Cálculo mental

Cálculos aritméticos utilizando sólo el cerebro humano.

El cálculo mental ha sido durante mucho tiempo un componente de la educación matemática.

El cálculo mental consiste en cálculos aritméticos utilizando únicamente el cerebro humano , sin ayuda de ningún material (como lápiz y papel) o dispositivos como una calculadora . Las personas pueden utilizar el cálculo mental cuando no hay herramientas informáticas disponibles, cuando es más rápido que otros medios de cálculo (como los métodos convencionales de las instituciones educativas) o incluso en un contexto competitivo . El cálculo mental a menudo implica el uso de técnicas específicas diseñadas para tipos específicos de problemas. Las personas con una capacidad inusualmente alta para realizar cálculos mentales se denominan calculadoras mentales o calculadoras relámpago .

Muchas de estas técnicas aprovechan o se basan en el sistema numérico decimal . Por lo general, la elección de la base es lo que determina qué método o métodos utilizar.

Métodos y técnicas.

Expulsar nueves

Después de aplicar una operación aritmética a dos operandos y obtener un resultado, se puede utilizar el siguiente procedimiento para mejorar la confianza en la exactitud del resultado:

1. Suma los dígitos del primer operando; cualquier 9 (o conjunto de dígitos que sumen 9) se puede contar como 0.
2. Si la suma resultante tiene dos o más dígitos, sume esos dígitos como en el paso uno; Repita este paso hasta que la suma resultante tenga solo un dígito.
3. Repita los pasos uno y dos con el segundo operando. En este punto hay dos números de un solo dígito, el primero derivado del primer operando y el segundo derivado del segundo operando. ^[a]
4. Aplique la operación especificada originalmente a los dos operandos condensados ​​y luego aplique el procedimiento de suma de dígitos al resultado de la operación.
5. Sume los dígitos del resultado que se obtuvieron originalmente para el cálculo original.
6. Si el resultado del paso 4 no es igual al resultado del paso 5, entonces la respuesta original es incorrecta. Si los dos resultados coinciden, entonces la respuesta original puede ser correcta, aunque no se garantiza que lo sea.

Ejemplo

• Supongamos que el cálculo 6.338 × 79, realizado manualmente, arrojó un resultado de 500.702:

1. Suma los dígitos de 6,338: (6 + 3 = 9, así que cuéntalo como 0) + 3 + 8 = 11
2. Iterar según sea necesario: 1 + 1 = 2
3. Suma los dígitos de 79: 7 + (9 contado como 0) = 7
4. Realice la operación original en los operandos condensados ​​y sume los dígitos: 2 × 7 = 14; 1 + 4 = 5
5. Suma los dígitos de 500702: 5 + 0 + 0 + (7 + 0 + 2 = 9, que cuenta como 0) = 5
6. 5 = 5, por lo que hay muchas posibilidades de que la predicción de que 6,338 × 79 es igual a 500,702 sea correcta.

Se puede utilizar el mismo procedimiento con múltiples operaciones, repitiendo los pasos 1 y 2 para cada operación.

Factores

Al multiplicar, es útil recordar que los factores de los operandos aún permanecen. Por ejemplo, decir que 14 × 15 era 201 no sería razonable. Como 15 es múltiplo de 5, el producto también debería serlo. Asimismo, 14 es múltiplo de 2, por lo que el producto debe ser par. Además, cualquier número que sea múltiplo de 5 y 2 es necesariamente múltiplo de 10, y en el sistema decimal terminaría en 0. La respuesta correcta es 210. Es múltiplo de 10, 7 (el otro factor primo de 14) y 3 (el otro factor primo de 15).

Calculando diferencias:a−b

Cálculo directo

Cuando los dígitos de b son todos más pequeños que los dígitos correspondientes de a , el cálculo se puede realizar dígito por dígito. Por ejemplo, evalúa 872 − 41 simplemente restando 1 de 2 en el lugar de las unidades y 4 de 7 en el lugar de las decenas: 831.

Cálculo indirecto

Cuando la situación anterior no aplica, existe otro método conocido como cálculo indirecto.

Método de préstamo anticipado

Este método se puede utilizar para restar números de izquierda a derecha, y si todo lo que se requiere es leer el resultado en voz alta, se requiere poca memoria del usuario incluso para restar números de tamaño arbitrario.

Se maneja un lugar a la vez, de izquierda a derecha.

Ejemplo: 4075 − 1844 ------Miles: 4 − 1 = 3, mira a la derecha, 075 < 844, necesitas pedir prestado. 3 − 1 = 2, digamos "Dos mil". Uno está realizando 3 - 1 en lugar de 4 - 1 porque la columna de la derecha es Voy a pedir prestado al lugar de los miles.Centenas: 0 − 8 = aquí no se permiten números negativos. Uno va a aumentar este lugar usando el número uno tomado prestado del columna de la izquierda. Por lo tanto: 10 − 8 = 2. Es 10 en lugar de 0, porque uno tomó prestado de los Miles lugar. 75 > 44 por lo que no es necesario pedir prestado, decir "doscientos"Decenas: 7 − 4 = 3, 5 > 4, entonces 5 - 4 = 1

Por tanto, el resultado es 2231.

Calcular productos:a×b

Muchos de estos métodos funcionan gracias a la propiedad distributiva .

Multiplicar dos números cualesquiera sumando, restando y enrutando

Descubierto por Artem Cheprasov, existe un método de multiplicación que permite al usuario utilizar tres pasos para multiplicar rápidamente números de cualquier tamaño entre sí a través de tres formas únicas. ^{[1] [2]}

Primero, el método permite al usuario unir números entre sí, en lugar de sumarlos o restarlos, durante los pasos intermedios para acelerar la tasa de multiplicación. Por ejemplo, en lugar de sumar o restar resultados intermedios como 357 y 84, el usuario podría simplemente unir los números (35784) para simplificar y acelerar el problema de multiplicación. Unir números entre sí ayuda a evitar pasos innecesarios que se encuentran en las técnicas tradicionales de multiplicación.

En segundo lugar, este método utiliza números negativos según sea necesario, incluso cuando se multiplican dos números enteros positivos, para acelerar la velocidad de multiplicación mediante la resta. Esto significa que se pueden multiplicar dos números enteros positivos para obtener pasos intermedios negativos, pero al final sigue siendo la respuesta positiva correcta. Estos números negativos en realidad se derivan automáticamente de los propios pasos de multiplicación y, por lo tanto, son exclusivos de un problema particular. Una vez más, estos pasos intermedios negativos están diseñados para ayudar a acelerar el cálculo mental.

Finalmente, otro aspecto único del uso de este método es que el usuario puede elegir una de varias "rutas de multiplicación" diferentes para el problema de multiplicación específico en cuestión en función de sus preferencias subjetivas o fortalezas y debilidades con números enteros particulares.

A pesar de los mismos números enteros iniciales, las diferentes rutas de multiplicación dan diferentes números intermedios que el usuario obtiene automáticamente a medida que multiplica. Algunos de estos intermediarios pueden ser más fáciles que otros (por ejemplo, algunos usuarios pueden encontrar una ruta que utiliza un 7 negativo, mientras que otra ruta utiliza un 5 o un 0, que suelen ser más fáciles de trabajar mentalmente para la mayoría de las personas, pero no en todos los casos). ).

Si una "ruta" parece ser más difícil para un estudiante frente a otra ruta y sus números intermedios, ese estudiante puede simplemente elegir otra ruta de multiplicación más simple para sí mismo, aunque sea el mismo problema original.

La fórmula de los "fines de cinco"

Para cualquier problema de multiplicación de 2 dígitos por 2 dígitos, si ambos números terminan en cinco, se puede utilizar el siguiente algoritmo para multiplicarlos rápidamente: ^[1]

${\displaystyle \mathrm {Ex} :35\times 75}$

Como paso preliminar, simplemente redondee el número menor hacia abajo y el mayor hacia arriba al múltiplo de diez más cercano. En este caso:

${\displaystyle 35-5=30=X}$

${\displaystyle 75+5=80=Y}$

El algoritmo dice lo siguiente:

${\displaystyle (X\times Y)+50(t_{1}-t_{2})+25}$

Donde t ₁ es la unidad de decenas del número mayor original (75) y t ₂ es la unidad de decenas del número menor original (35).

${\displaystyle =30\times 80+50(7-3)+25=2625}$

El autor también describe otro algoritmo similar si uno quiere redondear el número original más grande hacia abajo y el número original más pequeño hacia arriba.

La fórmula del "prestatario"

Si dos números equidistan del múltiplo de 100 más cercano, entonces se puede utilizar un algoritmo simple para encontrar el producto. ^[1]

Como un ejemplo sencillo:

${\displaystyle 33\times 67}$

Ambos números están equidistantes (33 de distancia) de su múltiplo de 100 más cercano (0 y 100, respectivamente).

Como paso preliminar, simplemente redondee el número menor hacia abajo y el mayor hacia arriba al múltiplo de diez más cercano. En este caso:

${\displaystyle 33-3=30=X}$

${\displaystyle 67+3=70=Y}$

El algoritmo dice lo siguiente:

${\displaystyle (X\times Y)+u_{1}\times u_{2}+u_{2}(T_{1}-T_{2})}$

Donde u ₁ es el dígito de unidades del número mayor original (67) y u ₂ es el dígito de unidades del número menor original (33). T ₁ es el dígito de las decenas del número mayor original y T ₂ es el dígito de las decenas del número menor original multiplicado por su potencia respectiva (en este caso por 10, para un dígito de las decenas).

Y entonces:

${\displaystyle (30\times 70)+7\times 3+3(60-30)=2100+21+90=2211}$

Multiplicar cualquier número de 2 dígitos

Para multiplicar fácilmente cualquier número de 2 dígitos, un algoritmo simple es el siguiente (donde a es el dígito de las decenas del primer número, b es el dígito de las unidades del primer número, c es el dígito de las decenas del segundo número y d es el dígito de las unidades del segundo número):

${\displaystyle (10a+b)\cdot (10c+d)}$

${\displaystyle =100(a\cdot c)+10(b\cdot c)+10(a\cdot d)+b\cdot d}$

Por ejemplo,

${\displaystyle 23\cdot 47=100(2\cdot 4)+10(3\cdot 4)+10(2\cdot 7)+3\cdot 7}$

 800 +120 +140 + 21----- 1081

Tenga en cuenta que esto es lo mismo que la suma convencional de productos parciales, sólo que reformulada con brevedad. Para minimizar la cantidad de elementos que se retienen en la memoria, puede ser conveniente realizar primero la suma del producto de multiplicación "cruz" y luego sumar los otros dos elementos:

${\displaystyle (a\cdot d+b\cdot c)\cdot 10}$

${\displaystyle {}+b\cdot d}$[de los cuales sólo el dígito de las decenas interferirá con el primer término]

${\displaystyle {}+a\cdot c\cdot 100}$

es decir, en este ejemplo

(12 + 14) = 26, 26 × 10 = 260,

a lo cual es fácil sumarle 21:281 y luego 800:1081

Una mnemónica fácil de recordar para esto sería FOIL . F significa primero, O significa exterior, I significa interior y L significa último. Por ejemplo:

${\displaystyle 75\cdot 23}$

y

${\displaystyle ab\cdot cd}$

donde 7 es a , 5 es b , 2 es c y 3 es d .

Considerar

${\displaystyle a\cdot c\cdot 100+(a\cdot d+b\cdot c)\cdot 10+b\cdot d}$

esta expresión es análoga a cualquier número en base 10 con centenas, decenas y unidades. FOIL también se puede considerar como un número donde F son las centenas, OI las decenas y L las unidades.

${\displaystyle a\cdot c}$es el producto del primer dígito de cada uno de los dos números; F.

${\displaystyle (a\cdot d+b\cdot c)}$es la suma del producto de los dígitos exteriores y los dígitos interiores; OI.

${\displaystyle b\cdot d}$es el producto del último dígito de cada uno de los dos números; l.

Multiplicar por 2 u otros números pequeños

Cuando un número que se multiplica es lo suficientemente pequeño como para multiplicarlo con facilidad por cualquier dígito, el producto se puede calcular fácilmente dígito por dígito de derecha a izquierda. Esto es particularmente fácil para la multiplicación por 2 ya que el dígito de acarreo no puede ser mayor que 1.

Por ejemplo, para calcular 2 × 167: 2 × 7 = 14, por lo que el dígito final es 4 , con un 1 y se suma al 2 × 6 = 12 para obtener 13, por lo que el siguiente dígito es 3 con un 1 y Sumado al 2 × 1 = 2 para dar 3 . Por tanto, el producto es 334.

Multiplicando por 5

Para multiplicar un número por 5,

1. Primero multiplica ese número por 10, luego divídelo por 2. Los dos pasos son intercambiables, es decir, se puede dividir el número por la mitad y luego multiplicarlo.

El siguiente algoritmo es una forma rápida de producir este resultado:

2. Agregue un cero al lado derecho del número deseado. (A.) 3. Luego, comenzando desde el número más a la izquierda, divida por 2 (B.) y agregue cada resultado en el orden respectivo para formar un nuevo número; (las respuestas de las fracciones deben redondearse hacia abajo al número entero más cercano).

EJEMPLO: Multiplica 176 por 5. A. Suma un cero a 176 para obtener 1760. B. Divida por 2 comenzando por la izquierda. 1. Divide 1 entre 2 para obtener 0,5, redondeado a cero. 2. Divide 7 entre 2 para obtener 3,5, redondeado a la baja a 3. 3. Divide 6 entre 2 para obtener 3. Cero dividido entre dos es simplemente cero.

El número resultante es 0330. (Esta no es la respuesta final, sino una primera aproximación que se ajustará en el siguiente paso:)

 C. Suma 5 al número que sigue a cualquier número en este nuevo número que era impar antes de dividirse por dos;

EJEMPLO: 176 (EN PRIMER, SEGUNDO, TERCER LUGAR):

 1.El PRIMER lugar es 1, que es impar. AGREGUE 5 al número después el primer lugar en el nuevo número (0330) que es 3; 3+5=8.  2.El número que está en segundo lugar de 176, 7, también es impar. El el número correspondiente (0 8 3 0) también se incrementa en 5; 3+5=8. 3.El número en el tercer lugar de 176, 6, es par, por lo tanto el número final, cero, en la respuesta no cambia. Eso la respuesta final es 0880. El cero más a la izquierda se puede omitir, dejando 880. Entonces 176 por 5 es igual a 880.

EJEMPLO: Multiplica 288 por 5.

A. Divida 288 entre 2. Se puede dividir cada dígito individualmente para obtener 144 (es más fácil dividir un número menor).

B. Multiplique por 10. Agregue un cero para obtener el resultado 1440.

Multiplicando por 9

Como 9 = 10 − 1, para multiplicar un número por nueve, multiplícalo por 10 y luego resta el número original del resultado. Por ejemplo, 9 × 27 = 270 − 27 = 243.

Este método se puede ajustar para multiplicar por ocho en lugar de nueve, duplicando el número que se resta; 8 × 27 = 270 − (2×27) = 270 − 54 = 216.

De manera similar, al sumar en lugar de restar, se pueden usar los mismos métodos para multiplicar por 11 y 12, respectivamente (aunque existen métodos más simples para multiplicar por 11).

Usando las manos: 1–10 multiplicado por 9

Calcular 9 × 8 usando los dedos

Para utilizar este método, uno debe colocar las manos frente a él, con las palmas hacia él. Asigne el pulgar izquierdo a 1, el índice izquierdo a 2, y así sucesivamente hasta que el pulgar derecho sea diez. Cada "|" simboliza un dedo levantado y un "-" representa un dedo doblado.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10| | | | | | | | | |Mano izquierda, mano derecha

Doble el dedo que representa el número a multiplicar por nueve hacia abajo.

Ej: 6 × 9 sería

| | | | | − | | | |

El dedo meñique derecho está hacia abajo. Tome la cantidad de dedos aún levantados a la izquierda del dedo doblado y antepóngalo a la cantidad de dedos a la derecha.

Ej: hay cinco dedos a la izquierda del dedo meñique derecho y cuatro a la derecha del dedo meñique derecho. Entonces 6 × 9 = 54.

 5 4| | | | | − | | | |

Multiplicar por 10 (y potencias de diez)

Para multiplicar un número entero por 10, simplemente agrega un 0 adicional al final del número. Para multiplicar un número no entero por 10, mueva el punto decimal un dígito hacia la derecha.

En general, para base diez, para multiplicar por 10 ⁿ (donde n es un número entero), mueva el punto decimal n dígitos hacia la derecha. Si n es negativo, mueve el decimal | norte | dígitos a la izquierda.

Multiplicando por 11

Para números de un solo dígito, simplemente duplique el número en decenas, por ejemplo: 1 × 11 = 11, 2 × 11 = 22, hasta 9 × 11 = 99.

El producto de cualquier número entero mayor distinto de cero se puede encontrar mediante una serie de sumas a cada uno de sus dígitos de derecha a izquierda, dos a la vez.

Primero tome el dígito de las unidades y cópielo en el resultado temporal. Luego, comenzando con el dígito de las unidades del multiplicador, suma cada dígito al dígito de su izquierda. Luego, cada suma se suma a la izquierda del resultado, delante de todas las demás. Si un número suma 10 o más, tome el dígito de las decenas, que siempre será 1, y páselo a la siguiente suma. Finalmente copie el dígito del multiplicador más a la izquierda (el de mayor valor) al frente del resultado, agregando el 1 llevado si es necesario, para obtener el producto final.

En el caso de un 11 negativo, un multiplicador o ambos, aplique el signo al producto final como en la multiplicación normal de los dos números.

Un ejemplo paso a paso de 759 × 11:

1. El dígito de las unidades del multiplicador, 9, se copia al resultado temporal.
   • resultado: 9
2. Suma 5 + 9 = 14 para que 4 se coloque en el lado izquierdo del resultado y lleve el 1.
   • resultado: 49
3. De manera similar, suma 7 + 5 = 12, luego suma el 1 llevado para obtener 13. Coloca 3 en el resultado y lleva el 1.
   • resultado: 349
4. Sume el 1 llevado al dígito de mayor valor en el multiplicador, 7 + 1 = 8, y cópielo al resultado para finalizar.
   • Producto final de 759×11: 8349

Más ejemplos:

• −54 × −11 = 5 5+4(9) 4 = 594
• 999 × 11 = 9+1(10) 9+9+1(9) 9+9(8) 9 = 10989
  • Tenga en cuenta el manejo de 9+1 como el dígito de mayor valor.
• −3478 × 11 = 3 3+4+1(8) 4+7+1(2) 7+8(5) 8 = −38258
• 62473 × 11 = 6 6+2(8) 2+4+1(7) 4+7+1(2) 7+3(0) 3 = 687203

Otro método consiste simplemente en multiplicar el número por 10 y sumar el número original al resultado.

Por ejemplo:

17 × 11

 17 × 10 = 170

170 + 17 = 187

17 × 11 = 187

Una última forma sencilla:

Si uno tiene un número de dos dígitos, tómalo, suma los dos números y pon esa suma en el medio, y podrás obtener la respuesta.

Por ejemplo: 24 x 11 = 264 porque 2 + 4 = 6 y el 6 se coloca entre el 2 y el 4.

Segundo ejemplo: 87 x 11 = 957 porque 8 + 7 = 15, entonces el 5 va entre el 8 y el 7 y el 1 se lleva al 8. Entonces, básicamente es 857 + 100 = 957.

O si 43 x 11 es igual al primer 4+3=7 (para las decenas), entonces 4 es para las centenas y 3 es para las decenas. Y la respuesta es 473.

Multiplicar dos números de 2 cifras entre el 11 y el 19

Para multiplicar fácilmente números de 2 dígitos entre 11 y 19, un algoritmo simple es el siguiente (donde a es el dígito de las unidades del primer número y b es el dígito de las unidades del segundo número):

(10+a)×(10+b)100 + 10×(a+b) + a×bque se puede visualizar como tres partes a agregar:1xx yyPor ejemplo:17×161 = 10013 (7+6) = 10×(a+b) 42 (7×6) = a×b272 (total)

Usando las manos: 6–10 multiplicado por otro número 6–10

Calculando 9 × 8 y 7 × 6

Esta técnica permite multiplicar un número del 6 al 10 por otro número del 6 al 10.

Asigne 6 al dedo meñique, 7 al anular, 8 al dedo medio, 9 al índice y 10 al pulgar. Toque los dos números deseados juntos. El punto de contacto y debajo se considera la sección "inferior" y todo lo que está encima de los dos dedos que se tocan es parte de la sección "superior". La respuesta se obtiene sumando diez veces el número total de dedos "inferiores" al producto del número de dedos "superiores" de la mano izquierda y derecha.

Por ejemplo, 9×6 quedaría así, con el dedo índice izquierdo tocando el dedo meñique derecho:

 =10== :pulgar derecho (arriba) ==9== :dedo índice derecho (arriba) ==8== :dedo medio derecho (arriba) pulgar izquierdo: =10== ==7== :dedo anular derecho (arriba)  dedo índice izquierdo: --9---><---6-- :dedo meñique derecho (ABAJO) dedo medio izquierdo: --8-- (ABAJO) dedo anular izquierdo: --7-- (ABAJO)dedo meñique izquierdo: --6-- (ABAJO)

En este ejemplo, hay 5 dedos "inferiores" (el índice izquierdo, el medio, el anular y el meñique, más el meñique derecho), 1 dedo "superior" izquierdo (el pulgar izquierdo) y 4 dedos "superiores" derechos (el pulgar, el índice, el dedo medio y el anular derechos). Entonces el cálculo es el siguiente: 9 × 6 = (10 × 5) + (1 × 4) = 54.

Considere otro ejemplo, 8 × 7:

 =10== :pulgar derecho (arriba) pulgar izquierdo: =10== ==9== :dedo índice derecho (arriba) dedo índice izquierdo: ==9== ==8== :dedo medio derecho (arriba)dedo medio izquierdo: --8---><---7-- :dedo anular derecho (ABAJO) dedo anular izquierdo: --7-- --6-- :dedo meñique derecho (ABAJO)dedo meñique izquierdo: --6-- (ABAJO)

Cinco dedos inferiores suman 5 decenas, o 50. Dos dedos superiores izquierdos y tres dedos superiores derechos forman el producto 6. Sumarlos produce la respuesta, 56.

Otro ejemplo, esta vez usando 6×8:

--8---><---6-- --7-- --6--

Cuatro decenas (abajo), más dos por cuatro (arriba) dan 40 + 2 × 4 = 48.

Así es como funciona: cada dedo representa un número entre 6 y 10. Cuando uno une los dedos que representan x e y , habrá 10 - x dedos "superiores" y x - 5 dedos "inferiores" en la mano izquierda; la mano derecha tendrá 10 − y dedos "superiores" y y − 5 dedos "inferiores".

Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}t_{L}&=10-x{\text{ (the number of ``top'' fingers on the left hand)}}\\t_{R}&=10-y{\text{ (the number of ``top'' fingers on the right hand)}}\\b_{L}&=x-5{\text{ (the number of ``bottom'' fingers on the left hand)}}\\b_{R}&=y-5{\text{ (the number of ``bottom'' fingers on the right hand)}}\end{aligned}}}$

Luego, seguir las instrucciones anteriores produce

${\displaystyle {\begin{aligned}&10(b_{L}+b_{R})+t_{L}t_{R}\\={}&10[(x-5)+(y-5)]+(10-x)(10-y)\\={}&10(x+y-10)+(100-10x-10y+xy)\\={}&[10(x+y)-100]+[100-10(x+y)+xy]\\={}&[10(x+y)-10(x+y)]+[100-100]+xy\\={}&xy\end{aligned}}}$

cuál es el producto deseado.

Multiplicar dos números cercanos y menores a 100

Esta técnica permite una fácil multiplicación de números cercanos y menores a 100.(90-99) ^[3] Las variables serán los dos números que uno multiplica.

El producto de dos variables que oscilan entre 90 y 99 dará como resultado un número de 4 dígitos. El primer paso es encontrar los dígitos de las unidades y las decenas.

Reste ambas variables de 100, lo que dará como resultado 2 números de un dígito. El producto de los 2 números de un dígito serán los dos últimos dígitos del producto final.

Luego, resta una de las dos variables de 100. Luego resta la diferencia de la otra variable. Esa diferencia serán los dos primeros dígitos del producto final, y el número de 4 dígitos resultante será el producto final.

Ejemplo:

 95 x97 ----Últimos dos dígitos: 100-95=5 (resta el primer número de 100) 100-97=3 (resta el segundo número de 100) 5*3=15 (multiplica las dos diferencias) Producto final- yx15Primeros dos dígitos: 100-95=5 (Reste el primer número de la ecuación de 100) 97-5=92 (Resta esa respuesta del segundo número de la ecuación) Ahora, la diferencia serán los dos primeros dígitos  Producto final: 9215Alternar para los dos primeros dígitos 5+3=8 (Suma los dos dígitos individuales derivados al calcular los "Últimos dos dígitos" en el paso anterior) 100-8=92 (Reste esa respuesta de 100) Ahora, la diferencia serán los dos primeros dígitos  Producto final: 9215

Usando números cuadrados

Los productos de números pequeños se pueden calcular utilizando los cuadrados de números enteros; por ejemplo, para calcular 13 × 17, se puede observar que 15 es la media de los dos factores y considerarlo como (15 − 2) × (15 + 2), es decir, 15 ²  − 2 ² . Sabiendo que 15 ² es 225 y 2 ² es 4, la resta simple muestra que 225 − 4 = 221, que es el producto deseado.

Este método requiere saberse de memoria un número determinado de cuadrados:

Números al cuadrado

Puede resultar útil tener en cuenta que la diferencia entre dos números cuadrados sucesivos es la suma de sus respectivas raíces cuadradas. Por lo tanto, si se sabe que 12 × 12 = 144 y se desea saber 13 × 13, se calcula 144 + 12 + 13 = 169.

Esto se debe a que ( x  + 1) ²  −  x ² = x ²  + 2 x  + 1 −  x ² = x  + ( x  + 1)

x ² = ( x  - 1) ² + (2 x  - 1)

elevar al cuadrado cualquier numero

Tome un número dado y súmele y réstele un valor determinado que hará que sea más fácil de multiplicar. Por ejemplo:

492 ²

492 está cerca de 500, por lo que es fácil multiplicarlo. Suma y resta 8 (la diferencia entre 500 y 492) para obtener

492 -> 484, 500

Multiplique estos números para obtener 242 000 (esto se puede hacer de manera eficiente dividiendo 484 por 2 = 242 y multiplicando por 1000). Finalmente, suma la diferencia (8) al cuadrado (8 ² = 64) al resultado:

492 ² = 242.064

La prueba es la siguiente:

${\displaystyle n^{2}=n^{2}}$

${\displaystyle n^{2}=(n^{2}-a^{2})+a^{2}}$

${\displaystyle n^{2}=(n^{2}-an+an-a^{2})+a^{2}}$

${\displaystyle n^{2}=(n-a)(n+a)+a^{2}}$

Cuadrar cualquier número entero de 2 dígitos

Este método requiere memorizar los cuadrados de los números de un dígito del 1 al 9.

El cuadrado de mn , siendo mn un número entero de dos dígitos, se puede calcular como

10 × m ( mn + n ) + n ²

Es decir, el cuadrado de mn se puede encontrar sumando n a mn , multiplicando por m , sumando 0 al final y finalmente sumando el cuadrado de n .

Por ejemplo, 23 ² :

23 ²

= 10 × 2(23 + 3) + 3 ²

= 10 × 2(26) + 9

= 520 + 9

= 529

Entonces 23 ² = 529.

elevar al cuadrado un numero terminado en 5

1. Tome los dígitos que preceden al cinco: abc5 , donde a, byc son dígitos
2. Multiplica este número por sí mismo más uno: abc ( abc + 1)
3. Tome el resultado anterior y adjunte 25 al final.
   • Ejemplo: 85 × 85
     1. 8
     2. 8 × 9 = 72
     3. Entonces, 85 ² = 7,225
   • Ejemplo: 125 ²
     1. 12
     2. 12 × 13 = 156
     3. Entonces, 125 ² = 15,625
   • Explicación matemática

Elevar números muy cercanos a 50

Supongamos que uno necesita elevar al cuadrado un número n cercano a 50.

El número se puede expresar como n  = 50 −  a por lo que su cuadrado es (50− a ) ² = 50 ² − 100 a + a ² . Se sabe que 50 ² es 2500. Entonces se resta 100 a de 2500 y luego se ^suma 2 .

Por ejemplo, digamos que uno quiere elevar al cuadrado 48, que es 50 − 2. Se resta 200 de 2500 y se suma 4, y se obtiene n ² = 2304. Para números mayores que 50 ( n  = 50 +  a ), se suma 100× a en su lugar. de restarlo.

Elevar al cuadrado un número entero de 26 a 74

Este método requiere la memorización de cuadrados del 1 al 24.

El cuadrado de n (que se calcula más fácilmente cuando n está entre 26 y 74 inclusive) es

(50 − norte ) ² + 100( norte − 25)

En otras palabras, el cuadrado de un número es el cuadrado de su diferencia de cincuenta sumado a cien veces la diferencia del número y veinticinco. Por ejemplo, al cuadrado 62:

(−12) ² + [(62-25) × 100]

= 144 + 3.700

= 3.844

Cuadrar un número entero cercano a 100 (por ejemplo, de 76 a 124)

Este método requiere la memorización de cuadrados del 1 al a donde a es la diferencia absoluta entre n y 100. Por ejemplo, los estudiantes que han memorizado sus cuadrados del 1 al 24 pueden aplicar este método a cualquier número entero del 76 al 124.

El cuadrado de n (es decir, 100 ± a ) es

100(100 ± 2 a ) + a ²

En otras palabras, el cuadrado de un número es el cuadrado de su diferencia de 100 sumado al producto de cien y la diferencia de cien y el producto de dos y la diferencia de cien y el número. Por ejemplo, al cuadrado 93:

100(100 − 2(7)) + 7 ²

= 100 × 86 + 49

= 8.600 + 49

= 8.649

Otra forma de verlo sería así:

93 ² = ? (es −7 de 100)

93 − 7 = 86 (esto da los dos primeros dígitos)

(−7) ² = 49 (estos son los dos segundos dígitos)

93 ² = 8649

Otro ejemplo:

82 2 = ? (es −18 de 100) 82 − 18 = 64 (resta. Primeros dígitos). (−18) 2 = 324 (segundo par de dígitos. Será necesario llevar el 3.) 82 2 = 6724

Cuadrar cualquier número entero cercano a 10^norte(p. ej., 976 a 1024, 9976 a 10024, etc.)

Este método es una extensión sencilla de la explicación dada anteriormente para elevar al cuadrado un número entero cercano a 100.

1012 2 = ? (1012 es +12 de 1000) (+12) 2 = 144 ( n dígitos finales) 1012 + 12 = 1024 (dígitos iniciales) 1012 2 = 1024144

9997 2 = ? (9997 es -3 de 10000) (-3) 2 = 0009 ( n dígitos finales) 9997 - 3 = 9994 (dígitos iniciales) 9997 2 = 99940009

Cuadrar cualquier número entero cercanometro ×10^norte(p. ej., 276 a 324, 4976 a 5024, 79976 a 80024)

Este método es una extensión sencilla de la explicación dada anteriormente para números enteros cercanos a 10 ⁿ .

407 2 = ? (407 es +7 de 400) (+7) 2 = 49 ( n dígitos finales) 407 + 7 = 414 414 × 4 = 1656 (dígitos iniciales; tenga en cuenta que esta multiplicación por m no fue necesaria para números enteros del 76 al 124 porque su m = 1) 407 2 = 165649

79991 2 = ? (79991 es -9 de 80000) (-9) 2 = 0081 ( n dígitos finales) 79991 - 9 79982 × 8 = 639856 (dígitos iniciales) 79991 2 = 6398560081

Encontrar raíces

Aproximar raíces cuadradas

Una forma sencilla de aproximar la raíz cuadrada de un número es utilizar la siguiente ecuación:

${\displaystyle {\text{root }}\simeq {\text{ known square root}}-{\frac {{\text{known square}}-{\text{unknown square}}}{2\times {\text{known square root}}}}\,}$

Cuanto más cerca esté el cuadrado conocido del desconocido, más precisa será la aproximación. Por ejemplo, para estimar la raíz cuadrada de 15, se podría comenzar sabiendo que el cuadrado perfecto más cercano es 16 (4 ² ).

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{root}}&\simeq 4-{\frac {16-15}{2\times 4}}\\&\simeq 4-0.125\\&\simeq 3.875\\\end{aligned}}\,\!}$

Entonces la raíz cuadrada estimada de 15 es 3,875. La raíz cuadrada real de 15 es 3,872983... Una cosa a tener en cuenta es que, sin importar cuál haya sido la suposición original, la respuesta estimada siempre será mayor que la respuesta real debido a la desigualdad de las medias aritméticas y geométricas . Por lo tanto, se debería intentar redondear la respuesta estimada hacia abajo.

Tenga en cuenta que si n ² es el cuadrado perfecto más cercano al cuadrado deseado x y d = x - n ² es su diferencia, es más conveniente expresar esta aproximación en forma de fracción mixta como . Así, en el ejemplo anterior, la raíz cuadrada de 15 es. Como otro ejemplo, la raíz cuadrada de 41 es mientras que el valor real es 6,4031... ${\displaystyle n{\tfrac {d}{2n}}}$ ${\displaystyle 4{\tfrac {-1}{8}}.}$ ${\displaystyle 6{\tfrac {5}{12}}=6.416}$

Puede simplificar el cálculo mental notar que este método es equivalente a la media del cuadrado conocido y el cuadrado desconocido, dividido por la raíz cuadrada conocida:

${\displaystyle {\text{root }}\simeq {\frac {{\text{mean}}({\text{known square}},{\text{unknown square}})}{\text{known square root}}}\,}$

Derivación

Por definición, si r es la raíz cuadrada de x, entonces

${\displaystyle \mathrm {r} ^{2}=x\,\!}$

Luego se redefine la raíz.

${\displaystyle \mathrm {r} =a-b\,\!}$

donde a es una raíz conocida (4 del ejemplo anterior) y b es la diferencia entre la raíz conocida y la respuesta que se busca.

${\displaystyle (a-b)^{2}=x\,\!}$

Mayores rendimientos

${\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}=x\,\!}$

Si 'a' está cerca del objetivo, 'b' será un número lo suficientemente pequeño como para hacer que el elemento de la ecuación sea insignificante. Por lo tanto, se puede abandonar y reorganizar la ecuación para ${\displaystyle {}+b^{2}\,}$ ${\displaystyle {}+b^{2}\,}$

${\displaystyle b\simeq {\frac {a^{2}-x}{2a}}\,\!}$

y por lo tanto

${\displaystyle \mathrm {root} \simeq a-{\frac {a^{2}-x}{2a}}\,\!}$

que se puede reducir a

${\displaystyle \mathrm {root} \simeq {\frac {a^{2}+x}{2a}}\,\!}$

Extrayendo raíces de poderes perfectos

A menudo se practica la extracción de raíces de poderes perfectos . La dificultad de la tarea no depende del número de dígitos de la potencia perfecta sino de la precisión, es decir, del número de dígitos de la raíz. Además, también depende del orden de la raíz; encontrar raíces perfectas, donde el orden de la raíz es coprimo con 10, es algo más fácil ya que los dígitos se mezclan de manera consistente, como en la siguiente sección.

Extrayendo raíces cúbicas

Una tarea fácil para el principiante es extraer raíces cúbicas de los cubos de números de 2 dígitos. Por ejemplo, dado 74088, determine qué número de dos dígitos, cuando se multiplica por sí mismo una vez y luego se multiplica por el número nuevamente, da 74088. Quien conozca el método sabrá rápidamente que la respuesta es 42, ya que 42 ³ = 74088.

Antes de aprender el procedimiento, se requiere que el ejecutante memorice los cubos de los números del 1 al 10:

Observa que hay un patrón en el dígito más a la derecha: sumar y restar con 1 o 3. Comenzando desde cero:

• 0 ³ = 0
• 1 ³ = 1 arriba 1
• 2 ³ = 8 abajo 3
• 3 ³ = 2 7 abajo 1
• 4 ³ = 6 4 abajo 3
• 5 ³ = 12 5 arriba 1
• 6 ³ = 21 6 arriba 1
• 7 ³ = 34 3 abajo 3
• 8 ³ = 51 2 abajo 1
• 9 ³ = 72 9 abajo 3
• 10 ³ = 100 0 hasta 1

Hay dos pasos para extraer la raíz cúbica del cubo de un número de dos dígitos. Por ejemplo, extrayendo la raíz cúbica de 29791. Determina la posición de las unidades (unidades) del número de dos dígitos. Como el cubo termina en 1, como se ve arriba, debe ser 1.

• Si el cubo perfecto termina en 0, su raíz cúbica debe terminar en 0.
• Si el cubo perfecto termina en 1, su raíz cúbica debe terminar en 1.
• Si el cubo perfecto termina en 2, su raíz cúbica debe terminar en 8.
• Si el cubo perfecto termina en 3, su raíz cúbica debe terminar en 7.
• Si el cubo perfecto termina en 4, su raíz cúbica debe terminar en 4.
• Si el cubo perfecto termina en 5, su raíz cúbica debe terminar en 5.
• Si el cubo perfecto termina en 6, su raíz cúbica debe terminar en 6.
• Si el cubo perfecto termina en 7, su raíz cúbica debe terminar en 3.
• Si el cubo perfecto termina en 8, su raíz cúbica debe terminar en 2.
• Si el cubo perfecto termina en 9, su raíz cúbica debe terminar en 9.

Tenga en cuenta que cada dígito se corresponde a sí mismo excepto 2, 3, 7 y 8, que simplemente se restan de diez para obtener el dígito correspondiente.

El segundo paso es determinar el primer dígito de la raíz cúbica de dos dígitos observando la magnitud del cubo dado. Para hacer esto, elimine los últimos tres dígitos del cubo dado (29791 → 29) y encuentre el cubo más grande que es mayor (aquí es donde es necesario conocer los cubos de los números del 1 al 10). Aquí, 29 es mayor que 1 al cubo, mayor que 2 al cubo, mayor que 3 al cubo, pero no mayor que 4 al cubo. El cubo más grande que es mayor es 3, por lo que el primer dígito del cubo de dos dígitos debe ser 3.

Por lo tanto, la raíz cúbica de 29791 es 31.

Otro ejemplo:

• Encuentra la raíz cúbica de 456533.
• La raíz cúbica termina en 7.
• Después de quitar los últimos tres dígitos, queda 456.
• 456 es mayor que todos los cubos hasta 7 al cubo.
• El primer dígito de la raíz cúbica es 7.
• La raíz cúbica de 456533 es 77.

Este proceso se puede ampliar para encontrar raíces cúbicas de 3 dígitos, utilizando el módulo aritmético 11. ^[4]

Este tipo de trucos se pueden utilizar en cualquier raíz donde el orden de la raíz sea coprimo con 10; por lo tanto, no funciona con la raíz cuadrada, ya que la potencia, 2, divide a 10. 3 no divide a 10, por lo que las raíces cúbicas funcionan.

Aproximar la quinta raíz usando log10

Pasos:

1. **Aislando el logaritmo:**

 log_{10}(x^5) = log_{10}(12300)

2. **Regla de potencia de los logaritmos:**

 5 log_{10}(x) = log_{10}(12300)

3. **Estimando log10(12300) usando la tabla:**

 - 12300 está entre 10^4 (10000) y 5^6 (15625). - De la tabla, log10(10000) = 4 y log10(15625) ≈ 6 * log10(5) ≈ 4,2. - Por lo tanto, log10(12300) se encuentra entre 4 y 4,2.

4. **Resolver para x:**

 5 log_{10}(x) ≈ 4,1 Dividir por 5 (introduciendo una aproximación): log_{10}(x) ≈ 4.1 / 5

5. **Aproximación de x (dos enfoques):**

 **Enfoque A (Conservador):** - Dividir por un valor ligeramente superior a 5 para tener en cuenta la subestimación: log_{10}(x) ≈ 4,1 / 5,25 ≈ 0,78 - Estimar x: x ≈ 10^0,78 ≈ 6,1

 **Enfoque B (Considerando la subestimación):** - log10(0,78) es el más cercano a log10(6). - Supongamos que log10(x) está más cerca de 0,8 (entre log10(6) y log10(7)). - Dividir 4,1 entre 5: log_{10}(x) ≈ 4,1 / 5 ≈ 0,82 - Estimar x: x ≈ 10^0,82 ≈ 6,6

6. **Aproximación final:**

 - Enfoque A: x ≈ 6,1 (más conservador) - Enfoque B: x ≈ 6,6 (podría estar más cerca del valor real)

• • Nota:** Ambos enfoques proporcionan aproximaciones debido al efecto acumulativo de las estimaciones. El valor real de x se encuentra entre 6,1 y 6,6.

Aproximación de logaritmos comunes (log base 10)

Para aproximar un logaritmo común (con una precisión de al menos un punto decimal), se requieren algunas reglas de logaritmos y la memorización de algunos logaritmos. Hay que saber:

• Iniciar sesión (a × b) = Iniciar sesión (a) + Iniciar sesión (b)
• registro(a/b) = registro(a) - registro(b)
• registro (0) no existe
• registro(1) = 0
• registro(2) ~ .30
• registro(3) ~ .48
• registro(7) ~ .85

A partir de esta información, se puede encontrar el logaritmo de cualquier número del 1 al 9.

• registro(1) = 0
• registro(2) ~ .30
• registro(3) ~ .48
• registro(4) = registro(2 × 2) = registro(2) + registro(2) ~ .60
• log(5) = log(10 / 2) = log(10) − log(2) ~ .70
• registro(6) = registro(2 × 3) = registro(2) + registro(3) ~ .78
• registro(7) ~ .85
• log(8) = log(2 × 2 × 2) = log(2) + log(2) + log(2) ~ .90
• registro(9) = registro(3 × 3) = registro(3) + registro(3) ~ .96
• registro(10) = 1 + registro(1) = 1

El primer paso para aproximar el logaritmo común es poner el número dado en notación científica. Por ejemplo, el número 45 en notación científica es 4,5 × 10 ¹ , pero lo llamaremos a × 10 ^b . Luego, encuentra el logaritmo de a, que está entre 1 y 10. Comienza encontrando el logaritmo de 4, que es 0,60, y luego el logaritmo de 5, que es 0,70 porque 4,5 está entre estos dos. A continuación, y la habilidad en esto viene con la práctica, coloque un 5 en una escala logarítmica entre .6 y .7, en algún lugar alrededor de .653 (NOTA: el valor real de los lugares adicionales siempre será mayor que si se colocara en una escala regular). escala, es decir, uno esperaría que fuera a .650 porque está a la mitad, pero en cambio, será un poco más grande, en este caso, .653) Una vez que haya obtenido el logaritmo de a, simplemente agregue b. obtener la aproximación del logaritmo común. En este caso, a + b = 0,653 + 1 = 1,653. El valor real de log(45) ~ 1,65321.

El mismo proceso se aplica a los números entre 0 y 1. Por ejemplo, 0,045 se escribiría como 4,5 × 10 ⁻² . La única diferencia es que b ahora es negativo, por lo que al sumar uno en realidad se está restando. Esto daría como resultado 0,653 − 2 o −1,347.

La aritmética mental como habilidad psicológica.

Un esfuerzo físico del nivel adecuado puede conducir a un aumento en el rendimiento de una tarea mental , como hacer cálculos mentales, realizada posteriormente. ^[5] Se ha demostrado que durante niveles elevados de actividad física hay un efecto negativo en el rendimiento de las tareas mentales. ^[6] Esto significa que demasiado trabajo físico puede disminuir la precisión y el rendimiento de los cálculos matemáticos mentales. Se ha demostrado que las medidas fisiológicas , específicamente el EEG , son útiles para indicar la carga de trabajo mental . ^[7] El uso de un EEG como medida de la carga de trabajo mental después de diferentes niveles de actividad física puede ayudar a determinar el nivel de esfuerzo físico que será más beneficioso para el rendimiento mental. Un trabajo anterior realizado en la Universidad Tecnológica de Michigan por Ranjana Mehta incluye un estudio reciente en el que participantes participaron en tareas físicas y mentales simultáneas. ^[8] Este estudio investigó los efectos de las demandas mentales sobre el rendimiento físico en diferentes niveles de esfuerzo físico y finalmente encontró una disminución en el rendimiento físico cuando las tareas mentales se completaron al mismo tiempo, con un efecto más significativo en el nivel más alto de carga de trabajo físico. El procedimiento de Brown-Peterson es una tarea ampliamente conocida que utiliza aritmética mental. Este procedimiento, utilizado principalmente en experimentos cognitivos , sugiere que la resta mental es útil para probar los efectos que el ensayo de mantenimiento puede tener sobre la duración de la memoria a corto plazo .

Campeonato Mundial de Cálculo Mental

El primer Campeonato Mundial de Cálculo Mental tuvo lugar en 1998. Este evento se repite todos los años y ahora se realiza en línea. Consiste en una variedad de tareas diferentes, como suma, resta, multiplicación, división, raíces cuadradas irracionales y exactas, raíces cúbicas y raíces más profundas, factorizaciones, fracciones y fechas del calendario. ^[9]

Copa del Mundo de Cálculo Mental

La primera Copa del Mundo de Cálculo Mental ( Mental Calculation World Cup ) ^[10] tuvo lugar en el año 2004. Es una competición presencial que se realiza cada dos años en Alemania. Consta de cuatro tareas estándar diferentes: suma de diez números de diez dígitos, multiplicación de dos números de ocho dígitos, cálculo de raíces cuadradas y cálculo de días de la semana para fechas determinadas, además de una variedad de "sorpresas". tareas. ^[11]

Memoriad – Olimpíadas Mundiales de Memoria, Cálculo Mental y Lectura Rápida

La primera Memoriad internacional se celebró en Estambul , Turquía, en 2008. La segunda Memoriad tuvo lugar en Antalya , Turquía, del 24 al 25 de noviembre de 2012. Participaron 89 competidores de 20 países. Se entregaron premios y premios en metálico para 10 categorías en total; de las cuales 5 categorías tenían que ver con Cálculo Mental (Suma Mental, Multiplicación Mental, Raíces Cuadradas Mentales (no enteras), Cálculo de Fechas del Calendario Mental y Flash Anzan). La tercera Memoriad se llevó a cabo en Las Vegas, EE. UU., del 8 de noviembre de 2016 al 10 de noviembre de 2016.

Ver también

• Regla del fin del mundo para calcular el día de la semana.
• ábaco mental
• calculadora mental
• Sorobán

Notas

1. Tenga en cuenta que estos números de un solo dígito son en realidad los restos con los que uno terminaría si dividiera los operandos originales por 9, es decir, cada uno es el resultado de su operando asociado mod 9 .

Referencias

1. Cheprasov, Artem (3 de septiembre de 2009). Sobre un nuevo método de multiplicación y atajos. Estados Unidos: Plataforma de publicación independiente CreateSpace. ISBN 9781448689330.
2. "En el expediente con ... Artem Cheprasov". Heraldo del Noroeste . Archivado desde el original el 15 de enero de 2011 . Consultado el 1 de junio de 2015 .
3. multiplicar dos números cercanos, por debajo de 100
4. Dorrell, Felipe. "Cómo hacer raíces cúbicas de números de 9 dígitos en tu cabeza". Pensando mucho . Consultado el 19 de julio de 2015 .
5. Lambourne, Kate; Tomporowski, Phillip (2010). "El efecto de la excitación inducida por el ejercicio sobre el desempeño de tareas cognitivas: un análisis de metarregresión". Investigación del cerebro . 1341 : 12-24. doi :10.1016/j.brainres.2010.03.091. PMID  20381468. S2CID  206324098.
6. Brisswalter, J.; Arcelín, R.; Audiffren, M.; Delignières, D. (1997). "Influencia del ejercicio físico en el tiempo de reacción simple: efecto de la aptitud física". Habilidades Perceptuales y Motoras . 85 (3): 1019–27. doi :10.2466/pms.1997.85.3.1019. PMID  9399313. S2CID  30781628.
7. Murata, Atsuo (2005). "Un intento de evaluar la carga de trabajo mental mediante la transformada Wavelet del EEG". Factores humanos: revista de la sociedad de factores humanos y ergonomía . 47 (3): 498–508. doi :10.1518/001872005774860096. PMID  16435692. S2CID  25313835.
8. Mehta, Ranjana K.; Nussbaum, Maury A.; Agnew, Michael J. (2012). "Respuestas dependientes de los músculos y las tareas a la carga de trabajo física y mental concurrente durante el trabajo estático intermitente". Ergonomía . 55 (10): 1166–79. doi :10.1080/00140139.2012.703695. PMID  22849301. S2CID  38648671.
9. https://worldmentalcalculation.com/mental-calculations-world-championship/
10. "Copa del mundo de cálculo mental: el campeonato mundial de calculadoras mentales". www.recordholders.org .
11. https://www.recordholders.org/en/events/worldcup/

enlaces externos

• Copa del Mundo de Cálculo Mental
• Memoriad - Olimpiadas Mundiales Mentales
• Tzourio-Mazoyer, Nathalie; Pesenti, Mauro; Zago, Laure; Crivello, Fabrice; Mellet, Emmanuel; Sansón, Dana; Duroux, Bruno; Serón, Xavier; Mazoyer, Bernard (2001). "El cálculo mental en un prodigio se sustenta en las áreas temporal medial y prefrontal derecha". Neurociencia de la Naturaleza . 4 (1): 103–7. doi :10.1038/82831. PMID  11135652. S2CID  23829063.
• Rivera, SM; Reiss, AL; Eckert, MA; Menón, V (2005). "Cambios en el desarrollo de la aritmética mental: evidencia de una mayor especialización funcional en la corteza parietal inferior izquierda". Corteza cerebral . 15 (11): 1779–90. doi : 10.1093/cercor/bhi055 . PMID  15716474.