Límites de Welch

En matemáticas , los límites de Welch son una familia de desigualdades pertinentes al problema de distribuir uniformemente un conjunto de vectores unitarios en un espacio vectorial . Los límites son herramientas importantes en el diseño y análisis de ciertos métodos en ingeniería de telecomunicaciones , particularmente en teoría de codificación . Los límites fueron publicados originalmente en un artículo de 1974 por LR Welch . ^[1]

Enunciado matemático

Si son vectores unitarios en , defina , donde es el producto interno habitual en . Entonces, las siguientes desigualdades son válidas para : Los límites de Welch también se expresan a veces en términos de la superposición al cuadrado promedio entre el conjunto de vectores. En este caso, se tiene la desigualdad ^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{m}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle c_{\max }=\max _{i\neq j}|\langle x_{i},x_{j}\rangle |}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle k=1,2,\dots }$ $${\displaystyle (c_{\max })^{2k}\geq {\frac {1}{m-1}}\left[{\frac {m}{\binom {n+k-1}{k}}}-1\right].}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{m^{2}}}\sum _{i,j=1}^{m}|\langle x_{i},x_{j}\rangle |^{2k}\geq {\frac {1}{\binom {n+k-1}{k}}}.}$$

Aplicabilidad

Si , entonces los vectores pueden formar un conjunto ortonormal en . En este caso, y los límites son vacíos. En consecuencia, la interpretación de los límites solo tiene sentido si . Esto se supondrá en el resto de este artículo. ${\displaystyle m\leq n}$ ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle c_{\max }=0}$ ${\displaystyle m>n}$

Prueba dea= 1

El "primer límite de Welch", correspondiente a , es con diferencia el más utilizado en aplicaciones. Su demostración se realiza en dos pasos, cada uno de los cuales depende de una desigualdad matemática más básica. El primer paso invoca la desigualdad de Cauchy-Schwarz y comienza considerando la matriz de Gram de los vectores ; es decir, ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle m\times m}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{x_{i}\}}$

${\displaystyle G=\left[{\begin{array}{ccc}\langle x_{1},x_{1}\rangle &\cdots &\langle x_{1},x_{m}\rangle \\\vdots &\ddots &\vdots \\\langle x_{m},x_{1}\rangle &\cdots &\langle x_{m},x_{m}\rangle \end{array}}\right]}$

La traza de es igual a la suma de sus valores propios. Debido a que el rango de es como máximo , y es una matriz semidefinida positiva , tiene como máximo valores propios positivos con sus valores propios restantes todos iguales a cero. Escribiendo los valores propios distintos de cero de como con y aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz al producto interno de un -vector de unos con un vector cuyos componentes son estos valores propios se obtiene ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r}}$ ${\displaystyle r\leq n}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle (\mathrm {Tr} \;G)^{2}=\left(\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}\right)^{2}\leq r\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}^{2}\leq n\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}^{2}}$

El cuadrado de la norma de Frobenius (norma de Hilbert-Schmidt) de satisface ${\displaystyle G}$

${\displaystyle ||G||^{2}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}|\langle x_{i},x_{j}\rangle |^{2}=\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}^{2}}$

Tomando esto junto con la desigualdad anterior obtenemos

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}|\langle x_{i},x_{j}\rangle |^{2}\geq {\frac {(\mathrm {Tr} \;G)^{2}}{n}}}$

Como cada uno tiene longitud unitaria, los elementos en la diagonal principal de son unos, y por lo tanto su traza es . Entonces, ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {Tr} \;G=m}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}|\langle x_{i},x_{j}\rangle |^{2}=m+\sum _{i\neq j}|\langle x_{i},x_{j}\rangle |^{2}\geq {\frac {m^{2}}{n}}}$

o

${\displaystyle \sum _{i\neq j}|\langle x_{i},x_{j}\rangle |^{2}\geq {\frac {m(m-n)}{n}}}$

La segunda parte de la prueba utiliza una desigualdad que abarca la simple observación de que el promedio de un conjunto de números no negativos no puede ser mayor que el número más grande del conjunto. En notación matemática, si para , entonces ${\displaystyle a_{\ell }\geq 0}$ ${\displaystyle \ell =1,\ldots ,L}$

${\displaystyle {\frac {1}{L}}\sum _{\ell =1}^{L}a_{\ell }\leq \max a_{\ell }}$

La expresión anterior tiene términos no negativos en la suma, el mayor de los cuales es . Por lo tanto, ${\displaystyle m(m-1)}$ ${\displaystyle c_{\max }^{2}}$

${\displaystyle (c_{\max })^{2}\geq {\frac {1}{m(m-1)}}\sum _{i\neq j}|\langle x_{i},x_{j}\rangle |^{2}\geq {\frac {m-n}{n(m-1)}}}$

o

${\displaystyle (c_{\max })^{2}\geq {\frac {m-n}{n(m-1)}}}$

que es precisamente la desigualdad dada por Welch en el caso de que . ${\displaystyle k=1}$

Alcanzando los límites de Welch

En ciertas aplicaciones de telecomunicaciones, es deseable construir conjuntos de vectores que cumplan con los límites de Welch con igualdad. Se han introducido varias técnicas para obtener los denominados conjuntos de vectores de igualdad de límites de Welch (WBE) para el límite. ${\displaystyle k=1}$

La prueba dada anteriormente muestra que dos desigualdades matemáticas separadas se incorporan al límite de Welch cuando . La desigualdad de Cauchy-Schwarz se cumple con igualdad cuando los dos vectores involucrados son colineales. En la forma en que se utiliza en la prueba anterior, esto ocurre cuando todos los valores propios distintos de cero de la matriz de Gram son iguales, lo que sucede precisamente cuando los vectores constituyen un marco ajustado para . ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{m}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

La otra desigualdad de la prueba se satisface con igualdad si y solo si es la misma para cada elección de . En este caso, los vectores son equiangulares . Por lo tanto, este límite de Welch se satisface con igualdad si y solo si el conjunto de vectores es un marco ajustado equiangular en . ${\displaystyle |\langle x_{i},x_{j}\rangle |}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

De manera similar, los límites de Welch establecidos en términos de superposición cuadrática promedio están saturados para todos si y solo si el conjunto de vectores es un diseño en el espacio proyectivo complejo . ^[4] ${\displaystyle k\leq t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n-1}}$

Véase también

• Diseño esférico
• Diseño cuántico t
• Líneas equiangulares

Referencias

1. Welch, L. (1 de mayo de 1974). "Límites inferiores de la correlación cruzada máxima de señales (Corresp.)". IEEE Transactions on Information Theory . 20 (3): 397–399. doi :10.1109/TIT.1974.1055219. ISSN  1557-9654.
2. Klappenecker, Andreas; Roetteler, Martin (11 de febrero de 2005). "Las bases mutuamente imparciales son diseños proyectivos complejos". arXiv : quant-ph/0502031 . {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
3. Belovs, Aleksandrs; Smotrovs, Juris (22 de julio de 2008). "Un criterio para alcanzar los límites de Welch con aplicaciones para bases mutuamente imparciales". arXiv : 0802.0855 . {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
4. Datta, Somantika; Howard, Stephen; Cochran, Douglas (29 de mayo de 2012). "Geometría de los límites de Welch". arXiv : 0909.0206 . {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )