Con destino a Bogomol'nyi – Prasad – Sommerfield

Desigualdades para ciertas soluciones de EDP

El límite de Bogomol'nyi–Prasad–Sommerfield (nombrado así por Evgeny Bogomolny, MK Prasad y Charles Sommerfield ) ^{[1] [2]} es una serie de desigualdades para soluciones de ecuaciones diferenciales parciales que dependen de la clase de homotopía de la solución en el infinito. Este conjunto de desigualdades es muy útil para resolver ecuaciones de solitones . A menudo, al insistir en que se satisfaga el límite (lo que se denomina "saturado"), se puede llegar a un conjunto más simple de ecuaciones diferenciales parciales para resolver las ecuaciones de Bogomolny . Las soluciones que saturan el límite se denominan " estados BPS " y juegan un papel importante en la teoría de campos y la teoría de cuerdas .

Ejemplo

En una teoría de Yang-Mills-Higgs no abeliana , la energía en un tiempo dado t está dada por

${\displaystyle E=\int d^{3}x\,\left[{\frac {1}{2}}\pi ^{T}\pi +V(\varphi )+{\frac {1}{2g^{2}}}\operatorname {Tr} \left[{\vec {E}}\cdot {\vec {E}}+{\vec {B}}\cdot {\vec {B}}\right]\right]}$

donde es la derivada covariante del campo de Higgs y V es el potencial. Si suponemos que V es no negativo y es cero solo para el vacío de Higgs y que el campo de Higgs está en la representación adjunta , entonces, en virtud de la identidad de Yang-Mills Bianchi, ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}E&\geq \int d^{3}x\,\left[{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[{\overrightarrow {D\varphi }}\cdot {\overrightarrow {D\varphi }}\right]+{\frac {1}{2g^{2}}}\operatorname {Tr} \left[{\vec {B}}\cdot {\vec {B}}\right]\right]\\&\geq \int d^{3}x\,\operatorname {Tr} \left[{\frac {1}{2}}\left({\overrightarrow {D\varphi }}\mp {\frac {1}{g}}{\vec {B}}\right)^{2}\pm {\frac {1}{g}}{\overrightarrow {D\varphi }}\cdot {\vec {B}}\right]\\&\geq \pm {\frac {1}{g}}\int d^{3}x\,\operatorname {Tr} \left[{\overrightarrow {D\varphi }}\cdot {\vec {B}}\right]\\&=\pm {\frac {1}{g}}\int _{S^{2}\ \mathrm {boundary} }\operatorname {Tr} \left[\varphi {\vec {B}}\cdot d{\vec {S}}\right].\end{aligned}}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle E\geq \left\|\int _{S^{2}}\operatorname {Tr} \left[\varphi {\vec {B}}\cdot d{\vec {S}}\right]\right\|.}$

La saturación de la desigualdad se obtiene cuando se satisfacen las ecuaciones de Bogomolny.

${\displaystyle {\overrightarrow {D\varphi }}\mp {\frac {1}{g}}{\vec {B}}=0,}$

La otra condición para la saturación es que la masa del Higgs y la autointeracción sean cero, lo cual es el caso en las teorías supersimétricas N=2.

Esta cantidad es el valor absoluto del flujo magnético .

También existe una ligera generalización que se aplica a los diones: para ello, el campo de Higgs debe ser un adjunto complejo, no un adjunto real.

Supersimetría

En la supersimetría, el límite BPS está saturado cuando la mitad (o un cuarto o un octavo) de los generadores SUSY no están rotos. Esto sucede cuando la masa es igual a la extensión central , que normalmente es una carga topológica . ^[3]

De hecho, la mayoría de los límites bosónicos BPS en realidad provienen del sector bosónico de una teoría supersimétrica y esto explica su origen.

Referencias

1. EB Bogomolny, "Estabilidad de soluciones clásicas", Sov. J. Nucl. Phys. 24 (1976), 449; Yad. Fiz. 24 (1976), 861.
2. Prasad, MK; Sommerfield, Charles M. (22 de septiembre de 1975). "Solución clásica exacta para el monopolo 't Hooft y el Julia-Zee Dyon". Physical Review Letters . 35 (12). American Physical Society (APS): 760–762. Código Bibliográfico :1975PhRvL..35..760P. doi :10.1103/physrevlett.35.760. ISSN  0031-9007.
3. Weinberg, Steven (2000). La teoría cuántica de campos: volumen 3, pág. 53. Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0521660009 .