Isofota

Curva sobre una superficie iluminada a través de puntos de igual brillo

elipsoide con isofotas (rojo)

En geometría , una isofota es una curva en una superficie iluminada que une puntos de igual brillo . Se supone que la iluminación se realiza mediante luz paralela y el brillo b se mide mediante el siguiente producto escalar :

${\displaystyle b(P)={\vec {n}}(P)\cdot {\vec {v}}=\cos \varphi }$

donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\vec {n}}(P)}$ es el vector normal unitario de la superficie en el punto P y ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ el vector unitario de la dirección de la luz. Si b ( P ) = 0 , es decir, la luz es perpendicular a la normal de la superficie, entonces el punto P es un punto de la silueta de la superficie observada en la dirección ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\vec {v}}.}$ El brillo 1 significa que el vector de luz es perpendicular a la superficie. Un plano no tiene isófotas, porque cada punto tiene el mismo brillo.

En astronomía , una isofota es una curva en una fotografía que conecta puntos de igual brillo. ^[1]

Aplicación y ejemplo

En el diseño asistido por ordenador , las isofotas se utilizan para comprobar ópticamente la suavidad de las conexiones de superficies. Para una superficie (implícita o paramétrica), que es suficientemente diferenciable, el vector normal depende de las primeras derivadas. Por tanto, la diferenciabilidad de las isofotas y su continuidad geométrica es 1 menos que la de la superficie. Si en un punto de la superficie solo los planos tangentes son continuos (es decir, G1-continuos), las isofotas tienen allí un punto de inflexión (es decir, solo son G0-continuas).

En el siguiente ejemplo (véase diagrama), dos superficies de Bézier que se intersecan se fusionan mediante un tercer parche de superficie. En la imagen de la izquierda, la superficie fusionada solo tiene contacto G1 con las superficies de Bézier y, en la imagen de la derecha, las superficies tienen contacto G2. Esta diferencia no se puede reconocer en la imagen. Pero la continuidad geométrica de las isofotas se muestra: en el lado izquierdo, tienen pliegues (es decir, continuidad G0) y ​​en el lado derecho, son suaves (es decir, continuidad G1).

• 
  Isófotas en dos superficies de Bézier y una superficie de mezcla continua G1 (izquierda) y continua G2 (derecha): a la izquierda, las isófotas tienen pliegues y son suaves a la derecha.

Determinación de puntos de una isofota

Sobre una superficie implícita

Para una superficie implícita con ecuación, la condición de isofota es Esto significa que los puntos de una isofota con un parámetro dado c son soluciones del sistema no lineal que puede considerarse como la curva de intersección de dos superficies implícitas. Utilizando el algoritmo de trazado de Bajaj et al. (ver referencias) se puede calcular un polígono de puntos. ${\displaystyle f(x,y,z)=0,}$ $${\displaystyle {\frac {\nabla f\cdot {\vec {v}}}{|\nabla f|}}=c\ .}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y,z)&=0,\\[4pt]\nabla f(x,y,z)\cdot {\vec {v}}-c\;|\nabla f(x,y,z)|&=0,\end{aligned}}}$$

Sobre una superficie paramétrica

En el caso de una superficie paramétrica la condición de isofota es ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {S}}(s,t)}$

$${\displaystyle {\frac {({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t}|}}=c\ .}$$

que es equivalente a Esta ecuación describe una curva implícita en el plano st, que puede trazarse mediante un algoritmo adecuado (ver curva implícita ) y transformarse en puntos de superficie. $${\displaystyle \ ({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}-c\;|{\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t}|=0\ .}$$ ${\displaystyle {\vec {S}}(s,t)}$

Véase también

• Línea de contorno

Referencias

• J. Hoschek, D. Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung , Teubner-Verlag, Stuttgart, 1989, ISBN  3-519-02962-6 , pág. 31.
• Z. Sun, S. Shan, H. Sang et al.: Reconocimiento biométrico , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-12483-4 , pág. 158. 
• CL Bajaj, CM Hoffmann, RE Lynch, JEH Hopcroft: Trazado de intersecciones de superficies , (1988) Comp. Aided Geom. Design 5, págs. 285–307.
• CT Leondes: Sistemas de fabricación integrados y asistidos por computadora: métodos de optimización , Vol. 3, World Scientific, 2003, ISBN 981-238-981-4 , pág. 209. 

1. J. Binney, M. Merrifield: Astronomía galáctica , Princeton University Press, 1998, ISBN 0-691-00402-1 , pág. 178. 

Enlaces externos

• Patrikalakis-Maekawa-Cho: Isófotas (inglés)
• A. Diatta, P. Giblin: Geometría de las curvas isofotas
• Jin Kim: Cálculo de isófotas de superficies de revolución y de superficies de canal