Cinemática directa

Calcular la posición del efector final de un robot a partir de valores conjuntos y ecuaciones cinemáticas

Un brazo robótico articulado de seis grados de libertad utiliza cinemática delantera para posicionar la pinza.

Las ecuaciones de cinemática directa definen la trayectoria del efector final de un robot PUMA que busca piezas.

En cinemática de robots , la cinemática directa se refiere al uso de las ecuaciones cinemáticas de un robot para calcular la posición del efector final a partir de valores específicos para los parámetros de las articulaciones . ^[1]

Las ecuaciones cinemáticas del robot se utilizan en robótica , juegos de computadora y animación . El proceso inverso, que calcula los parámetros de las articulaciones que logran una posición específica del efector final, se conoce como cinemática inversa .

Cinemática hacia adelante y hacia atrás

Ecuaciones cinemáticas

Las ecuaciones cinemáticas para la cadena en serie de un robot se obtienen usando una transformación rígida [Z] para caracterizar el movimiento relativo permitido en cada articulación y una transformación rígida separada [X] para definir las dimensiones de cada eslabón. El resultado es una secuencia de transformaciones rígidas que alternan transformaciones de juntas y eslabones desde la base de la cadena hasta su eslabón final, que se equipara a la posición especificada para el eslabón final.

${\displaystyle [T]=[Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\ldots [X_{n-1}][Z_{n}],\!}$

donde [T] es la transformación que localiza el enlace final. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones cinemáticas de la cadena en serie. ^[2]

Transformaciones de enlaces

En 1955, Jacques Denavit y Richard Hartenberg introdujeron una convención para la definición de matrices conjuntas [Z] y matrices de vínculos [X] para estandarizar el marco de coordenadas para vínculos espaciales. ^{[3] [4]} Esta convención posiciona el marco de la articulación de modo que consista en un desplazamiento de tornillo a lo largo del eje Z.

${\displaystyle [Z_{i}]=\operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})\operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i}),}$

y posiciona el marco de enlace de modo que consista en un desplazamiento de tornillo a lo largo del eje X,

${\displaystyle [X_{i}]=\operatorname {Trans} _{X_{i}}(a_{i,i+1})\operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1}).}$

Usando esta notación, cada eslabón de transformación va a lo largo de una cadena de robot en serie y puede describirse mediante la transformación de coordenadas ,

${\displaystyle {}^{i-1}T_{i}=[Z_{i}][X_{i}]=\operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})\operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i})\operatorname {Trans} _{X_{i}}(a_{i,i+1})\operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1}),}$

donde θ _i , d _i , α _i,i+1 y a _i,i+1 se conocen como parámetros de Denavit-Hartenberg .

Ecuaciones cinemáticas revisadas

Las ecuaciones cinemáticas de una cadena en serie de n eslabones, con parámetros conjuntos θ _i vienen dadas por ^[5]

${\displaystyle [T]={}^{0}T_{n}=\prod _{i=1}^{n}{}^{i-1}T_{i}(\theta _{i}),}$

¿Dónde está la matriz de transformación del marco de enlace a enlace ? En robótica, estos se describen convencionalmente mediante parámetros de Denavit-Hartenberg . ^[6] ${\displaystyle {}^{i-1}T_{i}(\theta _{i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i-1}$

Matriz de Denavit-Hartenberg

Las matrices asociadas a estas operaciones son:

${\displaystyle \operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad \operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i})={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}&0&0\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Similarmente,

${\displaystyle \operatorname {Trans} _{X_{i}}(a_{i,i+1})={\begin{bmatrix}1&0&0&a_{i,i+1}\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad \operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1})={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \alpha _{i,i+1}&-\sin \alpha _{i,i+1}&0\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

El uso de la convención de Denavit-Hartenberg produce la matriz de transformación de enlaces, [ ^i-1 T _i ] como

${\displaystyle \operatorname {} ^{i-1}T_{i}={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}\cos \alpha _{i,i+1}&\sin \theta _{i}\sin \alpha _{i,i+1}&a_{i,i+1}\cos \theta _{i}\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}\cos \alpha _{i,i+1}&-\cos \theta _{i}\sin \alpha _{i,i+1}&a_{i,i+1}\sin \theta _{i}\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}},}$

conocida como matriz de Denavit-Hartenberg .

Animación por computadora

Las ecuaciones cinemáticas directas se pueden utilizar como método en gráficos por computadora 3D para animar modelos.

El concepto esencial de la animación cinemática directa es que las posiciones de partes particulares del modelo en un momento específico se calculan a partir de la posición y orientación del objeto, junto con cualquier información sobre las articulaciones de un modelo articulado. Entonces, por ejemplo, si el objeto a animar es un brazo con el hombro en una ubicación fija, la ubicación de la punta del pulgar se calcularía a partir de los ángulos de las articulaciones del hombro , el codo , la muñeca , el pulgar y los nudillos . Tres de estas articulaciones (el hombro, la muñeca y la base del pulgar) tienen más de un grado de libertad , todo lo cual hay que tener en cuenta. Si el modelo fuera una figura humana completa, entonces la ubicación del hombro también tendría que calcularse a partir de otras propiedades del modelo.

La animación cinemática directa se puede distinguir de la animación cinemática inversa mediante este método de cálculo: en la cinemática inversa, la orientación de las piezas articuladas se calcula a partir de la posición deseada de determinados puntos del modelo. También se distingue de otros sistemas de animación por el hecho de que el movimiento del modelo lo define directamente el animador: no se tienen en cuenta las leyes físicas que puedan estar vigentes en el modelo, como la gravedad o la colisión con otros modelos.

Ver también

• Cinemática inversa
• Cadena cinemática
• control de robots
• Sistemas mecánicos
• Cinemática del robot
• Síntesis cinemática

Referencias

1. Pablo, Richard (1981). Manipuladores de robots: matemáticas, programación y control: el control informático de los manipuladores de robots. Prensa del MIT, Cambridge, Massachusetts. ISBN 978-0-262-16082-7.
2. JM McCarthy, 1990, Introducción a la cinemática teórica, MIT Press, Cambridge, Massachusetts.
3. J. Denavit y RS Hartenberg, 1955, "Una notación cinemática para mecanismos de pares inferiores basados ​​en matrices". Trans ASME J. Appl. Mec, 23:215–221.
4. Hartenberg, RS y J. Denavit. Síntesis cinemática de enlaces. Nueva York: McGraw-Hill, 1964 en línea a través de KMODDL
5. Jennifer Kay. "Introducción a las transformaciones homogéneas y la cinemática de robots" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 12 de abril de 2021 . Consultado el 11 de septiembre de 2010 .
6. Aprenda sobre robots. "Cinemática de avance del robot" . Consultado el 1 de febrero de 2007 .