Límite de Bargmann

En mecánica cuántica , el límite de Bargmann , llamado así por Valentine Bargmann , proporciona un límite superior para el número de estados ligados con número cuántico azimutal en un sistema con potencial central . Toma la forma ${\displaystyle N_{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle N_{\ell }<{\frac {1}{2\ell +1}}{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\int _{0}^{\infty }r|V(r)|\,dr}$

Este límite es el mejor límite superior posible de tal manera que para un determinado , siempre se puede construir un potencial para el cual sea arbitrariamente cercano a este límite superior. Nótese que el potencial de la función delta de Dirac alcanza este límite. Después de la primera demostración de esta desigualdad por Valentine Bargmann en 1953, ^[1] Julian Schwinger presentó una forma alternativa de derivarla en 1961. ^[2] ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle V_{\ell }}$ ${\displaystyle N_{\ell }}$

Formulación y prueba rigurosas

Expresado de manera matemática formal, el límite de Bargmann es el siguiente. Sea un potencial simétrico esférico, tal que es continuo por partes en , para y para , donde y . Si ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} :\mathbf {r} \mapsto V(r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle V(r)=O(1/r^{a})}$ ${\displaystyle r\to 0}$ ${\displaystyle V(r)=O(1/r^{b})}$ ${\displaystyle r\to +\infty }$ ${\displaystyle a\in (2,+\infty )}$ ${\displaystyle b\in (-\infty ,2)}$

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }r|V(r)|dr<+\infty ,}$

entonces el número de estados ligados con número cuántico azimutal para una partícula de masa que obedece la ecuación de Schrödinger correspondiente , está acotado desde arriba por ${\displaystyle N_{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle N_{\ell }<{\frac {1}{2\ell +1}}{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\int _{0}^{+\infty }r|V(r)|dr.}$

Aunque la demostración original de Valentine Bargmann es bastante técnica, la idea principal se desprende de dos teoremas generales sobre ecuaciones diferenciales ordinarias, el teorema de oscilación de Sturm y el teorema de comparación de Sturm-Picone . Si denotamos por la función de onda sujeta al potencial dado con energía total y número cuántico azimutal , el teorema de oscilación de Sturm implica que es igual al número de nodos de . Del teorema de comparación de Sturm-Picone se deduce que cuando se somete a un potencial más fuerte (es decir, para todos los ), el número de nodos crece o permanece igual. Por lo tanto, más específicamente, podemos reemplazar el potencial por . Para la función de onda correspondiente con energía total y número cuántico azimutal , denotada por , la ecuación radial de Schrödinger se convierte en ${\displaystyle u_{0\ell }}$ ${\displaystyle E=0}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle N_{\ell }}$ ${\displaystyle u_{0\ell }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W(r)\leq V(r)}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} _{0}^{+}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle -|V|}$ ${\displaystyle E=0}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \phi _{0\ell }}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dr^{2}}}\phi _{0\ell }(r)-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}\phi _{0\ell }(r)=-W(r)\phi _{0\ell }(r),}$

con . Aplicando variación de parámetros , se puede obtener la siguiente solución implícita ${\displaystyle W=2m|V|/\hbar ^{2}}$

${\displaystyle \phi _{0\ell }(r)=r^{\ell +1}-\int _{0}^{p}G(r,\rho )\phi _{0\ell }(\rho )W(\rho )d\rho ,}$

donde se da por ${\displaystyle G(r,\rho )}$

${\displaystyle G(r,\rho )={\frac {1}{2\ell +1}}\left[r{\bigg (}{\frac {r}{\rho }}{\bigg )}^{\ell }-\rho {\bigg (}{\frac {\rho }{r}}{\bigg )}^{\ell }\right].}$

Si ahora denotamos todos los nodos sucesivos de por , se puede demostrar a partir de la solución implícita anterior que para nodos consecutivos y ${\displaystyle \phi _{0\ell }}$ ${\displaystyle 0=\nu _{1}<\nu _{2}<\dots <\nu _{N}}$ ${\displaystyle \nu _{i}}$ ${\displaystyle \nu _{i+1}}$

${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\int _{\nu _{i}}^{\nu _{i+1}}r|V(r)|dr>2\ell +1.}$

De esto podemos concluir que

${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\int _{0}^{+\infty }r|V(r)|dr\geq {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\int _{0}^{\nu _{N}}r|V(r)|dr>N(2\ell +1)\geq N_{\ell }(2\ell +1),}$

Demostrando el límite de Bargmann. Nótese que como se supone que la integral de la derecha es finita, también lo deben ser y . Además, para un valor dado de , siempre se puede construir un potencial para el cual es arbitrariamente cercano al límite de Bargmann. La idea para obtener dicho potencial es aproximar los potenciales de la función delta de Dirac, ya que estos alcanzan el límite exactamente. Un ejemplo de dicha construcción se puede encontrar en el artículo original de Bargmann. ^[1] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N_{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle V_{\ell }}$ ${\displaystyle N_{\ell }}$

Referencias

1. Bargmann, V. (1952). "Sobre el número de estados ligados en un campo central de fuerza". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 38 (11): 961–966. Bibcode :1952PNAS...38..961B. doi : 10.1073/pnas.38.11.961 . ISSN  0027-8424. PMC  1063691 . PMID  16589209.
2. Schwinger, J. (1961). "Sobre los estados límite de un potencial dado". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 47 (1): 122–129. Bibcode :1961PNAS...47..122S. doi : 10.1073/pnas.47.1.122 . ISSN  0027-8424. PMC 285255 . PMID  16590804.