Distribución de Marchenko-Pastur

Distribución de valores singulares de matrices aleatorias rectangulares grandes

Gráfico de la distribución de Marchenko-Pastur para varios valores de lambda

En la teoría matemática de matrices aleatorias , la distribución de Marchenko-Pastur , o ley de Marchenko-Pastur , describe el comportamiento asintótico de valores singulares de matrices aleatorias rectangulares grandes . El teorema recibe su nombre de los matemáticos soviéticos Volodymyr Marchenko y Leonid Pastur, quienes demostraron este resultado en 1967.

Si denota una matriz aleatoria cuyas entradas son variables aleatorias independientes distribuidas de forma idéntica con media 0 y varianza , sea ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}<\infty }$

${\displaystyle Y_{n}={\frac {1}{n}}XX^{T}}$

y sean los valores propios de (considerados como variables aleatorias ). Finalmente, considere la medida aleatoria ${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\dots ,\,\lambda _{m}}$ ${\displaystyle Y_{n}}$

${\displaystyle \mu _{m}(A)={\frac {1}{m}}\#\left\{\lambda _{j}\in A\right\},\quad A\subset \mathbb {R} .}$

contando el número de valores propios en el subconjunto incluido en . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Teorema . ^{[ cita requerida ]} Supóngase que de modo que la razón . Entonces (en topología débil* en distribución ), donde ${\displaystyle m,\,n\,\to \,\infty }$ ${\displaystyle m/n\,\to \,\lambda \in (0,+\infty )}$ ${\displaystyle \mu _{m}\,\to \,\mu }$

${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}(1-{\frac {1}{\lambda }})\mathbf {1} _{0\in A}+\nu (A),&{\text{if }}\lambda >1\\\nu (A),&{\text{if }}0\leq \lambda \leq 1,\end{cases}}}$

y

${\displaystyle d\nu (x)={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}{\frac {\sqrt {(\lambda _{+}-x)(x-\lambda _{-})}}{\lambda x}}\,\mathbf {1} _{x\in [\lambda _{-},\lambda _{+}]}\,dx}$

con

${\displaystyle \lambda _{\pm }=\sigma ^{2}(1\pm {\sqrt {\lambda }})^{2}.}$

La ley de Marchenko-Pastur también surge como la ley de Poisson libre en la teoría de probabilidad libre, que tiene una tasa y un tamaño de salto . ${\displaystyle 1/\lambda }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

Momentos

Para cada , su momento -ésimo es ^[1] ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle \sum _{r=0}^{k-1}{\frac {\sigma ^{2k}}{r+1}}{\binom {k}{r}}{\binom {k-1}{r}}\lambda ^{r}={\frac {\sigma ^{2k}}{k}}\sum _{r=0}^{k-1}{\binom {k}{r}}{\binom {k}{r+1}}\lambda ^{r}}$$

Algunas transformaciones de esta ley

La transformada de Stieltjes viene dada por

${\displaystyle s(z)={\frac {\sigma ^{2}(1-\lambda )-z+{\sqrt {(z-\sigma ^{2}(\lambda +1))^{2}-4\lambda \sigma ^{4}}}}{2\lambda z\sigma ^{2}}}}$

para números complejos z de parte imaginaria positiva, donde la raíz cuadrada compleja también se considera que tiene parte imaginaria positiva. ^[2] La transformada de Stieltjes se puede reempaquetar en la forma de la transformada R, que se da por ^[3]

${\displaystyle R(z)={\frac {\sigma ^{2}}{1-\sigma ^{2}\lambda z}}}$

La transformada S está dada por ^[3]

${\displaystyle S(z)={\frac {1}{\sigma ^{2}(1+\lambda z)}}.}$

Aplicación a matrices de correlación

Para el caso especial de matrices de correlación, sabemos que y . Esto limita la masa de probabilidad en el intervalo definido por ${\displaystyle \sigma ^{2}=1}$ ${\displaystyle \lambda =m/n}$

${\displaystyle \lambda _{\pm }=\left(1\pm {\sqrt {\frac {m}{n}}}\right)^{2}.}$

Dado que esta distribución describe el espectro de matrices aleatorias con media 0, los valores propios de las matrices de correlación que se encuentren dentro del intervalo mencionado podrían considerarse espurios o ruido. Por ejemplo, obtener una matriz de correlación de 10 retornos de acciones calculados durante un período de 252 días de negociación arrojaría . Por lo tanto, de 10 valores propios de dicha matriz de correlación, solo los valores superiores a 1,43 se considerarían significativamente diferentes de lo aleatorio. ${\displaystyle \lambda _{+}=\left(1+{\sqrt {\frac {10}{252}}}\right)^{2}\approx 1.43}$

Véase también

• Distribución de semicírculo de Wigner
• Distribución de Tracy-Widom

Referencias

1. Bai y Silverstein 2010, Sección 3.1.1.
2. Bai y Silverstein 2010, Sección 3.3.1.
3. Tulino & Verdú 2004, Sección 2.2.

• Bai, Zhidong; Silverstein, Jack W. (2010). Análisis espectral de matrices aleatorias de gran dimensión . Springer Series in Statistics (segunda edición de la edición original de 2006). Nueva York: Springer . doi :10.1007/978-1-4419-0661-8. ISBN . 978-1-4419-0660-1.MR 2567175.Zbl 1301.60002  . ​
• Epps, Brenden; Krivitzky, Eric M. (2019). "Descomposición en valores singulares de datos ruidosos: corrupción de modos". Experimentos en fluidos . 60 (8): 1–30. Bibcode :2019ExFl...60..121E. doi :10.1007/s00348-019-2761-y. S2CID  198436243.
• Götze, F.; Tikhomirov, A. (2004). "Tasa de convergencia en probabilidad a la ley de Marchenko–Pastur". Bernoulli . 10 (3): 503–548. doi : 10.3150/bj/1089206408 .
• Marchenko, VA; Pastur, Luisiana (1967). "Распределение собственных значений в некоторых ансамблях случайных матриц" [Distribución de valores propios para algunos conjuntos de matrices aleatorias]. Estera. SB. NS (en ruso). 72 (114:4): 507–536. Código Bib : 1967SbMat...1..457M. doi :10.1070/SM1967v001n04ABEH001994.Enlace a la versión rusa en formato PDF de libre acceso
• Nica, A.; Speicher, R. (2006). Lecciones sobre la combinatoria de la teoría de la probabilidad libre . Cambridge Univ. Press. pp. 204, 368. ISBN 0-521-85852-6.Enlace a descarga gratuita Otro sitio de acceso gratuito
• Tulino, Antonia M. ; Verdú, Sergio (2004). "Teoría de matrices aleatorias y comunicaciones inalámbricas". Fundamentos y tendencias en teoría de las comunicaciones y la información . 1 (1): 1–182. doi :10.1561/0100000001. Zbl  1143.94303.
• Zhang, W.; Abreu, G.; Inamori, M.; Sanada, Y. (2011). "Algoritmos de detección de espectro mediante matrices aleatorias finitas". IEEE Transactions on Communications . 60 (1): 164–175. doi :10.1109/TCOMM.2011.112311.100721. S2CID  206642535.