Jerarquía BBGKY

Conjunto de ecuaciones que describen la dinámica de un sistema de muchas partículas en interacción.

En física estadística , la jerarquía BBGKY ( jerarquía de Bogoliubov–Born–Green–Kirkwood–Yvon , a veces llamada jerarquía de Bogoliubov ) es un conjunto de ecuaciones que describen la dinámica de un sistema de un gran número de partículas interactuantes. La ecuación para una función de distribución de s -partículas (función de densidad de probabilidad) en la jerarquía BBGKY incluye la función de distribución de ( s  + 1)-partículas, formando así una cadena acoplada de ecuaciones. Este resultado teórico formal recibe su nombre de Nikolay Bogolyubov , Max Born , Herbert S. Green , John Gamble Kirkwood y Jacques Yvon  [fr] .

Formulación

La evolución de un sistema de N partículas en ausencia de fluctuaciones cuánticas está dada por la ecuación de Liouville para la función de densidad de probabilidad en un espacio de fases de 6 N dimensiones (3 coordenadas espaciales y 3 coordenadas de momento por partícula). ${\displaystyle f_{N}=f_{N}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{N},t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial f_{N}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{N}{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m}}{\frac {\partial f_{N}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}+\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}{\frac {\partial f_{N}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=0,}$

¿Dónde están la posición y el momento de la partícula -ésima con masa , y la fuerza neta que actúa sobre la partícula -ésima es ${\displaystyle \mathbf {q} _{i},\mathbf {p} _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{i}=-\sum _{j=1\neq i}^{N}{\frac {\partial \Phi _{ij}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}-{\frac {\partial \Phi _{i}^{\text{ext}}}{\partial \mathbf {q} _{i}}},}$

donde es el potencial de par para la interacción entre partículas, y es el potencial del campo externo. Mediante la integración sobre parte de las variables, la ecuación de Liouville se puede transformar en una cadena de ecuaciones donde la primera ecuación conecta la evolución de la función de densidad de probabilidad de una partícula con la función de densidad de probabilidad de dos partículas, la segunda ecuación conecta la función de densidad de probabilidad de dos partículas con la función de densidad de probabilidad de tres partículas y, en general, la s -ésima ecuación conecta la función de densidad de probabilidad de s -partículas ${\displaystyle \Phi _{ij}(\mathbf {q} _{i},\mathbf {q} _{j})}$ ${\displaystyle \Phi ^{\text{ext}}(\mathbf {q} _{i})}$

${\displaystyle f_{s}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{s},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{s},t)=\int f_{N}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{N},t)\,d\mathbf {q} _{s+1}\dots d\mathbf {q} _{N}\,d\mathbf {p} _{s+1}\dots d\mathbf {p} _{N}}$

con la función de densidad de probabilidad de partículas ( s  + 1):

${\displaystyle {\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{s}{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m}}{\frac {\partial f_{s}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}-\sum _{i=1}^{s}\left(\sum _{j=1\neq i}^{s}{\frac {\partial \Phi _{ij}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}+{\frac {\partial \Phi _{i}^{ext}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}\right){\frac {\partial f_{s}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=(N-s)\sum _{i=1}^{s}\int {\frac {\partial \Phi _{i\,s+1}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}{\frac {\partial f_{s+1}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}\,d\mathbf {q} _{s+1}\,d\mathbf {p} _{s+1}.}$

La ecuación anterior para la función de distribución de partículas s se obtiene mediante la integración de la ecuación de Liouville sobre las variables . El problema con la ecuación anterior es que no es cerrada. Para resolver , uno tiene que saber , lo que a su vez exige resolver y hasta llegar a la ecuación de Liouville completa. Sin embargo, uno puede resolver , si pudiera modelarse. Un caso de este tipo es la ecuación de Boltzmann para , donde se modela en base a la hipótesis del caos molecular ( Stosszahlansatz ). De hecho, en la ecuación de Boltzmann está la integral de colisión. Este proceso limitante de obtener la ecuación de Boltzmann a partir de la ecuación de Liouville se conoce como límite de Boltzmann-Grad. ^[1] ${\displaystyle \mathbf {q} _{s+1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{s+1}\dots \mathbf {p} _{N}}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle f_{s+1}}$ ${\displaystyle f_{s+2}}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle f_{s+1}}$ ${\displaystyle f_{1}(\mathbf {q} _{1},\mathbf {p} _{1},t)}$ ${\displaystyle f_{2}(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},t)}$ ${\displaystyle f_{2}=f_{2}(\mathbf {p} _{1},\mathbf {p_{2}} ,t)}$

Interpretación física y aplicaciones

Esquemáticamente, la ecuación de Liouville nos da la evolución temporal para todo el sistema de partículas en la forma , que expresa un flujo incompresible de la densidad de probabilidad en el espacio de fases. Luego definimos las funciones de distribución reducidas de manera incremental integrando los grados de libertad de otra partícula . Una ecuación en la jerarquía BBGKY nos dice que la evolución temporal para tal está dada por una ecuación similar a la de Liouville, pero con un término de corrección que representa la influencia de la fuerza de las partículas suprimidas. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Df_{N}=0}$ ${\textstyle f_{s}\sim \int f_{s+1}}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle N-s}$

${\displaystyle Df_{s}\propto {\text{div}}_{\mathbf {p} }\langle {\text{grad}}_{\mathbf {q} }\Phi _{i,s+1}\rangle _{f_{s+1}}.}$

El problema de resolver la jerarquía de ecuaciones BBGKY es tan difícil como resolver la ecuación original de Liouville, pero se pueden hacer fácilmente aproximaciones para la jerarquía BBGKY (que permiten el truncamiento de la cadena en un sistema finito de ecuaciones). El mérito de estas ecuaciones es que las funciones de distribución superiores afectan la evolución temporal de sólo implícitamente a través de El truncamiento de la cadena BBGKY es un punto de partida común para muchas aplicaciones de la teoría cinética que se puede utilizar para la derivación de ecuaciones cinéticas clásicas ^{[2] [3]} o cuánticas ^[4] . En particular, el truncamiento en la primera ecuación o las dos primeras ecuaciones se puede utilizar para derivar ecuaciones clásicas y cuánticas de Boltzmann y las correcciones de primer orden a las ecuaciones de Boltzmann. Otras aproximaciones, como la suposición de que la función de probabilidad de densidad depende sólo de la distancia relativa entre las partículas o la suposición del régimen hidrodinámico, también pueden hacer que la cadena BBGKY sea accesible para la solución. ^[5] ${\displaystyle f_{s+2},f_{s+3},\dots }$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle f_{s+1}.}$

Bibliografía

Las funciones de distribución de partículas s fueron introducidas en la mecánica estadística clásica por J. Yvon en 1935. ^[6] La jerarquía BBGKY de ecuaciones para funciones de distribución de partículas s fue escrita y aplicada a la derivación de ecuaciones cinéticas por Bogoliubov en el artículo recibido en julio de 1945 y publicado en 1946 en ruso ^[2] y en inglés. ^[3] La teoría del transporte cinético fue considerada por Kirkwood en el artículo ^[7] recibido en octubre de 1945 y publicado en marzo de 1946, y en los artículos posteriores. ^[8] El primer artículo de Born y Green consideró una teoría cinética general de líquidos y fue recibido en febrero de 1946 y publicado el 31 de diciembre de 1946. ^[9]

Véase también

• Ecuación de Fokker-Planck
• Ecuación de Vlasov
• Enfoque de expansión de clústeres

Referencias

1. Harold Grad (1949). Sobre la teoría cinética de los gases enrarecidos. Comunicaciones sobre matemáticas puras y aplicadas, 2(4), 331–407.
2. NN Bogoliubov (1946). "Ecuaciones cinéticas". Revista de física experimental y teórica (en ruso). 16 (8): 691–702.
3. NN Bogoliubov (1946). "Ecuaciones cinéticas". Revista de Física de la URSS . 10 (3): 265–274.
4. NN Bogoliubov , KP Gurov (1947). "Ecuaciones cinéticas en mecánica cuántica". Revista de física experimental y teórica (en ruso). 17 (7): 614–628.
5. Harris, S. (2004). Introducción a la teoría de la ecuación de Boltzmann. Courier Corporation.
6. J. Yvon (1935): La théorie statistique des fluides et l'équation d'état (en francés), Actual. Ciencia. & Industria. № 203 (París, Hermann).
7. John G. Kirkwood (marzo de 1946). "La teoría mecánica estadística de los procesos de transporte I. Teoría general". The Journal of Chemical Physics . 14 (3): 180–201. Código Bibliográfico :1946JChPh..14..180K. doi :10.1063/1.1724117.
8. John G. Kirkwood (enero de 1947). "La teoría mecánica estadística de los procesos de transporte II. Transporte en gases". The Journal of Chemical Physics . 15 (1): 72–76. Bibcode :1947JChPh..15...72K. doi :10.1063/1.1746292.
9. M. Born y HS Green (31 de diciembre de 1946). "Una teoría cinética general de los líquidos I. Las funciones de distribución molecular". Proc. R. Soc. A . 188 (1012): 10–18. Bibcode :1946RSPSA.188...10B. doi : 10.1098/rspa.1946.0093 . PMID  20282515.