Un grupo de simetría unidimensional es un grupo matemático que describe simetrías en una dimensión (1D).
Un patrón en 1D se puede representar como una función f ( x ) para, digamos, el color en la posición x .
El único grupo de puntos no trivial en 1D es una reflexión simple . Puede representarse mediante el grupo de Coxeter más simple , A 1 , [ ], o el diagrama de Coxeter-Dynkin 
.
Los grupos de simetría afines representan la traslación . Las isometrías que dejan la función inalterada son las traslaciones x + a con a tal que f ( x + a ) = f ( x ) y las reflexiones a − x con a tal que f ( a − x ) = f ( x ). Las reflexiones se pueden representar mediante el grupo afín de Coxeter [∞], o diagrama de Coxeter-Dynkin 
representando dos reflexiones y la simetría traslacional como [∞] + , o diagrama de Coxeter-Dynkin
como el compuesto de dos reflexiones.
Para un patrón sin simetría traslacional existen las siguientes posibilidades ( grupos de puntos 1D ):
Estas simetrías afines pueden considerarse casos límite de los grupos cíclicos y diedros 2D :
Consideremos todos los patrones en 1D que tienen simetría traslacional , es decir, funciones f ( x ) tales que para algún a > 0, f ( x + a ) = f ( x ) para todo x . Para estos patrones, los valores de a para los que se cumple esta propiedad forman un grupo .
En primer lugar, consideramos los patrones cuyo grupo es discreto , es decir, cuyos valores positivos en el grupo tienen un mínimo. Al reescalar, hacemos que este valor mínimo sea 1.
Estos patrones se dividen en dos categorías: los dos grupos espaciales 1D o grupos de líneas .
En el caso más simple, las únicas isometrías de R que asignan el patrón a sí mismo son las traslaciones; esto se aplica, por ejemplo, al patrón
− −−− − −−− − −−− − −−−
Cada isometría puede caracterizarse mediante un número entero, es decir más o menos la distancia de traslación. Por lo tanto, el grupo de simetría es Z.
En el otro caso, entre las isometrías de R que mapean el patrón a sí mismo también hay reflexiones; esto se aplica, por ejemplo, al patrón
− −−− − − −−− − − −−− −
Elegimos el origen de x en uno de los puntos de reflexión. Ahora todas las reflexiones que asignan el patrón a sí mismo tienen la forma a − x donde la constante " a " es un entero (los incrementos de a son 1 nuevamente, porque podemos combinar una reflexión y una traslación para obtener otra reflexión, y podemos combinar dos reflexiones para obtener una traslación). Por lo tanto, todas las isometrías se pueden caracterizar por un entero y un código, digamos 0 o 1, para la traslación o la reflexión.
De este modo:
Esta última es una reflexión con respecto al punto a /2 (un entero o un entero más 1/2).
Las operaciones de grupo ( composición de funciones , la de la derecha primero) son, para los números enteros a y b :
Por ejemplo, en el tercer caso: una traslación por una cantidad b cambia x en x + b , una reflexión con respecto a 0 da − x − b , y una traslación a da a − b − x .
Este grupo se llama grupo diedro generalizado de Z , Dih( Z ), y también D ∞ . Es un producto semidirecto de Z y C 2 . Tiene un subgrupo normal de índice 2 isomorfo a Z : las traslaciones. También contiene un elemento f de orden 2 tal que, para todo n en Z , n f = f n −1 : la reflexión respecto del punto de referencia, (0,1).
Los dos grupos se denominan grupos reticulares . El reticulado es Z. Como celda de traslación podemos tomar el intervalo 0 ≤ x < 1. En el primer caso el dominio fundamental puede tomarse igual; topológicamente es un círculo (1- toro ); en el segundo caso podemos tomar 0 ≤ x ≤ 0,5.
El grupo de simetría discreto real de un patrón simétrico traslacional puede ser:
El conjunto de patrones traslacionalmente simétricos puede así clasificarse por grupo de simetría real, mientras que los grupos de simetría real, a su vez, pueden clasificarse como tipo 1 o tipo 2.
Estos tipos de grupos espaciales son los grupos de simetría “hasta la conjugación con respecto a las transformaciones afines”: la transformación afín cambia la distancia de traslación a la estándar (arriba: 1), y la posición de uno de los puntos de reflexión, si corresponde, al origen. Por lo tanto, el grupo de simetría real contiene elementos de la forma gag −1 = b , que es un conjugado de a .
Para un “patrón” homogéneo, el grupo de simetría contiene todas las traslaciones y reflexiones en todos los puntos. El grupo de simetría es isomorfo a Dih( R ).
También existen patrones/funciones menos triviales con simetría traslacional para traslaciones arbitrariamente pequeñas, por ejemplo, el grupo de traslaciones por distancias racionales. Incluso sin tener en cuenta el escalado y el desplazamiento, existen infinitos casos, por ejemplo, al considerar números racionales cuyos denominadores son potencias de un número primo dado.
Las traslaciones forman un grupo de isometrías. Sin embargo, no existe un patrón con este grupo como grupo de simetría.
Las simetrías de una función (en el sentido de este artículo) implican simetrías correspondientes de su gráfico. Sin embargo, la simetría rotacional doble del gráfico no implica ninguna simetría (en el sentido de este artículo) de la función: los valores de la función (en un patrón que representa colores, tonos de gris, etc.) son datos nominales , es decir, el gris no está entre el negro y el blanco, los tres colores son simplemente todos diferentes.
Incluso con colores nominales puede haber un tipo especial de simetría, como en:
−−−−−−− -- − −−− − − −
(la reflexión da la imagen negativa). Esto tampoco está incluido en la clasificación.
Las acciones grupales del grupo de simetría que pueden considerarse en este contexto son:
Esta sección ilustra conceptos de acción grupal para estos casos.
La acción de G sobre X se llama
Consideremos un grupo G que actúa sobre un conjunto X. La órbita de un punto x en X es el conjunto de elementos de X al que x puede ser movido por los elementos de G. La órbita de x se denota por Gx :
Caso que la acción del grupo esté en R :
Caso en que la acción del grupo sea sobre patrones:
El conjunto de todas las órbitas de X bajo la acción de G se escribe como X / G .
Si Y es un subconjunto de X , escribimos GY para el conjunto { g · y : y Y y g G }. Llamamos al subconjunto Y invariante bajo G si GY = Y (que es equivalente a GY ⊆ Y ). En ese caso, G también opera sobre Y . El subconjunto Y se llama fijo bajo G si g · y = y para todo g en G y todo y en Y . En el ejemplo de la órbita {−8,−6,2,4,12,14,22,24,..}, {−9,−8,−6,−5,1,2,4,5,11,12,14,15,21,22,24,25,..} es invariante bajo G , pero no fijo.
Para cada x en X , definimos el subgrupo estabilizador de x (también llamado grupo de isotropía o grupo pequeño ) como el conjunto de todos los elementos en G que fijan x :
Si x es un punto de reflexión, su estabilizador es el grupo de orden dos que contiene la identidad y la reflexión en x . En otros casos el estabilizador es el grupo trivial.
Para una x fija en X , considere la función de G a X dada por . La imagen de esta función es la órbita de x y la coimagen es el conjunto de todas las clases laterales izquierdas de G x . El teorema del cociente estándar de la teoría de conjuntos da entonces una biyección natural entre y . Específicamente, la biyección está dada por . Este resultado se conoce como el teorema del estabilizador de órbita . Si, en el ejemplo, tomamos , la órbita es {−7,3,13,23,..}, y los dos grupos son isomorfos con Z .
Si dos elementos y pertenecen a la misma órbita, entonces sus subgrupos estabilizadores, y , son isomorfos . Más precisamente: si , entonces . En el ejemplo esto se aplica, por ejemplo, para 3 y 23, ambos puntos de reflexión. La reflexión sobre 23 corresponde a una traslación de −20, la reflexión sobre 3 y la traslación de 20.
