulaciones que logran una posición específica del efector final, se conoce como cinemática inversa .

Cinemática hacia adelante y hacia atrás

Ecuaciones cinemáticas

Las ecuaciones cinemáticas para la cadena en serie de un robot se obtienen utilizando una transformación rígida [Z] para caracterizar el movimiento relativo permitido en cada articulación y una transformación rígida separada [X] para definir las dimensiones de cada eslabón. El resultado es una secuencia de transformaciones rígidas que alternan transformaciones de articulaciones y eslabones desde la base de la cadena hasta su eslabón final, que se equipara a la posición especificada para el eslabón final.

${\displaystyle [T]=[Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\ldots [X_{n-1}][Z_{n}],\!}$

donde [T] es la transformación que ubica el eslabón final. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones cinemáticas de la cadena serial. ^[2]

Transformaciones de enlaces

En 1955, Jacques Denavit y Richard Hartenberg introdujeron una convención para la definición de las matrices de unión [Z] y las matrices de enlace [X] para estandarizar el marco de coordenadas para los vínculos espaciales. ^{[3] [4]} Esta convención posiciona el marco de unión de modo que consista en un desplazamiento de tornillo a lo largo del eje Z.

${\displaystyle [Z_{i}]=\operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})\operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i}),}$

y posiciona el marco de enlace de manera que consiste en un desplazamiento de tornillo a lo largo del eje X,

${\displaystyle [X_{i}]=\operatorname {Trans} _{X_{i}}(a_{i,i+1})\operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1}).}$

Usando esta notación, cada enlace de transformación va a lo largo de un robot de cadena serial, y puede ser descrito por la transformación de coordenadas ,

${\displaystyle {}^{i-1}T_{i}=[Z_{i}][X_{i}]=\operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})\operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i})\operatorname {Trans} _{X_{i}}(a_{i,i+1})\operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1}),}$

donde θ _i , d _i , α _i,i+1 y a _i,i+1 se conocen como los parámetros de Denavit-Hartenberg .

Reconsideración de las ecuaciones cinemáticas

Las ecuaciones cinemáticas de una cadena serial de n eslabones, con parámetros de articulación θ _i, están dadas por ^[5]

${\displaystyle [T]={}^{0}T_{n}=\prod _{i=1}^{n}{}^{i-1}T_{i}(\theta _{i}),}$

donde es la matriz de transformación del marco de enlace a enlace . En robótica, estos se describen convencionalmente mediante parámetros de Denavit–Hartenberg . ^[6] ${\displaystyle {}^{i-1}T_{i}(\theta _{i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i-1}$

Matriz de Denavit-Hartenberg

Las matrices asociadas a estas operaciones son:

${\displaystyle \operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad \operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i})={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}&0&0\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Similarmente,

${\displaystyle \operatorname {Trans} _{X_{i}}(a_{i,i+1})={\begin{bmatrix}1&0&0&a_{i,i+1}\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad \operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1})={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \alpha _{i,i+1}&-\sin \alpha _{i,i+1}&0\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

El uso de la convención de Denavit-Hartenberg produce la matriz de transformación de enlaces, [ ^i-1 T _i ] como

${\displaystyle \operatorname {} ^{i-1}T_{i}={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}\cos \alpha _{i,i+1}&\sin \theta _{i}\sin \alpha _{i,i+1}&a_{i,i+1}\cos \theta _{i}\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}\cos \alpha _{i,i+1}&-\cos \theta _{i}\sin \alpha _{i,i+1}&a_{i,i+1}\sin \theta _{i}\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}},}$

conocida como matriz de Denavit-Hartenberg .

Animación por computadora

Las ecuaciones cinemáticas directas se pueden utilizar como método en gráficos de computadora 3D para animar modelos.

El concepto esencial de la animación cinemática hacia delante es que las posiciones de partes particulares del modelo en un momento específico se calculan a partir de la posición y orientación del objeto, junto con cualquier información sobre las articulaciones de un modelo articulado. Así, por ejemplo, si el objeto que se va a animar es un brazo con el hombro en una posición fija, la ubicación de la punta del pulgar se calcularía a partir de los ángulos de las articulaciones del hombro , el codo , la muñeca , el pulgar y los nudillos . Tres de estas articulaciones (el hombro, la muñeca y la base del pulgar) tienen más de un grado de libertad , todos los cuales deben tenerse en cuenta. Si el modelo fuera una figura humana completa, entonces la ubicación del hombro también tendría que calcularse a partir de otras propiedades del modelo.

La animación cinemática directa se distingue de la animación cinemática inversa por este método de cálculo: en la cinemática inversa, la orientación de las piezas articuladas se calcula a partir de la posición deseada de determinados puntos del modelo. También se distingue de otros sistemas de animación por el hecho de que el movimiento del modelo lo define directamente el animador, sin tener en cuenta ninguna ley física que pueda afectar al modelo, como la gravedad o la colisión con otros modelos.

Véase también

• Cinemática inversa
• Cadena cinemática
• Control de robots
• Sistemas mecánicos
• Cinemática del robot
• Síntesis cinemática

Referencias

1. Paul, Richard (1981). Robots manipuladores: matemáticas, programación y control: el control informático de robots manipuladores. MIT Press, Cambridge, Massachusetts. ISBN 978-0-262-16082-7.
2. JM McCarthy, 1990, Introducción a la cinemática teórica, MIT Press, Cambridge, Massachusetts.
3. J. Denavit y RS Hartenberg, 1955, "Una notación cinemática para mecanismos de pares inferiores basados ​​en matrices". Trans ASME J. Appl. Mech, 23:215–221.
4. Hartenberg, RS y J. Denavit. Síntesis cinemática de enlaces. Nueva York: McGraw-Hill, 1964. Disponible en línea a través de KMODDL.
5. Jennifer Kay. "Introducción a las transformaciones homogéneas y la cinemática de robots" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2021-04-12 . Consultado el 2010-09-11 .
6. Aprenda sobre robots. "Cinemática directa de robots" . Consultado el 1 de febrero de 2007 .