Distribución de Wishart inversa

Distribución de probabilidad

En estadística , la distribución de Wishart inversa , también llamada distribución de Wishart invertida , es una distribución de probabilidad definida en matrices definidas positivas de valores reales . En estadística bayesiana, se utiliza como la distribución previa conjugada para la matriz de covarianza de una distribución normal multivariante .

Decimos que sigue una distribución Wishart inversa, denotada como , si su inversa tiene una distribución Wishart . Se han derivado identidades importantes para la distribución Wishart inversa. ^[2] ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\mathcal {W}}^{-1}(\mathbf {\Psi } ,\nu )}$ ${\displaystyle \mathbf {X} ^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}(\mathbf {\Psi } ^{-1},\nu )}$

Densidad

La función de densidad de probabilidad de la función inversa de Wishart es: ^[3]

${\displaystyle f_{\mathbf {X} }({\mathbf {X} };{\mathbf {\Psi } },\nu )={\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{\nu /2}}{2^{\nu p/2}\Gamma _{p}({\frac {\nu }{2}})}}\left|\mathbf {X} \right|^{-(\nu +p+1)/2}e^{-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\mathbf {\Psi } \mathbf {X} ^{-1})}}$

donde y son matrices definidas positivas , es el determinante y es la función gamma multivariada . ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle {\mathbf {\Psi } }}$ ${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle \Gamma _{p}(\cdot )}$

Teoremas

Distribución de la inversa de una matriz distribuida según Wishart

Si y es de tamaño , entonces tiene una distribución Wishart inversa . ^[4] ${\displaystyle {\mathbf {X} }\sim {\mathcal {W}}({\mathbf {\Sigma } },\nu )}$ ${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}$ ${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ={\mathbf {X} }^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \sim {\mathcal {W}}^{-1}({\mathbf {\Sigma } }^{-1},\nu )}$

Distribuciones marginales y condicionales a partir de una matriz distribuida de Wishart inversa

Supongamos que tiene una distribución Wishart inversa. Particionamos las matrices de manera que coincidan entre sí. ${\displaystyle {\mathbf {A} }\sim {\mathcal {W}}^{-1}({\mathbf {\Psi } },\nu )}$ ${\displaystyle {\mathbf {A} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {\Psi } }}$

${\displaystyle {\mathbf {A} }={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{bmatrix}},\;{\mathbf {\Psi } }={\begin{bmatrix}\mathbf {\Psi } _{11}&\mathbf {\Psi } _{12}\\\mathbf {\Psi } _{21}&\mathbf {\Psi } _{22}\end{bmatrix}}}$

donde y son matrices, entonces tenemos ${\displaystyle {\mathbf {A} _{ij}}}$ ${\displaystyle {\mathbf {\Psi } _{ij}}}$ ${\displaystyle p_{i}\times p_{j}}$

1. ${\displaystyle \mathbf {A} _{11}}$es independiente de y , donde es el complemento de Schur de en ; ${\displaystyle \mathbf {A} _{11}^{-1}\mathbf {A} _{12}}$ ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{22\cdot 1}}$ ${\displaystyle {\mathbf {A} _{22\cdot 1}}={\mathbf {A} }_{22}-{\mathbf {A} }_{21}{\mathbf {A} }_{11}^{-1}{\mathbf {A} }_{12}}$ ${\displaystyle {\mathbf {A} _{11}}}$ ${\displaystyle {\mathbf {A} }}$
2. ${\displaystyle {\mathbf {A} _{11}}\sim {\mathcal {W}}^{-1}({\mathbf {\Psi } _{11}},\nu -p_{2})}$;
3. ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{11}^{-1}{\mathbf {A} }_{12}\mid {\mathbf {A} }_{22\cdot 1}\sim MN_{p_{1}\times p_{2}}({\mathbf {\Psi } }_{11}^{-1}{\mathbf {\Psi } }_{12},{\mathbf {A} }_{22\cdot 1}\otimes {\mathbf {\Psi } }_{11}^{-1})}$, donde es una distribución normal matricial ; ${\displaystyle MN_{p\times q}(\cdot ,\cdot )}$
4. ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{22\cdot 1}\sim {\mathcal {W}}^{-1}({\mathbf {\Psi } }_{22\cdot 1},\nu )}$, dónde ; ${\displaystyle {\mathbf {\Psi } _{22\cdot 1}}={\mathbf {\Psi } }_{22}-{\mathbf {\Psi } }_{21}{\mathbf {\Psi } }_{11}^{-1}{\mathbf {\Psi } }_{12}}$

Distribución conjugada

Supongamos que deseamos hacer una inferencia sobre una matriz de covarianza cuya distribución previa tiene una distribución. Si las observaciones son variables gaussianas independientes de p-variante extraídas de una distribución, entonces la distribución condicional tiene una distribución donde . ${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}$ ${\displaystyle {p(\mathbf {\Sigma } )}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}^{-1}({\mathbf {\Psi } },\nu )}$ ${\displaystyle \mathbf {X} =[\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}]}$ ${\displaystyle N(\mathbf {0} ,{\mathbf {\Sigma } })}$ ${\displaystyle {p(\mathbf {\Sigma } \mid \mathbf {X} )}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}^{-1}({\mathbf {A} }+{\mathbf {\Psi } },n+\nu )}$ ${\displaystyle {\mathbf {A} }=\mathbf {X} \mathbf {X} ^{T}}$

Debido a que las distribuciones anterior y posterior son la misma familia, decimos que la distribución Wishart inversa es conjugada a la gaussiana multivariada.

Debido a su conjugación con la gaussiana multivariada, es posible marginalizar (integrar) el parámetro de la gaussiana , utilizando la fórmula y la identidad del álgebra lineal : ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ ${\displaystyle p(x)={\frac {p(x|\Sigma )p(\Sigma )}{p(\Sigma |x)}}}$ ${\displaystyle v^{T}\Omega v={\text{tr}}(\Omega vv^{T})}$

${\displaystyle f_{\mathbf {X} \,\mid \,\Psi ,\nu }(\mathbf {x} )=\int f_{\mathbf {X} \,\mid \,\mathbf {\Sigma } \,=\,\sigma }(\mathbf {x} )f_{\mathbf {\Sigma } \,\mid \,\mathbf {\Psi } ,\nu }(\sigma )\,d\sigma ={\frac {|\mathbf {\Psi } |^{\nu /2}\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +n}{2}}\right)}{\pi ^{np/2}|\mathbf {\Psi } +\mathbf {A} |^{(\nu +n)/2}\Gamma _{p}({\frac {\nu }{2}})}}}$

(esto es útil porque la matriz de varianza no se conoce en la práctica, pero debido a que se conoce a priori y se puede obtener a partir de los datos, el lado derecho se puede evaluar directamente). La distribución de Wishart inversa como una distribución previa se puede construir a través del conocimiento previo transferido existente . ^[5] ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ ${\displaystyle {\mathbf {\Psi } }}$ ${\displaystyle {\mathbf {A} }}$

Momentos

Lo siguiente se basa en Press, SJ (1982) "Applied Multivariate Analysis", 2.ª ed. (Dover Publications, Nueva York), después de repararetizar el grado de libertad para que sea coherente con la definición de pdf anterior.

Sea con y , de modo que . ${\displaystyle W\sim {\mathcal {W}}(\mathbf {\Psi } ^{-1},\nu )}$ ${\displaystyle \nu \geq p}$ ${\displaystyle X\doteq W^{-1}}$ ${\displaystyle X\sim {\mathcal {W}}^{-1}(\mathbf {\Psi } ,\nu )}$

La media: ^{[4] : 85}

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {X} )={\frac {\mathbf {\Psi } }{\nu -p-1}}.}$

La varianza de cada elemento de : ${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle \operatorname {Var} (x_{ij})={\frac {(\nu -p+1)\psi _{ij}^{2}+(\nu -p-1)\psi _{ii}\psi _{jj}}{(\nu -p)(\nu -p-1)^{2}(\nu -p-3)}}}$

La varianza de la diagonal utiliza la misma fórmula que la anterior con , que se simplifica a: ${\displaystyle i=j}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (x_{ii})={\frac {2\psi _{ii}^{2}}{(\nu -p-1)^{2}(\nu -p-3)}}.}$

La covarianza de los elementos de se da por: ${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle \operatorname {Cov} (x_{ij},x_{k\ell })={\frac {2\psi _{ij}\psi _{k\ell }+(\nu -p-1)(\psi _{ik}\psi _{j\ell }+\psi _{i\ell }\psi _{kj})}{(\nu -p)(\nu -p-1)^{2}(\nu -p-3)}}}$

Los mismos resultados se expresan en forma de producto Kronecker por von Rosen ^[6] de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} \left(W^{-1}\otimes W^{-1}\right)&=c_{1}\Psi \otimes \Psi +c_{2}Vec(\Psi )Vec(\Psi )^{T}+c_{2}K_{pp}\Psi \otimes \Psi \\\mathbf {Cov} _{\otimes }\left(W^{-1},W^{-1}\right)&=(c_{1}-c_{3})\Psi \otimes \Psi +c_{2}Vec(\Psi )Vec(\Psi )^{T}+c_{2}K_{pp}\Psi \otimes \Psi \end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{2}&=\left[(\nu -p)(\nu -p-1)(\nu -p-3)\right]^{-1}\\c_{1}&=(\nu -p-2)c_{2}\\c_{3}&=(\nu -p-1)^{-2},\end{aligned}}}$

${\displaystyle K_{pp}{\text{ is a }}p^{2}\times p^{2}}$ matriz de conmutación

${\displaystyle \mathbf {Cov} _{\otimes }\left(W^{-1},W^{-1}\right)=\mathbf {E} \left(W^{-1}\otimes W^{-1}\right)-\mathbf {E} \left(W^{-1}\right)\otimes \mathbf {E} \left(W^{-1}\right).}$

Parece haber un error tipográfico en el documento por el cual el coeficiente de se da como en lugar de , y que la expresión para el inverso cuadrático medio de Wishart, corolario 3.1, debería leerse ${\displaystyle K_{pp}\Psi \otimes \Psi }$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

${\displaystyle \mathbf {E} \left[W^{-1}W^{-1}\right]=(c_{1}+c_{2})\Sigma ^{-1}\Sigma ^{-1}+c_{2}\Sigma ^{-1}\mathbf {tr} (\Sigma ^{-1}).}$

Para mostrar cómo los términos interactuantes se vuelven dispersos cuando la covarianza es diagonal, sea y introduzca algunos parámetros arbitrarios : ${\displaystyle \Psi =\mathbf {I} _{3\times 3}}$ ${\displaystyle u,v,w}$

${\displaystyle \mathbf {E} \left(W^{-1}\otimes W^{-1}\right)=u\Psi \otimes \Psi +v\,\mathrm {vec} (\Psi )\,\mathrm {vec} (\Psi )^{T}+wK_{pp}\Psi \otimes \Psi .}$

donde denota el operador de vectorización de matrices . Entonces la segunda matriz de momento se convierte en ${\displaystyle \mathrm {vec} }$

${\displaystyle \mathbf {E} \left(W^{-1}\otimes W^{-1}\right)={\begin{bmatrix}u+v+w&\cdot &\cdot &\cdot &v&\cdot &\cdot &\cdot &v\\\cdot &u&\cdot &w&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &u&\cdot &\cdot &\cdot &w&\cdot &\cdot \\\cdot &w&\cdot &u&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\v&\cdot &\cdot &\cdot &u+v+w&\cdot &\cdot &\cdot &v\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &u&\cdot &w&\cdot \\\cdot &\cdot &w&\cdot &\cdot &\cdot &u&\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &w&\cdot &u&\cdot \\v&\cdot &\cdot &\cdot &v&\cdot &\cdot &\cdot &u+v+w\\\end{bmatrix}}}$

que es distinto de cero solo cuando se involucran las correlaciones de los elementos diagonales de , todos los demás elementos no están correlacionados entre sí, aunque no son necesariamente independientes desde el punto de vista estadístico. Cook et al. ^[7] también obtienen las varianzas del producto Wishart en el caso singular y, por extensión, en el caso de rango completo. ${\displaystyle W^{-1}}$

Muirhead ^[8] muestra en el Teorema 3.2.8 que si se distribuye como y es un vector arbitrario, independiente de entonces y , cediéndose un grado de libertad por la estimación de la media de la muestra en este último. De manera similar, Bodnar et.al. encuentran además que y fijando la distribución marginal del elemento diagonal principal es así ${\displaystyle A^{p\times p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{p}(\nu ,\Sigma )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V^{T}AV\sim {\mathcal {W}}_{1}(\nu ,A^{T}\Sigma A)}$ ${\displaystyle {\frac {V^{T}AV}{V^{T}\Sigma V}}\sim \chi _{\nu -1}^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {V^{T}A^{-1}V}{V^{T}\Sigma ^{-1}V}}\sim {\text{Inv-}}\chi _{\nu -p+1}^{2}}$ ${\displaystyle V=(1,\,0,\cdots ,0)^{T}}$

${\displaystyle {\frac {[A^{-1}]_{1,1}}{[\Sigma ^{-1}]_{1,1}}}\sim {\frac {2^{-k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{-k/2-1}e^{-1/(2x)},\;\;k=\nu -p+1}$

y al rotar los extremos se obtiene un resultado similar para todos los elementos diagonales . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle [A^{-1}]_{i,i}}$

^{Brennan y Reed [9]} demostraron un resultado correspondiente en el caso complejo de Wishart y Shaman ^[10] demostró que el complejo inverso no correlacionado de Wishart tiene una estructura estadística diagonal en la que los elementos diagonales principales están correlacionados, mientras que todos los demás elementos no están correlacionados. ${\displaystyle {\mathcal {W_{C}}}^{-1}(\mathbf {I} ,\nu ,p)}$

Distribuciones relacionadas

• Una especialización univariante de la distribución Wishart inversa es la distribución gamma inversa . Con (es decir, univariante) y , y la función de densidad de probabilidad de la distribución Wishart inversa se convierte en matriz ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle \alpha =\nu /2}$ ${\displaystyle \beta =\mathbf {\Psi } /2}$ ${\displaystyle x=\mathbf {X} }$

${\displaystyle p(x\mid \alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }\,x^{-\alpha -1}\exp(-\beta /x)}{\Gamma _{1}(\alpha )}}.}$

es decir, la distribución gamma inversa, donde es la función Gamma ordinaria . ${\displaystyle \Gamma _{1}(\cdot )}$

• La distribución de Wishart inversa es un caso especial de la distribución gamma matricial inversa cuando el parámetro de forma y el parámetro de escala son . ${\displaystyle \alpha ={\frac {\nu }{2}}}$ ${\displaystyle \beta =2}$
• Otra generalización se ha denominado distribución Wishart inversa generalizada, . Se dice que una matriz definida positiva se distribuye como si se distribuye como . Aquí denota la raíz cuadrada de la matriz simétrica de , los parámetros son matrices definidas positivas y el parámetro es un escalar positivo mayor que . Nótese que cuando es igual a una matriz identidad, . Esta distribución Wishart inversa generalizada se ha aplicado para estimar las distribuciones de procesos autorregresivos multivariados. ^[11] ${\displaystyle {\mathcal {GW}}^{-1}}$ ${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle {\mathcal {GW}}^{-1}(\mathbf {\Psi } ,\nu ,\mathbf {S} )}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {X} ^{1/2}\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {X} ^{1/2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}^{-1}(\mathbf {\Psi } ,\nu )}$ ${\displaystyle \mathbf {X} ^{1/2}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Psi } ,\mathbf {S} }$ ${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle 2p}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle {\mathcal {GW}}^{-1}(\mathbf {\Psi } ,\nu ,\mathbf {S} )={\mathcal {W}}^{-1}(\mathbf {\Psi } ,\nu )}$
• Un tipo diferente de generalización es la distribución normal-inversa-Wishart , esencialmente el producto de una distribución normal multivariada con una distribución Wishart inversa.
• Cuando la matriz de escala es una matriz identidad, , y es una matriz ortogonal arbitraria, el reemplazo de por no cambia la función de densidad de probabilidad de por lo que pertenece a la familia de procesos aleatorios esféricamente invariantes (SIRPs) en algún sentido. ^{[ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle {\mathcal {\Psi }}=\mathbf {I} }$ ${\displaystyle {\mathcal {\Phi }}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle {\Phi }\mathbf {X} {\mathcal {\Phi }}^{T}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}^{-1}(\mathbf {I} ,\nu ,p)}$

Por lo tanto, un p-vector arbitrario con longitud se puede rotar en el vector sin cambiar la función de densidad de probabilidad de , además puede ser una matriz de permutación que intercambia elementos diagonales. De ello se deduce que los elementos diagonales de tienen una distribución chi cuadrado inversa idéntica, con la función de densidad de probabilidad en la sección anterior, aunque no son mutuamente independientes. El resultado se conoce en las estadísticas de cartera óptimas, como en el Teorema 2 Corolario 1 de Bodnar et al, ^[12] donde se expresa en la forma inversa . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle l_{2}}$ ${\displaystyle V^{T}V=1}$ ${\displaystyle \mathbf {\Phi } V=[1\;0\;0\cdots ]^{T}}$ ${\displaystyle V^{T}\mathbf {X} V}$ ${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle f_{x_{11}}}$ ${\displaystyle {\frac {V^{T}\mathbf {\Psi } V}{V^{T}\mathbf {X} V}}\sim \chi _{\nu -p+1}^{2}}$

• Como sucede con la distribución Wishart, las transformaciones lineales de la distribución dan como resultado una distribución Wishart inversa modificada. Si y son matrices de rango completo, entonces ^[13] ${\displaystyle \mathbf {X^{p\times p}} \sim {\mathcal {W}}_{p}^{-1}\left({\mathbf {\Psi } },\nu \right).}$ ${\displaystyle {\mathbf {\Theta } }^{p\times p}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Theta } \mathbf {X} {\mathbf {\Theta } }^{T}\sim {\mathcal {W}}_{p}^{-1}\left({\mathbf {\Theta } }{\mathbf {\Psi } }{\mathbf {\Theta } }^{T},\nu \right).}$
• Si y es de rango completo entonces ^[13] ${\displaystyle \mathbf {X^{p\times p}} \sim {\mathcal {W}}_{p}^{-1}\left({\mathbf {\Psi } },\nu \right).}$ ${\displaystyle {\mathbf {\Theta } }^{m\times p}}$ ${\displaystyle m\times p,\;\;m<p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {\Theta } \mathbf {X} {\mathbf {\Theta } }^{T}\sim {\mathcal {W}}_{m}^{-1}\left({\mathbf {\Theta } }{\mathbf {\Psi } }{\mathbf {\Theta } }^{T},\nu \right).}$

Véase también

• Distribución gamma de matriz inversa
• Distribución normal matricial
• Distribución de Wishart
• Distribución inversa compleja de Wishart

Referencias

1. A. O'Hagan y JJ Forster (2004). Teoría avanzada de la estadística de Kendall: inferencia bayesiana . Vol. 2B (2.ª ed.). Arnold. ISBN 978-0-340-80752-1.
2. Haff, LR (1979). "Una identidad para la distribución Wishart con aplicaciones". Journal of Multivariate Analysis . 9 (4): 531–544. doi :10.1016/0047-259x(79)90056-3.
3. Gelman, Andrew; Carlin, John B.; Stern, Hal S.; Dunson, David B.; Vehtari, Aki; Rubin, Donald B. (1 de noviembre de 2013). Análisis de datos bayesianos, tercera edición (3.ª ed.). Boca Raton: Chapman and Hall/CRC. ISBN 9781439840955.
4. Kanti V. Mardia , JT Kent y JM Bibby (1979). Análisis multivariado . Academic Press . ISBN 978-0-12-471250-8.
5. Shahrokh Esfahani, Mohammad; Dougherty, Edward (2014). "Incorporación del conocimiento de las vías biológicas en la construcción de valores previos para la clasificación bayesiana óptima". IEEE Transactions on Bioinformatics and Computational Biology . 11 (1): 202–218. doi :10.1109/tcbb.2013.143. PMID  26355519. S2CID  10096507.
6. Rosen, Dietrich von (1988). "Momentos para la distribución Wishart invertida". Scand. J. Stat . 15 : 97–109 – vía JSTOR.
7. Cook, RD; Forzani, Liliana (agosto de 2019). Cook, Brian (ed.). "Sobre la media y la varianza de la inversa generalizada de una matriz de Wishart singular". Revista electrónica de estadística . 5 . doi :10.4324/9780429344633. ISBN 9780429344633.S2CID146200569  .​
8. Muirhead, Robb (1982). Aspectos de la teoría estadística multivariante . Estados Unidos: Wiley. pág. 93. ISBN. 0-471-76985-1.
9. Brennan, LE; Reed, IS (enero de 1982). "Un algoritmo de procesamiento de señales de matriz adaptativa para comunicaciones". IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems . 18 (1): 120–130. Bibcode :1982ITAES..18..124B. doi :10.1109/TAES.1982.309212. S2CID  45721922.
10. Shaman, Paul (1980). "La distribución Wishart compleja invertida y su aplicación a la estimación espectral" (PDF) . Journal of Multivariate Analysis . 10 : 51–59. doi :10.1016/0047-259X(80)90081-0.
11. Triantafyllopoulos, K. (2011). "Estimación de covarianza en tiempo real para el modelo de nivel local". Journal of Time Series Analysis . 32 (2): 93–107. arXiv : 1311.0634 . doi :10.1111/j.1467-9892.2010.00686.x. S2CID  88512953.
12. Bodnar, T.; Mazur, S.; Podgórski, K. (enero de 2015). "Distribución de Wishart inversa singular con aplicación a la teoría de carteras". Departamento de Estadística, Universidad de Lund . (Documentos de trabajo en estadística, n.º 2): 1–17.
13. Bodnar, T; Mazur, S; Podgorski, K (2015). "Distribución de Wishart inversa singular con aplicación a la teoría de cartera". Revista de análisis multivariante . 143 : 314–326. doi :10.1016/j.jmva.2015.09.021.