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Límite de teoría de conjuntos

En matemáticas , el límite de una secuencia de conjuntos ( subconjuntos de un conjunto común ) es un conjunto cuyos elementos están determinados por la secuencia de una de dos maneras equivalentes: (1) por límites superior e inferior en la secuencia que convergen monótonamente al mismo conjunto (análogo a la convergencia de secuencias de valores reales ) y (2) por convergencia de una secuencia de funciones indicadoras que son en sí mismas de valores reales . Como es el caso con las secuencias de otros objetos, la convergencia no es necesaria ni siquiera habitual.

En términos más generales, nuevamente de manera análoga a las secuencias de valores reales, el límite ínfimo y el límite supremo menos restrictivos de una secuencia de conjuntos siempre existen y pueden usarse para determinar la convergencia: el límite existe si el límite ínfimo y el límite supremo son idénticos (véase más abajo). Dichos límites de conjuntos son esenciales en la teoría de la medida y la probabilidad .

Es un error común pensar que los límites ínfimo y supremo descritos aquí implican conjuntos de puntos de acumulación, es decir, conjuntos de dónde se encuentra cada uno en algún Esto solo es cierto si la convergencia está determinada por la métrica discreta (es decir, si existe tal que para todo ). Este artículo se limita a esa situación, ya que es la única relevante para la teoría de la medida y la probabilidad. Véanse los ejemplos a continuación. (Por otro lado, existen nociones topológicas más generales de convergencia de conjuntos que sí implican puntos de acumulación bajo diferentes métricas o topologías ).

Definiciones

Las dos definiciones

Supongamos que es una secuencia de conjuntos. Las dos definiciones equivalentes son las siguientes.

Para ver la equivalencia de las definiciones, considere el límite ínfimo. El uso de la ley de De Morgan a continuación explica por qué esto es suficiente para el límite supremo. Dado que las funciones indicadoras solo toman valores y si y solo si toma valor solo un número finito de veces. Equivalentemente, si y solo si existe tal que el elemento está en para cada lo que es decir si y solo si solo para un número finito Por lo tanto, está en el si y solo si está en todos excepto un número finito Por esta razón, una frase abreviada para el límite ínfimo es " está en todos excepto un número finito de veces", que normalmente se expresa escribiendo " abfo".

De manera similar, un elemento está en el límite supremo si, sin importar cuán grande sea, existe tal que el elemento esté en Es decir, está en el límite supremo si y solo si está en infinitos. Por esta razón, una frase abreviada para el límite supremo es " está en infinitas veces", típicamente expresada escribiendo " io".

Para decirlo de otra manera, el límite ínfimo consiste en elementos que "finalmente permanecen para siempre" (están en cada conjunto después de algún ), mientras que el límite supremo consiste en elementos que "nunca se van para siempre" (están en algún conjunto después de cada ). O más formalmente:

Secuencias monótonas

Se dice que la sucesión es no creciente si para cada y no decreciente si para cada En cada uno de estos casos existe el límite establecido. Consideremos, por ejemplo, una sucesión no creciente Entonces De estos se sigue que De manera similar, si es no decreciente entonces

El conjunto de Cantor se define de esta manera.

Propiedades

Ejemplos

y así existe.

y por lo tanto no existe, a pesar de que los extremos izquierdo y derecho de los intervalos convergen a 0 y 1, respectivamente.

es el conjunto de todos los números racionales entre 0 y 1 (inclusive), ya que incluso para y es un elemento de los anteriores. Por lo tanto, Por otra parte, lo que implica En este caso, la sucesión no tiene límite. Nótese que no es el conjunto de puntos de acumulación, que sería todo el intervalo (según la métrica euclidiana habitual ).

Usos de probabilidad

Los límites de los conjuntos, en particular el límite ínfimo y el límite supremo, son esenciales para la teoría de la probabilidad y la medida . Dichos límites se utilizan para calcular (o demostrar) las probabilidades y medidas de otros conjuntos más útiles. Para lo siguiente, es un espacio de probabilidad , lo que significa que es una σ-álgebra de subconjuntos de y es una medida de probabilidad definida en esa σ-álgebra. Los conjuntos en la σ-álgebra se conocen como eventos .

Si es una secuencia monótona de eventos en entonces existe y

Lemas de Borel-Cantelli

En probabilidad, los dos lemas de Borel-Cantelli pueden ser útiles para mostrar que el límite superior de una secuencia de eventos tiene probabilidad igual a 1 o a 0. El enunciado del primer lema de Borel-Cantelli (original) es

Primer lema de Borel-Cantelli  :  Si entonces

El segundo lema de Borel-Cantelli es una conversa parcial:

Segundo lema de Borel-Cantelli  :  Si son eventos independientes y entonces

Convergencia casi segura

Una de las aplicaciones más importantes de la probabilidad es demostrar la convergencia casi segura de una secuencia de variables aleatorias . El evento de que una secuencia de variables aleatorias converja a otra variable aleatoria se expresa formalmente como Sin embargo, sería un error escribir esto simplemente como un complemento de eventos. Es decir, ¡este no es el evento ! En cambio, el complemento del evento es Por lo tanto,

Véase también

Referencias

  1. ^ ab Resnick, Sidney I. (1998). Un camino de probabilidad . Boston: Birkhäuser. ISBN 3-7643-4055-X.
  2. ^ Gut, Allan (2013). Probabilidad: un curso de posgrado: un curso de posgrado. Springer Texts in Statistics. Vol. 75. Nueva York, NY: Springer New York. doi :10.1007/978-1-4614-4708-5. ISBN 978-1-4614-4707-8.