En teoría de juegos , la batalla de los sexos es un juego de coordinación entre dos jugadores que también incluye elementos de conflicto. El juego fue presentado en 1957 por R. Duncan Luce y Howard Raiffa en su libro clásico, Games and Decisions . [1] Algunos autores prefieren evitar asignar sexos a los jugadores y, en su lugar, utilizan a los jugadores 1 y 2, y algunos se refieren al juego como Bach o Stravinsky , utilizando dos conciertos como los dos eventos. [2] La descripción del juego aquí sigue la historia original de Luce y Raiffa.
Imaginemos que un hombre y una mujer esperan encontrarse esta noche, pero tienen que elegir entre dos eventos a los que asistir: un combate de boxeo y un ballet . El hombre preferiría ir al combate de boxeo. La mujer preferiría ir al ballet. Ambos preferirían ir al mismo evento en lugar de a diferentes. Si no pueden comunicarse, ¿a dónde deberían ir?
La matriz de pagos denominada "Batalla de los sexos (1)" muestra los pagos cuando el hombre elige una fila y la mujer elige una columna. En cada celda, el primer número representa el pago del hombre y el segundo el de la mujer.
Esta representación estándar no tiene en cuenta el daño adicional que podría derivar no solo de ir a lugares diferentes, sino también de ir al lugar equivocado (por ejemplo, el hombre va al ballet mientras que la mujer va al combate de boxeo, sin que ninguno de los dos quede satisfecho). Para tener esto en cuenta, el juego se representaría en "La batalla de los sexos (2)", donde en el recuadro superior derecho, cada jugador tiene una recompensa de 1 porque al menos puede asistir a sus eventos favoritos.
Este juego tiene dos equilibrios de Nash de estrategia pura , uno en el que ambos jugadores van a la pelea por el premio y otro en el que ambos van al ballet. También hay un equilibrio de Nash de estrategia mixta , en el que los jugadores eligen al azar utilizando probabilidades específicas. Para los pagos enumerados en La batalla de los sexos (1), en el equilibrio de estrategia mixta el hombre va a la pelea por el premio con una probabilidad de 3/5 y la mujer al ballet con una probabilidad de 3/5, por lo que terminan juntos en la pelea por el premio con una probabilidad de 6/25 = (3/5)(2/5) y juntos en el ballet con una probabilidad de 6/25 = (2/5)(3/5).
Esto presenta un caso interesante para la teoría de juegos , ya que cada uno de los equilibrios de Nash es deficiente en algún sentido. Los dos equilibrios de Nash de estrategia pura son injustos; un jugador obtiene consistentemente mejores resultados que el otro. El equilibrio de Nash de estrategia mixta es ineficiente: los jugadores se coordinarán incorrectamente con una probabilidad de 13/25, lo que deja a cada jugador con un rendimiento esperado de 6/5 (menor que el pago de 2 del equilibrio de estrategia pura menos favorecido de cada uno). Sigue sin estar claro cómo se formarían las expectativas que darían como resultado que se desarrollara un equilibrio particular.
Una posible solución a la dificultad es el uso de un equilibrio correlacionado . En su forma más simple, si los jugadores del juego tienen acceso a un dispositivo de aleatorización observado comúnmente, entonces podrían decidir correlacionar sus estrategias en el juego basándose en el resultado del dispositivo. Por ejemplo, si los jugadores pudieran lanzar una moneda antes de elegir sus estrategias, podrían acordar correlacionar sus estrategias basándose en el lanzamiento de la moneda, por ejemplo, eligiendo ballet en caso de que salga cara y boxeo en caso de que salga cruz. Nótese que una vez que se revelan los resultados del lanzamiento de la moneda, ninguno de los jugadores tiene incentivos para alterar sus acciones propuestas si cree que el otro no lo hará. El resultado es que siempre se logra una coordinación perfecta y, antes del lanzamiento de la moneda, los pagos esperados para los jugadores son exactamente iguales. Sin embargo, sigue siendo cierto que incluso si hay un dispositivo de correlación, los equilibrios de Nash en los que los jugadores lo ignoran permanecerán; los equilibrios correlacionados requieren tanto la existencia de un dispositivo de correlación como la expectativa de que ambos jugadores lo usen para tomar su decisión.