ley de betz

Esquema del flujo de fluido a través de un actuador en forma de disco . Para un fluido de densidad constante, el área de la sección transversal varía inversamente con la velocidad.

En aerodinámica , la ley de Betz indica la potencia máxima que se puede extraer del viento, independientemente del diseño de un aerogenerador en flujo abierto. Fue publicado en 1919 por el físico alemán Albert Betz . ^[1] La ley se deriva de los principios de conservación de la masa y el momento de la corriente de aire que fluye a través de un "disco actuador " idealizado que extrae energía de la corriente de viento. Según la ley de Betz, ningún aerogenerador de cualquier mecanismo puede captar más del 16/27 (59,3%) de la energía cinética del viento. El factor 16/27 (0,593) se conoce como coeficiente de Betz . Las turbinas eólicas prácticas a escala comercial alcanzan en su punto máximo entre el 75% y el 80% del límite de Betz. ^[2]^[3]

El límite de Betz se basa en un actuador de disco abierto . Si se utiliza un difusor para recoger el flujo de viento adicional y dirigirlo a través de la turbina, se puede extraer más energía, pero el límite sigue aplicándose a la sección transversal de toda la estructura.

Conceptos

La ley de Betz se aplica a todos los fluidos newtonianos , incluido el viento. Si toda la energía proveniente del movimiento del viento a través de una turbina se extrajera como energía útil, la velocidad del viento luego caería a cero. Si el viento dejara de moverse a la salida de la turbina, entonces ya no podría entrar más viento fresco; estaría bloqueado. Para mantener el viento moviéndose a través de la turbina, tiene que haber algún movimiento de viento, por pequeño que sea, en el otro lado con una velocidad del viento mayor que cero. La ley de Betz muestra que a medida que el aire fluye a través de un área determinada y la velocidad del viento disminuye debido a la pérdida de energía para la extracción de una turbina, el flujo de aire debe distribuirse a un área más amplia. Como resultado, la geometría limita la eficiencia de cualquier turbina a un máximo del 59,3%.

Descubrimientos independientes

El científico británico Frederick W. Lanchester obtuvo el mismo máximo en 1915. El líder de la escuela aerodinámica rusa, Nikolay Zhukowsky , también publicó el mismo resultado para una turbina eólica ideal en 1920, el mismo año que Betz. ^[4] Es, por tanto, un ejemplo de la ley de Stigler , que postula que ningún descubrimiento científico lleva el nombre de su descubridor real.

Prueba

El límite de Betz es la máxima energía posible que un rotor infinitamente delgado puede extraer de un fluido que fluye a una determinada velocidad. ^[5]

Para calcular la eficiencia teórica máxima de un rotor delgado (de, por ejemplo, una turbina eólica ), se imagina que es sustituido por un disco que extrae energía del fluido que lo atraviesa. A cierta distancia detrás de este disco, el fluido que ha pasado a través del disco tiene una velocidad reducida, pero distinta de cero. ^[5]

Suposiciones

El disco es ideal, sin cubo (de modo que si se conceptualizara como un rotor, podría tener un número infinito de palas que no tuvieran resistencia). Se supone que cualquier no idealidad reduce la eficiencia.
Como modelo efectivamente 1-D, el flujo que entra y sale del disco es axial y todas las velocidades son transversalmente uniformes. Este es un análisis de volumen de control; el volumen de control debe contener todo el flujo entrante y saliente para poder utilizar las ecuaciones de conservación.
El flujo no es compresible. La densidad es constante y no hay transferencia de calor.
Se aplica una presión uniforme al disco. (No hay dependencia radial de la presión en este modelo 1-D).

Aplicación de la conservación de masa (ecuación de continuidad)

Aplicando la conservación de masa al volumen de control, el caudal másico (la masa de fluido que fluye por unidad de tiempo) es

{\dot {m}}=\rho A_{1}v_{1}=\rho Sv=\rho A_{2}v_{2},

donde v ₁ es la velocidad en la parte delantera del rotor, v ₂ es la velocidad aguas abajo del rotor, v es la velocidad en el dispositivo de potencia del fluido, ρ es la densidad del fluido, es el área de la turbina y son los áreas del fluido antes y después de la turbina (la entrada y salida del volumen de control). $S$ ${\ Displaystyle A_ {1}}$ ${\ Displaystyle A_ {2}}$

La densidad multiplicada por el área y la velocidad deben ser iguales en cada una de las tres regiones: antes de la turbina, mientras pasa a través de la turbina y más allá de la turbina.

La fuerza que ejerce el rotor sobre el viento es la masa de aire multiplicada por su aceleración:

{\begin{aligned}F&=ma\\&=m{\frac {dv}{dt}}\\&={\dot {m}}\,\Delta v\\&=\rho Sv (v_{1}-v_{2}).\end{alineado}}

poder y trabajo

El trabajo incremental realizado por la fuerza se puede escribir

dE=F\,dx,

y la potencia (tasa de trabajo realizado) del viento es

P={\frac {dE}{dt}}=F{\frac {dx}{dt}}=Fv.

Sustituyendo la fuerza F calculada anteriormente en la ecuación de potencia se obtiene la potencia extraída del viento,

P=\rho Sv^{2}(v_{1}-v_{2}).

Sin embargo, la potencia se puede calcular de otra manera, utilizando la energía cinética. Aplicando la ecuación de conservación de energía al volumen de control se obtiene

P={\frac {\Delta E}{\Delta t}}={\tfrac {1}{2}}{\dot {m}}(v_{1}^{2}-v_{2) }^{2}).

Sustituyendo el caudal másico de la ecuación de continuidad se obtiene

P={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}).

Ambas expresiones de poder son válidas; uno se derivó examinando el trabajo incremental y el otro mediante la conservación de la energía. Al equiparar estas dos expresiones se obtiene

P={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})=\rho Sv^{2}(v_{1} -v_ {2}).

La densidad no puede ser cero para ningún v y S, entonces

{\tfrac {1}{2}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})={\tfrac {1}{2}}(v_{1}-v_ {2})(v_{1}+v_{2})=v(v_{1}-v_{2}),

v={\tfrac {1}{2}}(v_{1}+v_{2}).

La velocidad constante del viento a través del rotor puede tomarse como el promedio de las velocidades aguas arriba y aguas abajo. Podría decirse que esta es la etapa más contraintuitiva de la derivación de la ley de Betz. Es una consecuencia directa de la suposición del "flujo axial", que no permite ningún flujo de masa radial en la región del disco del actuador. ^[6] Sin escape de masa y con un diámetro constante en la región del actuador, la velocidad del aire no puede cambiar en la región de interacción. Por lo tanto, no se puede extraer energía más que en la parte delantera y trasera de la región de interacción, fijando la velocidad del aire del disco actuador como promedio. (Eliminar esa restricción puede permitir un rendimiento mayor que el que permite la ley de Betz, pero también se deben considerar otros efectos radiales. ^[6] Este efecto de velocidad constante es distinto de la pérdida de energía cinética radial que también se ignora. ^[7] )

Ley de Betz y coeficiente de rendimiento.

Volviendo a la expresión anterior para potencia basada en energía cinética:

${\begin{aligned}P&={\tfrac {1}{2}}{\dot {m}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})\\& ={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})\\&={\tfrac {1}{4}}\rho S (v_{1}+v_{2})(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})\\&={\tfrac {1}{4}}\rho Sv_{1} ^{3}\left(1-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {v_{2}}{v_ {1}}}\right)-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{3}\right).\end{aligned}}$

El eje horizontal refleja la relación $v 2 / v 1$ , el eje vertical es el coeficiente de potencia ^[8] $C p$ .

Al diferenciar con respecto a para una velocidad de fluido dada $v$ $1$ y un área dada $S$ , se encuentra el valor máximo o mínimo para . El resultado es que alcanza el valor máximo cuando . $P$ ${\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}$ $P$ $P$ ${\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}={\tfrac {1}{3}}$

Sustituir este valor da como resultado

P_{\text{max}}={\tfrac {16}{27}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.

La potencia que se puede obtener de un cilindro de fluido con área de sección transversal $S$ y velocidad $v 1$ es

P=C_{\text{p}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.

La potencia de referencia para el cálculo de la eficiencia de Betz es la potencia en un fluido en movimiento en un cilindro con área de sección transversal $S$ y velocidad $v 1$ :

P_{\text{viento}}={\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.

El coeficiente de potencia ^[9] $C p$ (= $P / P viento$ ) es la relación adimensional entre la potencia extraíble $P$ y la potencia cinética $P viento$ disponible en la corriente no distribuida. ^{[ cita necesaria ]} Tiene un valor máximo $C p max = 16/27 = 0,593$ (o 59,3%; sin embargo, los coeficientes de rendimiento generalmente se expresan como decimal, no como porcentaje).

Las grandes turbinas eólicas modernas alcanzan valores máximos de $C p$ en el rango de 0,45 a 0,50, ^[2]^{[ cita completa necesaria ]} alrededor del 75-85% del máximo teóricamente posible. En vientos de alta velocidad, cuando la turbina está funcionando a su potencia nominal, la turbina gira (inclina) sus palas para reducir $C p$ y protegerse de daños. La potencia del viento aumenta en un factor de 8 de 12,5 a 25 m/s, por lo que $C p$ debe disminuir en consecuencia, llegando a 0,06 para vientos de 25 m/s.

Entendiendo los resultados de Betz

La relación de velocidad entre el viento saliente y entrante implica que el aire saliente tiene solo la energía cinética del aire entrante, y la energía del aire entrante se extrae. Este es un cálculo correcto, pero sólo considera el aire entrante que eventualmente viaja a través del rotor. ${\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}={\tfrac {1}{3}}$ $({\tfrac {1}{3}})^{2}={\tfrac {1}{9}}$ ${\tfrac {8}{9}}$

El último paso para calcular la eficiencia de Betz $C p$ es dividir la potencia calculada extraída del flujo por una potencia de referencia. Como potencia de referencia, el análisis de Betz utiliza la potencia del aire aguas arriba que se mueve en $V 1$ a través del área de la sección transversal $S$ del rotor. Dado que en el límite de Betz, el rotor extrae de , o de la energía cinética entrante. $A_{1}={\tfrac {2}{3}}S$ ${\tfrac {8}{9}}$ ${\tfrac {2}{3}}$ ${\tfrac {16}{27}},$

Debido a que el área de la sección transversal del viento que fluye a través del rotor cambia, debe haber algo de flujo de aire en direcciones perpendiculares al eje del rotor. Cualquier energía cinética asociada con este flujo radial no tiene efecto en el cálculo porque el cálculo considera solo los estados inicial y final del aire en el sistema.

Límites superiores en turbinas eólicas

Aunque a menudo se promociona (por ejemplo, ^[10]^[11] ) como el límite superior definitivo para la extracción de energía por cualquier posible turbina eólica, no lo es. A pesar del título engañoso de su artículo, ^[12] Betz (ni Lanchester) nunca hicieron una afirmación tan incondicional . ^[1] En particular, una turbina eólica que funciona con la máxima eficiencia de Betz tiene una estela de velocidad del viento distinta de cero. ^[2]^[1] Cualquier disco actuador colocado aguas abajo del primero extraerá energía adicional y, por lo tanto, el complejo de actuador dual combinado excede el límite de Betz. ^[13]^[14] El segundo disco actuador podría estar, pero no es necesario, en la zona de viento del campo lejano (línea de corriente paralela) para que se mantenga esta consideración. ^[6]

La razón de esta sorprendente excepción a una ley basada únicamente en las leyes de conservación de energía y flujo se esconde en la aparentemente modesta suposición de uniformidad transversal del perfil axial del viento dentro de las líneas de corriente. Por ejemplo, la turbina eólica de doble actuador antes mencionada tiene, aguas abajo, un perfil de viento transversal que tiene dos velocidades distintas y, por lo tanto, no está limitado por los límites del disco actuador único. ^[6]

Matemáticamente, la derivación de un solo disco actuador incorpora implícitamente la suposición de que el viento no cambia de velocidad cuando transita por el actuador "infinitamente delgado"; por el contrario, en el híbrido de doble actuador, el viento cambia de velocidad a medida que transita, lo que invalida el paso clave de la derivación que requiere una velocidad constante. Un solo actuador infinitamente delgado no puede cambiar la velocidad porque de otro modo no conservaría el flujo, pero en el par híbrido, el flujo se puede desviar (fuera de la sección transversal) entre los actuadores, lo que permite una velocidad de salida final diferente a la velocidad de entrada. ^[6]^[13]^[14]

Se han analizado aerogeneradores físicos de rotores multicoaxiales. ^[10] Aunque estos no excedieron el límite de Betz en la práctica, esto puede ser atribuible al hecho de que los rotores no solo tienen pérdidas sino que también deben obedecer al momento angular ^[15] y a la teoría del momento del elemento Blade que limita su eficiencia por debajo del límite de Betz. ^[7]

Relevancia económica

La mayoría de las turbinas eólicas reales son aerodinámicamente "delgadas", lo que las aproxima a los supuestos de la ley de Betz. En la medida en que una turbina eólica típica se aproxima a los supuestos de la ley de Betz, el límite de Betz sitúa un límite superior aproximado a la energía anual que se puede extraer en un sitio. Incluso si un viento hipotético soplara consistentemente durante un año completo, cualquier turbina eólica bien aproximada por el modelo de disco actuador no podría extraer más que el límite de Betz de la energía contenida en el viento de ese año.

Básicamente, el aumento de la eficiencia económica del sistema resulta del aumento de la producción por unidad, medida por metro cuadrado de exposición de las paletas. Se requiere un aumento en la eficiencia del sistema para reducir el costo de producción de energía eléctrica. Los aumentos de eficiencia pueden ser el resultado de la ingeniería de los dispositivos de captura de viento, como la configuración y la dinámica de las turbinas eólicas, que pueden aumentar la generación de energía de estos sistemas dentro del límite de Betz. Los aumentos de eficiencia del sistema en la aplicación, transmisión o almacenamiento de energía también pueden contribuir a un menor costo de energía por unidad.

Puntos de interés

Los supuestos de la derivación de Betz ^[16] imponen algunas restricciones físicas sobre la naturaleza de las turbinas eólicas a las que se aplica (velocidad de entrada/salida idéntica, por ejemplo). Pero más allá de esos supuestos, el límite de Betz no depende de la mecánica interna del sistema de extracción de viento, por lo tanto $S$ puede tomar cualquier forma siempre que el flujo viaje desde la entrada al volumen de control hasta la salida, y el volumen de control tenga una entrada uniforme. y velocidades de salida. Cualquier efecto extraño sólo puede disminuir el rendimiento del sistema (normalmente una turbina), ya que este análisis se idealizó para ignorar la fricción. Cualquier efecto no ideal restaría energía a la energía disponible en el fluido entrante, reduciendo la eficiencia general.

Algunos fabricantes e inventores han afirmado haber superado el límite mediante el uso de boquillas y otros dispositivos de desviación del viento, generalmente tergiversando el límite de Betz y calculando sólo el área del rotor y no la entrada total de aire que contribuye a la energía eólica extraída del sistema.

El límite de Betz no tiene relevancia a la hora de calcular la eficiencia de la turbina en una aplicación móvil como, por ejemplo, un vehículo propulsado por viento , ya que aquí la eficiencia teóricamente podría acercarse al 100% menos las pérdidas de las palas si el flujo de fluido a través del disco de la turbina (o equivalente) sólo se retrasara imperceptiblemente. . Como esto requeriría una estructura infinitamente grande, los dispositivos prácticos rara vez alcanzan el 90% o más. La cantidad de energía extraída del flujo de fluido con eficiencias altas de la turbina es menor que el límite de Betz, que no es el mismo tipo de eficiencia. ^{[ cita necesaria ]}

Desarrollo moderno

En 1934, H. Glauert derivó la expresión para la eficiencia de la turbina, cuando se tiene en cuenta el componente angular de la velocidad, aplicando un balance de energía a lo largo del plano del rotor. ^[15] Debido al modelo de Glauert, la eficiencia está por debajo del límite de Betz y se acerca asintóticamente a este límite cuando la relación de velocidad punta llega al infinito.

En 2001, Gorban , Gorlov y Silantyev introdujeron un modelo con solución exacta (GGS), que considera la distribución de presión no uniforme y el flujo curvilíneo a través del plano de la turbina (cuestiones no incluidas en el enfoque de Betz). ^[7] Utilizaron y modificaron el modelo de Kirchhoff , ^[17] que describe la estela turbulenta detrás del actuador como el flujo "degenerado" y utiliza la ecuación de Euler fuera del área degenerada. El modelo GGS predice que la eficiencia máxima se logra cuando el flujo a través de la turbina es aproximadamente el 61% del flujo total, lo cual es muy similar al resultado de Betz de 2 ⁄ 3 para un flujo que genera una eficiencia máxima, pero el GGS predijo que la eficiencia máxima se logra cuando el flujo a través de la turbina es aproximadamente el 61 % del flujo total. la eficiencia en sí es mucho menor: 30,1%.

En 2008, se aplicaron cálculos viscosos basados en dinámica de fluidos computacional (CFD) al modelado de turbinas eólicas y demostraron una concordancia satisfactoria con el experimento. ^[18] La eficiencia óptima calculada suele estar entre el límite de Betz y la solución GGS.

Referencias

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enlaces externos

Pierre Lecanu, Joel Breard, Dominique Mouazé. Límite de Betz aplicado a la teoría de turbinas eólicas de eje vertical