Intervalo creíble

Concepto en estadística bayesiana

El intervalo de credibilidad del 90% de mayor densidad de una distribución de probabilidad posterior

En la estadística bayesiana , un intervalo creíble es un intervalo utilizado para caracterizar una distribución de probabilidad . Se define de manera que un valor de parámetro no observado tiene una probabilidad particular de caer dentro de él. Por ejemplo, en un experimento que determina la distribución de posibles valores del parámetro , si la probabilidad que se encuentra entre 35 y 45 es 0,95, entonces hay un intervalo de credibilidad del 95%. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 35\leq \mu \leq 45}$

Los intervalos creíbles se utilizan normalmente para caracterizar distribuciones de probabilidad posteriores o distribuciones de probabilidad predictivas . ^[1] La generalización a problemas multivariados es la región creíble .

Los intervalos creíbles son un análogo bayesiano de los intervalos de confianza en las estadísticas frecuentistas . ^[2] Los dos conceptos surgen de diferentes filosofías: ^[3] Los intervalos bayesianos tratan sus límites como fijos y el parámetro estimado como una variable aleatoria, mientras que los intervalos de confianza frecuentistas tratan sus límites como variables aleatorias y el parámetro como un valor fijo. Además, los intervalos creíbles bayesianos utilizan (y de hecho, requieren) conocimiento de la distribución previa específica de la situación , mientras que los intervalos de confianza frecuentistas no lo hacen.

Elegir un intervalo creíble

Los intervalos creíbles no son únicos; cualquier distribución de probabilidad posterior dada tiene un número infinito de intervalos de credibilidad del 95%. Por lo tanto, existen múltiples métodos para definir un intervalo de credibilidad adecuado:

• Elegir el intervalo más estrecho. Para una distribución unimodal , este intervalo incluirá la moda (el máximo a posteriori ). A esto a veces se le llama intervalo de densidad posterior más alta (HPDI).
• Elegir el intervalo donde la probabilidad de estar por debajo del intervalo es tan probable como por encima de él. Este intervalo incluirá la mediana . A esto a veces se le llama intervalo de colas iguales .
• Suponiendo que la media existe, eligiendo el intervalo para el cual la media es el punto central.

Para problemas multidimensionales, la región de mayor densidad posterior está delimitada por una línea de contorno de densidad de probabilidad . ^[4]

Los intervalos creíbles también se pueden estimar mediante el uso de técnicas de simulación como la cadena de Markov Monte Carlo . ^[5]

Contrasta con el intervalo de confianza

Un intervalo de confianza frecuentista del 95% significa que con una gran cantidad de muestras repetidas, el 95% de dichos intervalos de confianza calculados incluirían el valor real del parámetro. En términos frecuentistas, el parámetro es fijo (no se puede considerar que tenga una distribución de valores posibles) y el intervalo de confianza es aleatorio (ya que depende de la muestra aleatoria).

Los intervalos de credibilidad bayesianos se diferencian de los intervalos de confianza frecuentistas en dos aspectos principales:

• Los intervalos creíbles son intervalos cuyos valores tienen una densidad de probabilidad (posterior), lo que representa la plausibilidad de que el parámetro tenga esos valores, mientras que los intervalos de confianza consideran que el parámetro de población es fijo y, por lo tanto, no es objeto de probabilidad. Dentro de los intervalos de confianza, la confianza se refiere a la aleatoriedad del propio intervalo de confianza en ensayos repetidos, mientras que los intervalos creíbles analizan la incertidumbre del parámetro objetivo dados los datos disponibles.

• Los intervalos creíbles y los intervalos de confianza tratan los parámetros molestos de maneras radicalmente diferentes.

Para el caso de un solo parámetro y datos que pueden resumirse en una única estadística suficiente , se puede demostrar que el intervalo de credibilidad y el intervalo de confianza coinciden si el parámetro desconocido es un parámetro de ubicación (es decir, la función de probabilidad directa tiene la forma ) , con un prior que es una distribución plana uniforme; ^[6] y también si el parámetro desconocido es un parámetro de escala (es decir, la función de probabilidad directa tiene la forma ), con un previo de Jeffreys ^[6] ; este último sigue porque tomar el logaritmo de dicho parámetro de escala lo convierte en una ubicación parámetro con una distribución uniforme. Pero estos son casos claramente especiales (aunque importantes); en general no se puede hacer tal equivalencia. ${\displaystyle \mathrm {Pr} (x|\mu )=f(x-\mu )}$ ${\displaystyle \mathrm {Pr} (x|s)=f(x/s)}$   ${\displaystyle \mathrm {Pr} (s|I)\;\propto \;1/s}$

Referencias

1. Edwards, barrio; Lindman, Harold; Salvaje, Leonard J. (1963). "Inferencia estadística bayesiana en la investigación psicológica". Revisión psicológica . 70 (3): 193–242. doi :10.1037/h0044139.
2. Lee, PM (1997) Estadísticas bayesianas: introducción , Arnold. ISBN 0-340-67785-6 
3. VanderPlas, Jake. "Frequentismo y bayesianismo III: confianza, credibilidad y por qué el frecuentismo y la ciencia no se mezclan | Deambulaciones pitónicas". jakevdp.github.io .
4. O'Hagan, A. (1994) Teoría avanzada de la estadística de Kendall, volumen 2B, inferencia bayesiana , sección 2.51. Arnold, ISBN 0-340-52922-9 
5. Chen, Ming-Hui; Shao, Qi-Man (1 de marzo de 1999). "Estimación de Monte Carlo de intervalos bayesianos creíbles y HPD". Revista de Estadística Computacional y Gráfica . 8 (1): 69–92. doi :10.1080/10618600.1999.10474802.
6. Jaynes, et (1976). "Intervalos de confianza frente a intervalos bayesianos", en Fundamentos de la teoría de la probabilidad, la inferencia estadística y las teorías estadísticas de la ciencia , (WL Harper y CA Hooker, eds.), Dordrecht: D. Reidel, págs. 175 y siguientes

Otras lecturas

• Morey, RD; Hoekstra, R.; Rouder, JN; Lee, MD; Wagenmakers, E.-J. (2016). "La falacia de poner la confianza en intervalos de confianza". Boletín y revisión psiconómica . 23 (1): 103–123. doi :10.3758/s13423-015-0947-8. PMC  4742505 . PMID  26450628.