Entropía cuántica conjunta

Medida de la información en la teoría de la información cuántica

La entropía cuántica conjunta generaliza la entropía conjunta clásica al contexto de la teoría de la información cuántica . Intuitivamente, dados dos estados cuánticos y , representados como operadores de densidad que son subpartes de un sistema cuántico, la entropía cuántica conjunta es una medida de la incertidumbre total o entropía del sistema conjunto. Se escribe o , dependiendo de la notación que se utilice para la entropía de von Neumann . Al igual que otras entropías, la entropía cuántica conjunta se mide en bits , es decir, el logaritmo se toma en base 2. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle S(\rho ,\sigma )}$ ${\displaystyle H(\rho ,\sigma )}$

En este artículo utilizaremos la entropía cuántica conjunta. ${\displaystyle S(\rho ,\sigma )}$

Fondo

En teoría de la información , para cualquier variable aleatoria clásica , la entropía clásica de Shannon es una medida de cuán inciertos estamos acerca del resultado de . Por ejemplo, si es una distribución de probabilidad concentrada en un punto, el resultado de es seguro y, por lo tanto, su entropía . En el otro extremo, si es la distribución de probabilidad uniforme con valores posibles, intuitivamente uno esperaría que esté asociada con la mayor incertidumbre. De hecho, tales distribuciones de probabilidad uniformes tienen la máxima entropía posible . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H(X)=0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H(X)=\log _{2}(n)}$

En la teoría de la información cuántica , la noción de entropía se extiende desde las distribuciones de probabilidad a los estados cuánticos o matrices de densidad . Para un estado , la entropía de von Neumann se define por ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle -\operatorname {Tr} \rho \log \rho .}$

Aplicando el teorema espectral , o cálculo funcional de Borel para sistemas de dimensión infinita, vemos que generaliza la entropía clásica. El significado físico sigue siendo el mismo. Un estado de máxima mezcla, el análogo cuántico de la distribución de probabilidad uniforme, tiene máxima entropía de von Neumann. Por otro lado, un estado puro , o una proyección de rango uno, tendrá entropía de von Neumann cero. Escribimos la entropía de von Neumann (o a veces . ${\displaystyle S(\rho )}$ ${\displaystyle H(\rho )}$

Definición

Dado un sistema cuántico con dos subsistemas A y B , el término entropía cuántica conjunta simplemente se refiere a la entropía de von Neumann del sistema combinado. Esto es para distinguirla de la entropía de los subsistemas. En símbolos, si el sistema combinado está en el estado , ${\displaystyle \rho ^{AB}}$

La entropía cuántica conjunta es entonces

${\displaystyle S(\rho ^{A},\rho ^{B})=S(\rho ^{AB})=-\operatorname {Tr} (\rho ^{AB}\log(\rho ^{AB})).}$

Cada subsistema tiene su propia entropía. El estado de los subsistemas se determina mediante la operación de rastreo parcial .

Propiedades

La entropía conjunta clásica siempre es al menos igual a la entropía de cada sistema individual. Este no es el caso de la entropía cuántica conjunta. Si el estado cuántico exhibe entrelazamiento cuántico , entonces la entropía de cada subsistema puede ser mayor que la entropía conjunta. Esto es equivalente al hecho de que la entropía cuántica condicional puede ser negativa, mientras que la entropía condicional clásica puede no serlo nunca. ${\displaystyle \rho ^{AB}}$

Consideremos un estado de máxima entrelazamiento , como un estado de Bell . Si es un estado de Bell, digamos, ${\displaystyle \rho ^{AB}}$

${\displaystyle \left|\Psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|00\rangle +|11\rangle \right),}$

Entonces, el sistema total es un estado puro, con entropía 0, mientras que cada subsistema individual es un estado mixto máximo, con entropía de von Neumann máxima . Por lo tanto, la entropía conjunta del sistema combinado es menor que la de los subsistemas. Esto se debe a que, en el caso de los estados entrelazados, no se pueden asignar estados definidos a los subsistemas, lo que da como resultado una entropía positiva. ${\displaystyle \log 2=1}$

Obsérvese que el fenómeno anterior no puede ocurrir si un estado es un estado puro separable. En ese caso, los estados reducidos de los subsistemas también son puros. Por lo tanto, todas las entropías son cero.

Relación con otras medidas de entropía

La entropía cuántica conjunta se puede utilizar para definir la entropía cuántica condicional : ${\displaystyle S(\rho ^{AB})}$

${\displaystyle S(\rho ^{A}|\rho ^{B})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ S(\rho ^{A},\rho ^{B})-S(\rho ^{B})}$

y la información mutua cuántica :

${\displaystyle I(\rho ^{A}:\rho ^{B})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ S(\rho ^{A})+S(\rho ^{B})-S(\rho ^{A},\rho ^{B})}$

Estas definiciones son paralelas al uso de la entropía conjunta clásica para definir la entropía condicional y la información mutua .

Véase también

• Entropía relativa cuántica
• Información mutua cuántica

Referencias

• Nielsen, Michael A. e Isaac L. Chuang, Computación cuántica e información cuántica . Cambridge University Press, 2000. ISBN  0-521-63235-8