Probabilidad relativa

Herramienta de modelo estadístico

En estadística , al seleccionar un modelo estadístico para datos determinados, la verosimilitud relativa compara las plausibilidades relativas de diferentes modelos candidatos o de diferentes valores de un parámetro de un solo modelo.

Probabilidad relativa de los valores de los parámetros

Supongamos que se nos dan unos datos x para los que tenemos un modelo estadístico con el parámetro θ . Supongamos que la estimación de máxima verosimilitud para θ es . Las verosimilitudes relativas de otros valores de θ se pueden encontrar comparando las verosimilitudes de esos otros valores con la verosimilitud de . La verosimilitud relativa de θ se define como ^{[1] [2] [3] [4] [5]} ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$

${\displaystyle {\frac {~{\mathcal {L}}(\theta \mid x)~}{~{\mathcal {L}}({\hat {\theta }}\mid x)~}},}$

donde denota la función de verosimilitud . Por lo tanto, la verosimilitud relativa es la razón de verosimilitud con denominador fijo . ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\theta \mid x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\hat {\theta }}\mid x)}$

La función

${\displaystyle \theta \mapsto {\frac {~{\mathcal {L}}(\theta \mid x)~}{~{\mathcal {L}}({\hat {\theta }}\mid x)~}}}$

es la función de verosimilitud relativa .

Región de probabilidad

Una región de probabilidad es el conjunto de todos los valores de θ cuya probabilidad relativa es mayor o igual a un umbral determinado. En términos de porcentajes, una región de probabilidad p % para θ se define como. ^{[1] [3] [6]}

${\displaystyle \left\{\theta :{\frac {{\mathcal {L}}(\theta \mid x)}{{\mathcal {L}}({\hat {\theta \,}}\mid x)}}\geq {\frac {p}{100}}\right\}.}$

Si θ es un único parámetro real, una región de probabilidad p % normalmente comprenderá un intervalo de valores reales. Si la región comprende un intervalo, se denomina intervalo de probabilidad . ^{[1] [3] [7]}

Los intervalos de verosimilitud, y más generalmente las regiones de verosimilitud, se utilizan para la estimación de intervalos en las estadísticas basadas en verosimilitud (estadísticas "verosimilistas"): son similares a los intervalos de confianza en las estadísticas frecuentistas y a los intervalos creíbles en las estadísticas bayesianas. Los intervalos de verosimilitud se interpretan directamente en términos de verosimilitud relativa, no en términos de probabilidad de cobertura (frecuentismo) o probabilidad posterior (bayesianismo).

Dado un modelo, los intervalos de verosimilitud pueden compararse con los intervalos de confianza. Si θ es un único parámetro real, entonces, bajo ciertas condiciones, un intervalo de verosimilitud del 14,65 % (verosimilitud de aproximadamente 1:7) para θ será el mismo que un intervalo de confianza del 95 % (probabilidad de cobertura de 19/20). ^{[1] [6]} En una formulación ligeramente diferente, adecuada para el uso de verosimilitudes logarítmicas (véase el teorema de Wilks ), la estadística de prueba es el doble de la diferencia en verosimilitudes logarítmicas y la distribución de probabilidad de la estadística de prueba es aproximadamente una distribución de chi-cuadrado con grados de libertad (gl) iguales a la diferencia en gl-s entre los dos modelos (por lo tanto, el intervalo de verosimilitud e ⁻² es el mismo que el intervalo de confianza de 0,954; suponiendo que la diferencia en gl-s es 1). ^{[6] [7]}

Probabilidad relativa de los modelos

La definición de verosimilitud relativa se puede generalizar para comparar distintos modelos estadísticos . Esta generalización se basa en el AIC (criterio de información de Akaike) o, en ocasiones, en el AICc (criterio de información de Akaike con corrección).

Supongamos que para unos datos dados tenemos dos modelos estadísticos, M ₁ y M ₂ . Supongamos también que AIC( M ₁ ) ≤ AIC( M ₂ ) . Entonces la probabilidad relativa de M ₂ con respecto a M ₁ se define de la siguiente manera. ^[8]

${\displaystyle \exp \left({\frac {\operatorname {AIC} (M_{1})-\operatorname {AIC} (M_{2})}{2}}\right)}$

Para ver que se trata de una generalización de la definición anterior, supongamos que tenemos un modelo M con un parámetro (posiblemente multivariado) θ . Entonces, para cualquier θ , establecemos M ₂ = M ( θ ) y también M ₁ = M ( ) . La definición general ahora da el mismo resultado que la definición anterior. ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$

Véase también

• Selección de modelos estadísticos
• Especificación del modelo estadístico
• Validación de modelos estadísticos

Notas

1. Kalbfleisch, JG (1985), Probabilidad e inferencia estadística , Springer, §9.3
2. Azzalini, A. (1996), Inferencia estadística basada en la probabilidad, Chapman & Hall , §1.4.2, ISBN 9780412606502
3. Sprott, DA (2000), Inferencia estadística en la ciencia , Springer, cap. 2
4. Davison, AC (2008), Modelos estadísticos , Cambridge University Press , §4.1.2
5. Held, L.; Sabanés Bové, DS (2014), Inferencia estadística aplicada: verosimilitud y Bayes , Springer, §2.1
6. Rossi, RJ (2018), Estadística matemática , Wiley , pág. 267
7. Hudson, DJ (1971), "Estimación de intervalo a partir de la función de verosimilitud", Journal of the Royal Statistical Society, Serie B , 33 : 256–262
8. Burnham, KP; Anderson, DR (2002), Selección de modelos e inferencia multimodelo: un enfoque práctico basado en la teoría de la información , Springer, §2.8