Invariante diferencial

En matemáticas , un invariante diferencial es un invariante para la acción de un grupo de Lie en un espacio que involucra las derivadas de gráficos de funciones en el espacio. Los invariantes diferenciales son fundamentales en la geometría diferencial proyectiva , y la curvatura a menudo se estudia desde este punto de vista. ^[1] Los invariantes diferenciales fueron introducidos en casos especiales por Sophus Lie a principios de la década de 1880 y estudiados por Georges Henri Halphen al mismo tiempo. Lie (1884) fue el primer trabajo general sobre invariantes diferenciales, y estableció la relación entre invariantes diferenciales, ecuaciones diferenciales invariantes y operadores diferenciales invariantes .

Los invariantes diferenciales se contrastan con los invariantes geométricos. Mientras que los invariantes diferenciales pueden implicar una elección diferenciada de variables independientes (o una parametrización), los invariantes geométricos no lo hacen. El método de Élie Cartan de mover los marcos es un refinamiento que, aunque menos general que los métodos de invariantes diferenciales de Lie, siempre produce invariantes de tipo geométrico.

Definición

El caso más simple es para invariantes diferenciales para una variable independiente x y una variable dependiente y . Sea G un grupo de Lie que actúa sobre R ² . Entonces G también actúa, localmente, sobre el espacio de todos los grafos de la forma y  =  ƒ ( x ). En términos generales, un invariante diferencial de orden k es una función

${\displaystyle I\left(x,y,{\frac {dy}{dx}},\dots ,{\frac {d^{k}y}{dx^{k}}}\right)}$

dependiendo de y y sus primeras k derivadas con respecto a x , que es invariante bajo la acción del grupo.

El grupo puede actuar sobre las derivadas de orden superior de una manera no trivial que requiere calcular la prolongación de la acción del grupo. La acción de G sobre la primera derivada, por ejemplo, es tal que la regla de la cadena sigue siendo válida: si

${\displaystyle ({\overline {x}},{\overline {y}})=g\cdot (x,y),}$

entonces

${\displaystyle g\cdot \left(x,y,{\frac {dy}{dx}}\right){\stackrel {\text{def}}{=}}\left({\overline {x}},{\overline {y}},{\frac {d{\overline {y}}}{d{\overline {x}}}}\right).}$

Consideraciones similares se aplican para el cálculo de prolongaciones mayores. Sin embargo, este método de cálculo de la prolongación no es práctico y es mucho más simple trabajar infinitesimalmente en el nivel de las álgebras de Lie y la derivada de Lie a lo largo de la acción G.

De manera más general, se pueden considerar invariantes diferenciales para aplicaciones de cualquier variedad suave X en otra variedad suave Y para un grupo de Lie que actúa sobre el producto cartesiano X × Y . El gráfico de una aplicación X  →  Y es una subvariedad de X × Y que es en todas partes transversal a las fibras sobre X . El grupo G actúa, localmente, sobre el espacio de tales gráficos, e induce una acción sobre la k -ésima prolongación Y ^{( k )} que consiste en gráficos que pasan por cada punto módulo la relación de contacto de k -ésimo orden. Un invariante diferencial es una función sobre Y ^{( k )} que es invariante bajo la prolongación de la acción del grupo.

Aplicaciones

• Resolver problemas de equivalencia
• Los invariantes diferenciales se pueden aplicar al estudio de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales : la búsqueda de soluciones de similitud que sean invariantes bajo la acción de un grupo particular puede reducir la dimensión del problema (es decir, producir un "sistema reducido"). ^[2]
• El teorema de Noether implica la existencia de invariantes diferenciales correspondientes a cada simetría diferenciable de un problema variacional .
• Características de flujo mediante visión artificial ^[3]
• Integración geométrica

Véase también

• Método de equivalencia de Cartan

Notas

1. Guggenheimer 1977
2. Olver 1995, Capítulo 3
3. Olver, Peter; Sapiro, Guillermo; Tannenbaum, Allen (1994), "Firmas y flujos invariantes diferenciales en visión por computadora: un enfoque de grupo de simetría", Difusión impulsada por la geometría en visión por computadora , Computational Imaging and Vision, vol. 1, Dordrecht: Springer, págs. 255–306, doi :10.1007/978-94-017-1699-4_11, hdl : 1721.1/3348 , ISBN 90-481-4461-2

Referencias

• Guggenheimer, Heinrich (1977), Geometría diferencial , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-63433-3.
• Mentira, Sophus (1884), "Über Differentialinvarianten", Gesammelte Adhandlungen , vol. 6, Leipzig: BG Teubner, págs. 95-138Traducción al inglés: Ackerman, M; Hermann, R (1975), Artículo de Sophus Lie de 1884 sobre invariantes diferenciales , Brookline, Mass.: Math Sci Press.
• Olver, Peter J. (1993), Aplicaciones de los grupos de Lie a ecuaciones diferenciales (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94007-6.
• Olver, Peter J. (1995), Equivalencia, invariantes y simetría , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-47811-3.
• Mansfield, Elizabeth Louise (2010), Una guía práctica para el cálculo invariante , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-85701-7

Enlaces externos

• Problemas de variación invariante