Teorema de Brauer sobre caracteres inducidos

Resultado fundamental en la rama de las matemáticas conocida como teoría del carácter

El teorema de Brauer sobre caracteres inducidos , a menudo conocido como teorema de inducción de Brauer , y llamado así en honor a Richard Brauer , es un resultado básico en la rama de las matemáticas conocida como teoría de caracteres , dentro de la teoría de la representación de un grupo finito . ^{[ cita requerida ]}

Fondo

Un precursor del teorema de inducción de Brauer fue el teorema de inducción de Artin , que establece que | G | multiplicado por el carácter trivial de G es una combinación entera de caracteres que se inducen a partir de caracteres triviales de subgrupos cíclicos de G. El teorema de Brauer elimina el factor | G |, pero a costa de expandir la colección de subgrupos utilizados. Algunos años después de que apareciera la prueba del teorema de Brauer, JA Green demostró (en 1955) que no se podía demostrar ningún teorema de inducción de este tipo (con combinaciones enteras de caracteres inducidos a partir de caracteres lineales) con una colección de subgrupos más pequeños que los subgrupos elementales de Brauer. ^{[ cita requerida ]}

Otro resultado entre el teorema de inducción de Artin y el teorema de inducción de Brauer, también debido a Brauer y también conocido como teorema de Brauer o lema de Brauer es el hecho de que la representación regular de G puede escribirse como donde son racionales positivos y se inducen a partir de caracteres de subgrupos cíclicos de G . Nótese que en el teorema de Artin los caracteres se inducen a partir del carácter trivial del grupo cíclico, mientras que aquí se inducen a partir de caracteres arbitrarios (en aplicaciones a las funciones L de Artin es importante que los grupos sean cíclicos y por lo tanto todos los caracteres sean lineales dando que las funciones L correspondientes son analíticas). ^[1] ${\displaystyle 1+\sum \lambda _{i}\rho _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \rho _{i}}$

Declaración

Sea G un grupo finito y sea Char( G ) el subanillo del anillo de funciones de clase de valor complejo de G que consiste en combinaciones enteras de caracteres irreducibles . Char( G ) se conoce como el anillo de caracteres de G y sus elementos se conocen como caracteres virtuales (alternativamente, como caracteres generalizados o, a veces, caracteres de diferencia ). Es un anillo en virtud del hecho de que el producto de caracteres de G es a su vez un carácter de G. Su multiplicación está dada por el producto elemento por elemento de funciones de clase. ^{[ cita requerida ]}

El teorema de inducción de Brauer muestra que el anillo de caracteres puede generarse (como un grupo abeliano ) mediante caracteres inducidos de la forma , donde H se extiende sobre subgrupos de G y λ se extiende sobre caracteres lineales (que tienen grado 1) de H . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \lambda _{H}^{G}}$

De hecho, Brauer demostró que los subgrupos H podían elegirse de una colección muy restringida, ahora llamada subgrupos elementales de Brauer . Estos son productos directos de grupos cíclicos y grupos cuyo orden es una potencia de un primo. ^{[ cita requerida ]}

Pruebas

La prueba del teorema de inducción de Brauer explota la estructura de anillo de Char( G ) (la mayoría de las pruebas también hacen uso de un anillo ligeramente más grande, Char*(G), que consiste en -combinaciones de caracteres irreducibles, donde ω es un complejo primitivo | G |-ésima raíz de la unidad). El conjunto de combinaciones enteras de caracteres inducidas a partir de caracteres lineales de subgrupos elementales de Brauer es un ideal I ( G ) de Char( G ), por lo que la prueba se reduce a mostrar que el carácter trivial está en I ( G ). Varias pruebas del teorema, comenzando con una prueba debida a Brauer y John Tate , muestran que el carácter trivial está en el ideal definido análogamente I *( G ) de Char*( G ) concentrando la atención en un primo p a la vez, y construyendo elementos de valor entero de I *( G ) que difieren (elemento por elemento) del carácter trivial por (múltiplos enteros de) una potencia suficientemente alta de p. Una vez que esto se logra para cada divisor primo de | G |, algunas manipulaciones con congruencias y números enteros algebraicos , explotando nuevamente el hecho de que I *( G ) es un ideal de Ch*( G ), colocan el carácter trivial en I ( G ). Un resultado auxiliar aquí es que una función de clase con valores - se encuentra en el ideal I *( G ) si sus valores son todos divisibles (en ) por | G |. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

El teorema de inducción de Brauer fue demostrado en 1946 y actualmente existen muchas demostraciones alternativas. En 1986, Victor Snaith presentó una demostración mediante un enfoque radicalmente diferente, de naturaleza topológica (una aplicación del teorema de punto fijo de Lefschetz ). Recientemente se han realizado trabajos relacionados sobre la cuestión de encontrar formas naturales y explícitas del teorema de Brauer, en particular los de Robert Boltje.

Aplicaciones

Utilizando la reciprocidad de Frobenius , el teorema de inducción de Brauer conduce fácilmente a su caracterización fundamental de caracteres , que afirma que una función de clase de valor complejo de G es un carácter virtual si y solo si su restricción a cada subgrupo elemental de Brauer de G es un carácter virtual. Este resultado, junto con el hecho de que un carácter virtual θ es un carácter irreducible si y solo si θ(1) > 0 y (donde es el producto interno habitual en el anillo de funciones de clase de valor complejo ) proporciona un medio para construir caracteres irreducibles sin construir explícitamente las representaciones asociadas. ${\displaystyle \langle \theta ,\theta \rangle =1}$ ${\displaystyle \langle ,\rangle }$

Una motivación inicial para el teorema de inducción de Brauer fue la aplicación a las funciones L de Artin . Muestra que estas se construyen a partir de funciones L de Dirichlet o, más generales, funciones L de Hecke . Es muy significativo para esa aplicación si cada carácter de G es una combinación entera no negativa de caracteres inducidos a partir de caracteres lineales de subgrupos. En general, este no es el caso. De hecho, por un teorema de Taketa, si todos los caracteres de G son expresables de esa manera, entonces G debe ser un grupo resoluble (aunque la solubilidad por sí sola no garantiza tales expresiones; por ejemplo, el grupo resoluble SL(2,3) tiene un carácter complejo irreducible de grado 2 que no es expresable como una combinación entera no negativa de caracteres inducidos a partir de caracteres lineales de subgrupos). Un ingrediente de la prueba del teorema de inducción de Brauer es que cuando G es un grupo nilpotente finito , cada carácter irreducible complejo de G se induce a partir de un carácter lineal de algún subgrupo.

Referencias

• Isaacs, IM (1994) [1976]. Teoría de caracteres de grupos finitos . Dover. ISBN 0-486-68014-2.Zbl 0849.20004  .Reimpresión corregida del original de 1976, publicada por Academic Press. Zbl  0337.20005

Lectura adicional

• Snaith, VP (1994). Inducción explícita de Brauer: con aplicaciones al álgebra y la teoría de números . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 40. Cambridge University Press . ISBN 0-521-46015-8.Zbl 0991.20005  .

Notas

1. Serge Lang, Teoría algebraica de números , apéndice del capítulo XVI