Jerarquía de Borel

En lógica matemática , la jerarquía de Borel es una estratificación del álgebra de Borel generada por los subconjuntos abiertos de un espacio polaco ; los elementos de esta álgebra se denominan conjuntos de Borel . A cada conjunto de Borel se le asigna un número ordinal contable único llamado rango del conjunto de Borel. La jerarquía de Borel es de particular interés en la teoría descriptiva de conjuntos .

Un uso común de la jerarquía de Borel es demostrar hechos sobre los conjuntos de Borel mediante inducción transfinita sobre rangos. Las propiedades de los conjuntos de rangos finitos pequeños son importantes en la teoría de la medida y el análisis .

Conjuntos de borel

El álgebra de Borel en un espacio topológico arbitrario es la colección más pequeña de subconjuntos del espacio que contiene los conjuntos abiertos y es cerrada bajo uniones numerables y complementación . Se puede demostrar que el álgebra de Borel también es cerrada bajo intersecciones numerables.

Una prueba breve de que el álgebra de Borel está bien definida se obtiene mostrando que todo el conjunto potencia del espacio está cerrado bajo complementos y uniones numerables y, por lo tanto, el álgebra de Borel es la intersección de todas las familias de subconjuntos del espacio que tienen estas propiedades de clausura. Esta prueba no proporciona un procedimiento simple para determinar si un conjunto es de Borel. Una motivación para la jerarquía de Borel es proporcionar una caracterización más explícita de los conjuntos de Borel.

Jerarquía de Borel en negrita

La jerarquía de Borel o jerarquía de Borel en negrita en un espacio X consta de clases , y para cada ordinal contable mayor que cero. Cada una de estas clases consta de subconjuntos de X . Las clases se definen de forma inductiva a partir de las siguientes reglas: ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$

• Un conjunto es in si y sólo si es abierto. ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{0}}$
• Un conjunto está en si y sólo si su complemento está en . ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$
• Un conjunto está en para si y sólo si hay una secuencia de conjuntos tales que cada uno está en para algunos y . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha _{i}}^{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}<\alpha }$ ${\displaystyle A=\bigcup A_{i}}$
• Un conjunto está en si y sólo si está a la vez en y en . ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$

La motivación de la jerarquía es seguir la forma en que se podría construir un conjunto de Borel a partir de conjuntos abiertos utilizando complementación y uniones contables. Se dice que un conjunto de Borel tiene rango finito si está en para algún ordinal finito ; de lo contrario, tiene rango infinito . ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$

Si entonces se puede demostrar que la jerarquía tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{0}\subseteq \mathbf {\Sigma } _{2}^{0}}$

• Para cada α , . Por lo tanto, una vez que un conjunto está en o , ese conjunto estará en todas las clases de la jerarquía correspondiente a los ordinales mayores que α ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}\cup \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}\subseteq \mathbf {\Delta } _{\alpha +1}^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$
• ${\displaystyle \bigcup _{\alpha <\omega _{1}}\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}=\bigcup _{\alpha <\omega _{1}}\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}=\bigcup _{\alpha <\omega _{1}}\mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}}$. Además, un conjunto está en esta unión si y sólo si es Borel.
• Si es un espacio polaco incontable, se puede demostrar que no está contenido en ningún , y por lo tanto la jerarquía no colapsa. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \alpha <\omega _{1}}$

Conjuntos de borel de pequeño rango

Las clases de rango pequeño se conocen con nombres alternativos en la teoría de conjuntos descriptivos clásica.

• Los conjuntos son los conjuntos abiertos. Los conjuntos son los conjuntos cerrados. ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{1}^{0}}$
• Los conjuntos son uniones contables de conjuntos cerrados y se denominan conjuntos F σ . Los conjuntos son de clase dual y pueden escribirse como una intersección contable de conjuntos abiertos. Estos conjuntos se denominan conjuntos G δ . ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{2}^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{2}^{0}}$

Jerarquía de caras luminosas

La jerarquía de Borel de cara clara (también llamada jerarquía de Borel efectiva ^{[1] pp.163--164} ) es una versión efectiva de la jerarquía de Borel de cara negrita. Es importante en la teoría de conjuntos descriptivos efectivos y la teoría de la recursión . La jerarquía de Borel de cara clara extiende la jerarquía aritmética de subconjuntos de un espacio polaco efectivo . Está estrechamente relacionada con la jerarquía hiperaritmética .

La jerarquía de Borel de cara clara se puede definir en cualquier espacio polaco efectivo. Consta de clases y , para cada ordinal contable distinto de cero menor que el ordinal de Church–Kleene , . Cada clase consta de subconjuntos del espacio. Las clases y los códigos para los elementos de las clases se definen inductivamente de la siguiente manera: ^[2] ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \Pi _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \Delta _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$

• Un conjunto es si y solo si es efectivamente abierto , es decir, un conjunto abierto que es la unión de una secuencia computablemente enumerable de conjuntos abiertos básicos. Un código para un conjunto de este tipo es un par (0,e) , donde e es el índice de un programa que enumera la secuencia de conjuntos abiertos básicos. ${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$
• Un conjunto es si y solo si su complemento es . Un código para uno de estos conjuntos es un par (1,c) donde c es un código para el conjunto complementario. ${\displaystyle \Pi _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }^{0}}$
• Un conjunto es si existe una secuencia de códigos computablemente enumerables para una secuencia de conjuntos tales que cada uno es para algún y . Un código para un conjunto es un par (2,e) , donde e es un índice de un programa que enumera los códigos de la secuencia . ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \Pi _{\alpha _{i}}^{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}<\alpha }$ ${\displaystyle A=\bigcup A_{i}}$ ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

Un código para un conjunto de Borel de cara clara proporciona información completa sobre cómo recuperar el conjunto a partir de conjuntos de rango inferior. Esto contrasta con la jerarquía de cara negrita, donde no se requiere tal efectividad. Cada conjunto de Borel de cara clara tiene una cantidad infinita de códigos distintos. Son posibles otros sistemas de codificación; la idea crucial es que un código debe distinguir eficazmente entre conjuntos efectivamente abiertos, complementos de conjuntos representados por códigos anteriores y enumeraciones computables de secuencias de códigos.

Se puede demostrar que para cada uno hay conjuntos en , y por lo tanto la jerarquía no colapsa. Sin embargo, no se agregarían nuevos conjuntos en la etapa . ${\displaystyle \alpha <\omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$ ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }^{0}\setminus \Pi _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$

Un famoso teorema de Spector y Kleene establece que un conjunto está en la jerarquía de Borel de cara clara si y sólo si está en el nivel de la jerarquía analítica . Estos conjuntos también se denominan hiperaritméticos . Además, para todos los números naturales , las clases y de la jerarquía de Borel efectiva son las mismas que las clases y de la jerarquía aritmética del mismo nombre. ^{[1] p.168} ${\displaystyle \Delta _{1}^{1}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{0}}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{0}}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$

El código para un conjunto de Borel de cara clara A se puede utilizar para definir inductivamente un árbol cuyos nodos están etiquetados por códigos. La raíz del árbol está etiquetada por el código para A . Si un nodo está etiquetado por un código de la forma (1,c) entonces tiene un nodo hijo cuyo código es c . Si un nodo está etiquetado por un código de la forma (2,e) entonces tiene un hijo por cada código enumerado por el programa con índice e . Si un nodo está etiquetado con un código de la forma (0,e) entonces no tiene hijos. Este árbol describe cómo se construye A a partir de conjuntos de rango menor. Los ordinales utilizados en la construcción de A aseguran que este árbol no tenga un camino infinito, porque cualquier camino infinito a través del árbol tendría que incluir infinitos códigos comenzando con 2 , y por lo tanto daría una secuencia infinita decreciente de ordinales. Por el contrario, si un subárbol arbitrario de tiene sus nodos etiquetados por códigos de manera consistente, y el árbol no tiene caminos infinitos, entonces el código en la raíz del árbol es un código para un conjunto de Borel de caras claras. El rango de este conjunto está limitado por el tipo de orden del árbol en el orden de Kleene–Brouwer . Debido a que el árbol es definible aritméticamente, este rango debe ser menor que . Este es el origen del ordinal de Church–Kleene en la definición de la jerarquía de caras claras. ${\displaystyle \omega ^{<\omega }\,}$ ${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$

Relación con otras jerarquías

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Véase también

• Jerarquía proyectiva
• Jerarquía de Wadge
• Jerarquía de Veblen

Referencias

1. PG Hinman, *Jerarquías recursivas*. Perspectivas en lógica matemática, Springer-Verlag (1978). ISBN 3-540-07904-1.
2. D. Martin, Determinación de Borel, Anales de Matemáticas, vol. 102, págs. 363-371 (1975)

Fuentes

• Kechris, Alexander . Teoría clásica de conjuntos descriptivos . Textos de posgrado en matemáticas, vol. 156, Springer-Verlag, 1995. ISBN  3-540-94374-9 .
• Jech, Thomas . Teoría de conjuntos , 3.ª edición. Springer, 2003. ISBN 3-540-44085-2 .