La lógica conexiva es una clase de lógicas no clásicas diseñadas para excluir las paradojas de la implicación material . La característica que separa a la lógica conexiva de otras lógicas no clásicas es su aceptación de la tesis de Aristóteles , es decir, la fórmula, como una verdad lógica . La tesis de Aristóteles afirma que ningún enunciado se sigue de su propia negación. Las lógicas conexivas más fuertes también aceptan la tesis de Boecio , que afirma que si un enunciado implica una cosa, no implica su opuesto.
La lógica de relevancia es otra teoría lógica que intenta evitar las paradojas de la implicación material.
La lógica conexiva es, sin duda, uno de los enfoques más antiguos de la lógica. La tesis de Aristóteles lleva el nombre de Aristóteles porque utiliza este principio en un pasaje de los Analíticos Primeros .
Es imposible que una misma cosa sea necesaria por el ser y el no ser de una misma cosa. Quiero decir, por ejemplo, que es imposible que B sea necesariamente grande si A es blanca, y que B sea necesariamente grande si A no es blanca. Pues si B no es grande, A no puede ser blanca. Pero si, cuando A no es blanca, es necesario que B sea grande, resulta necesariamente que si B no es grande, B mismo es grande. Pero esto es imposible .
El sentido de este pasaje es realizar una prueba por reducción al absurdo de la afirmación de que dos fórmulas, (A → B) y (~A → B), pueden ser verdaderas simultáneamente. La prueba es:
Aristóteles declara entonces que la última línea es imposible, completando así el reductio . Pero si es imposible, su negación, ~(~B → B), es una verdad lógica.
Los silogismos aristotélicos (a diferencia de los silogismos booleanos) parecen basarse en principios conectivos. Por ejemplo, la contrariedad de los enunciados A y E, “Todos los S son P” y “Ningún S es P”, se deduce de un argumento de reductio ad absurdum similar al propuesto por Aristóteles.
Se cree que los lógicos posteriores, en particular Crisipo , también respaldaron los principios conectivos. Hacia el año 100 a. C., los lógicos se habían dividido en cuatro o cinco escuelas distintas en relación con la correcta interpretación de las afirmaciones condicionales ("si... entonces..."). Sexto Empírico describió una de las escuelas de la siguiente manera:
Y quienes introducen la noción de conexión dicen que un condicional es válido cuando lo contradictorio de su consecuente es incompatible con su antecedente.
El término "conexivismo" se deriva de este pasaje (según la traducción de Kneale y Kneale).
Se cree que Sexto estaba describiendo aquí la escuela de Crisipo. Que esta escuela aceptara la tesis de Aristóteles parece claro porque la definición del condicional,
requiere que la tesis de Aristóteles sea una verdad lógica, siempre que supongamos que cada enunciado es compatible consigo mismo, lo que parece bastante fundamental para el concepto de compatibilidad.
El filósofo medieval Boecio también aceptó los principios conexivos. En De Syllogismo Hypothetico , sostiene que de «Si A, entonces si B entonces C» y «Si B entonces no-C», podemos inferir «no-A», por modus tollens . Sin embargo, esto sólo se sigue si las dos afirmaciones, «Si B entonces C» y «Si B entonces no-C», se consideran incompatibles.
Dado que la lógica aristotélica fue la lógica estándar estudiada hasta el siglo XIX, podría afirmarse razonablemente que la lógica conexiva fue la escuela de pensamiento aceptada entre los lógicos durante la mayor parte de la historia occidental. (Por supuesto, los lógicos no eran necesariamente conscientes de pertenecer a la escuela conexivista). Sin embargo, en el siglo XIX los silogismos booleanos y una lógica proposicional basada en funciones de verdad se convirtieron en el estándar. Desde entonces, relativamente pocos lógicos se han adherido al conexivismo. Estos pocos incluyen a Everett J. Nelson y PF Strawson .
La objeción que se hace a la definición veritativo-funcional de los condicionales es que no hay ningún requisito de que el consecuente se siga realmente del antecedente. Mientras el antecedente sea falso o el consecuente verdadero, el condicional se considera verdadero independientemente de que haya alguna relación entre el antecedente y el consecuente o no. Por tanto, como señaló una vez el filósofo Charles Sanders Peirce , se puede cortar un periódico, frase por frase, poner todas las frases en un sombrero y sacar dos al azar. Está garantizado que la primera frase implicará la segunda, o viceversa. Pero cuando utilizamos las palabras "si" y "entonces" generalmente queremos afirmar que existe alguna relación entre el antecedente y el consecuente. ¿Cuál es la naturaleza de esa relación? Los lógicos de la relevancia (o relevantes) adoptan la opinión de que, además de decir que el consecuente no puede ser falso mientras que el antecedente sea verdadero, el antecedente debe ser "relevante" para el consecuente. Al menos inicialmente, esto significa que debe haber al menos algunos términos (o variables) que aparezcan tanto en el antecedente como en el consecuente. Los conexivistas generalmente afirman, en cambio, que debe haber alguna "conexión real" entre el antecedente y el consecuente, como podría ser el resultado de relaciones de inclusión de clase reales. Por ejemplo, las relaciones de clase, "Todos los hombres son mortales", proporcionarían una conexión real que justificaría el condicional, "Si Sócrates es un hombre, entonces Sócrates es mortal". Sin embargo, conexiones más remotas, por ejemplo "Si ella le pidió disculpas, entonces él me mintió" (sugerida por Bennett ) todavía desafían el análisis conexivista.
