El juego de los piratas es un juego matemático sencillo . Es una versión para varios jugadores del juego del ultimátum .
Hay cinco piratas racionales (en estricto orden decreciente de antigüedad A, B, C, D y E) que encontraron 100 monedas de oro. Deben decidir cómo distribuirlas.
Las reglas de distribución del mundo pirata establecen que el pirata de mayor antigüedad propone primero un plan de distribución. Los piratas, incluido el proponente, votan si aceptan o no esta distribución. Si la mayoría acepta el plan, se reparten las monedas y el juego termina. En caso de empate, el proponente tiene voto decisivo . Si la mayoría rechaza el plan, el proponente es arrojado por la borda del barco pirata y muere, y el siguiente pirata de mayor antigüedad hace una nueva propuesta para comenzar el sistema de nuevo. El proceso se repite hasta que se acepta un plan o si queda un pirata. [1]
Los piratas basan sus decisiones en cuatro factores:
Para aumentar las posibilidades de que su plan sea aceptado, se podría esperar que el Pirata A tenga que ofrecer a los demás piratas la mayor parte del oro. Sin embargo, esto está lejos del resultado teórico. Cuando cada uno de los piratas vote, no solo estará pensando en la propuesta actual, sino también en otros resultados futuros. Además, el orden de antigüedad se conoce de antemano, por lo que cada uno de ellos puede predecir con precisión cómo votarán los demás en cualquier escenario. Esto se hace evidente si trabajamos al revés.
El último escenario posible sería que todos los piratas, excepto D y E, fueran arrojados por la borda. Como D es superior a E, tiene el voto decisivo ; por lo tanto, D propondría quedarse con 100 para él y 0 para E.
Si quedan tres (C, D y E), C sabe que D ofrecerá 0 a E en la siguiente ronda; por lo tanto, C tiene que ofrecer una moneda a E en esta ronda para ganar el voto de E. Por lo tanto, cuando solo quedan tres, la asignación es C:99, D:0, E:1.
Si quedan B, C, D y E, B puede ofrecer 1 a D; como B tiene voto decisivo, solo se requiere el voto de D. Por lo tanto, B propone B:99, C:0, D:1, E:0.
(En la ronda anterior, uno podría considerar proponer B:99, C:0, D:0, E:1, ya que E sabe que no será posible obtener más monedas, si es que obtiene alguna, si E arroja a B por la borda. Pero, como cada pirata está ansioso por arrojar a los demás por la borda, E preferiría matar a B, para obtener la misma cantidad de oro de C.)
Con este conocimiento, A puede contar con el apoyo de C y E para la siguiente asignación, que es la solución final:
(Nota: A:98, B:0, C:0, D:1, E:1 u otras variantes no son lo suficientemente buenas, ya que D preferiría arrojar a A por la borda para obtener la misma cantidad de oro de B).
La solución sigue el mismo patrón general para otras cantidades de piratas y/o monedas. Sin embargo, el juego cambia de carácter cuando se extiende más allá del hecho de que hay el doble de piratas que de monedas. Ian Stewart escribió sobre la extensión de Steve Omohundro a una cantidad arbitraria de piratas en la edición de mayo de 1999 de Scientific American y describió el patrón bastante intrincado que surge en la solución. [2]
Suponiendo que sólo hay 100 piezas de oro, entonces:
En general, si G es el número de piezas de oro y N (> 2G) es el número de piratas, entonces
Otra forma de ver esto es darse cuenta de que cada pirata M tendrá el voto de todos los piratas desde M/2 + 1 hasta M por autopreservación ya que su supervivencia está asegurada solo con la supervivencia del pirata M. Debido a que el pirata de mayor rango puede romper el empate, el capitán solo necesita los votos de la mitad de los piratas sobre 2G, lo que solo sucede cada vez que se alcanza (2G + una potencia de 2 ). Por ejemplo, con 100 piezas de oro y 500 piratas, los piratas del n.° 500 al n.° 457 mueren, y luego el n.° 456 sobrevive (ya que 456 = 200 + 2 8 ) ya que tienen los 128 votos de autopreservación garantizados de los piratas del n.° 329 al n.° 456, más 100 votos de los piratas a los que sobornan, lo que constituye los 228 votos que necesitan. Los números de piratas después de #200 que pueden garantizar su supervivencia como capitán con 100 piezas de oro son #201, #202, #204, #208, #216, #232, #264, #328, #456, #712, etc.: están separados por cadenas cada vez más largas de piratas que están condenados sin importar qué división propongan.