CAPM intertemporal

En el ámbito de las finanzas matemáticas , el modelo de valoración de activos de capital intertemporal ( ICAPM , por sus siglas en inglés) es una alternativa al CAPM propuesto por Robert Merton . Se trata de un modelo factorial lineal con la riqueza como variable de estado que pronostica cambios en la distribución de los rendimientos o ingresos futuros .

En el modelo ICAPM, los inversores toman decisiones de consumo a lo largo de su vida cuando se enfrentan a más de una incertidumbre. La principal diferencia entre el modelo ICAPM y el CAPM estándar son las variables de estado adicionales que reconocen el hecho de que los inversores se protegen contra déficits de consumo o contra cambios en el conjunto de oportunidades de inversión futuras .

Versión de tiempo continuo

Merton ^[1] considera un mercado temporal continuo en equilibrio. La variable de estado (X) sigue un movimiento browniano :

${\displaystyle dX=\mu dt+sdZ}$

El inversor maximiza su utilidad de Von Neumann-Morgenstern :

${\displaystyle E_{o}\left\{\int _{o}^{T}U[C(t),t]dt+B[W(T),T]\right\}}$

donde T es el horizonte temporal y B[W(T),T] la utilidad de la riqueza (W).

El inversor tiene la siguiente restricción sobre la riqueza (W). Sea el peso invertido en el activo i. Entonces: ${\displaystyle w_{i}}$

${\displaystyle W(t+dt)=[W(t)-C(t)dt]\sum _{i=0}^{n}w_{i}[1+r_{i}(t+dt)]}$

¿Dónde está el rendimiento del activo i? El cambio en la riqueza es: ${\displaystyle r_{i}}$

${\displaystyle dW=-C(t)dt+[W(t)-C(t)dt]\sum w_{i}(t)r_{i}(t+dt)}$

Podemos utilizar programación dinámica para resolver el problema. Por ejemplo, si consideramos una serie de problemas de tiempo discreto:

${\displaystyle \max E_{0}\left\{\sum _{t=0}^{T-dt}\int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds+B[W(T),T]\right\}}$

Luego, una expansión de Taylor da:

${\displaystyle \int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds=U[C(t),t]dt+{\frac {1}{2}}U_{t}[C(t^{*}),t^{*}]dt^{2}\approx U[C(t),t]dt}$

donde es un valor entre t y t+dt. ${\displaystyle t^{*}}$

Suponiendo que los retornos siguen un movimiento browniano :

${\displaystyle r_{i}(t+dt)=\alpha _{i}dt+\sigma _{i}dz_{i}}$

con:

${\displaystyle E(r_{i})=\alpha _{i}dt\quad ;\quad E(r_{i}^{2})=var(r_{i})=\sigma _{i}^{2}dt\quad ;\quad cov(r_{i},r_{j})=\sigma _{ij}dt}$

Luego cancelando los términos de segundo orden y superiores:

${\displaystyle dW\approx [W(t)\sum w_{i}\alpha _{i}-C(t)]dt+W(t)\sum w_{i}\sigma _{i}dz_{i}}$

Usando la ecuación de Bellman , podemos reformular el problema:

${\displaystyle J(W,X,t)=max\;E_{t}\left\{\int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds+J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]\right\}}$

sujeto a la restricción de riqueza antes mencionada.

Usando el lema de Ito podemos reescribir:

${\displaystyle dJ=J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]-J[W(t),X(t),t+dt]=J_{t}dt+J_{W}dW+J_{X}dX+{\frac {1}{2}}J_{XX}dX^{2}+{\frac {1}{2}}J_{WW}dW^{2}+J_{WX}dXdW}$

y el valor esperado:

${\displaystyle E_{t}J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]=J[W(t),X(t),t]+J_{t}dt+J_{W}E[dW]+J_{X}E(dX)+{\frac {1}{2}}J_{XX}var(dX)+{\frac {1}{2}}J_{WW}var[dW]+J_{WX}cov(dX,dW)}$

Después de un poco de álgebra ^[2] , tenemos la siguiente función objetivo:

${\displaystyle max\left\{U(C,t)+J_{t}+J_{W}W[\sum _{i=1}^{n}w_{i}(\alpha _{i}-r_{f})+r_{f}]-J_{W}C+{\frac {W^{2}}{2}}J_{WW}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}+J_{X}\mu +{\frac {1}{2}}J_{XX}s^{2}+J_{WX}W\sum _{i=1}^{n}w_{i}\sigma _{iX}\right\}}$

¿Dónde está la rentabilidad sin riesgo? Las condiciones de primer orden son: ${\displaystyle r_{f}}$

${\displaystyle J_{W}(\alpha _{i}-r_{f})+J_{WW}W\sum _{j=1}^{n}w_{j}^{*}\sigma _{ij}+J_{WX}\sigma _{iX}=0\quad i=1,2,\ldots ,n}$

En forma matricial, tenemos:

${\displaystyle (\alpha -r_{f}{\mathbf {1} })={\frac {-J_{WW}}{J_{W}}}\Omega w^{*}W+{\frac {-J_{WX}}{J_{W}}}cov_{rX}}$

donde es el vector de los rendimientos esperados, la matriz de covarianza de los rendimientos, un vector unitario la covarianza entre los rendimientos y la variable de estado. Los pesos óptimos son: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathbf {1} }}$ ${\displaystyle cov_{rX}}$

${\displaystyle {\mathbf {w} ^{*}}={\frac {-J_{W}}{J_{WW}W}}\Omega ^{-1}(\alpha -r_{f}{\mathbf {1} })-{\frac {J_{WX}}{J_{WW}W}}\Omega ^{-1}cov_{rX}}$

Observe que el modelo intertemporal proporciona los mismos pesos del CAPM . Los rendimientos esperados se pueden expresar de la siguiente manera:

${\displaystyle \alpha _{i}=r_{f}+\beta _{im}(\alpha _{m}-r_{f})+\beta _{ih}(\alpha _{h}-r_{f})}$

donde m es la cartera de mercado y ha la cartera para cubrir la variable estado.

Véase también

• Elección de cartera intertemporal

Referencias

1. Merton, Robert (1973). "Un modelo de fijación de precios de activos de capital intertemporal". Econometrica . 41 (5): 867–887. doi :10.2307/1913811. JSTOR  1913811.
2. : ${\displaystyle E(dW)=-C(t)dt+W(t)\sum w_{i}(t)\alpha _{i}dt}$

   ${\displaystyle var(dW)=[W(t)-C(t)dt]^{2}var[\sum w_{i}(t)r_{i}(t+dt)]=W(t)^{2}\sum _{i=1}\sum _{i=1}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}dt}$

   ${\displaystyle \sum _{i=o}^{n}w_{i}(t)\alpha _{i}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}(t)[\alpha _{i}-r_{f}]+r_{f}}$

• Merton, RC, (1973), Un modelo de fijación de precios de activos de capital intertemporal. Econometrica 41, vol. 41, núm. 5. (septiembre de 1973), págs. 867–887
• "Eficiencia de cartera multifactorial y fijación de precios de activos multifactorial" por Eugene F. Fama, ( The Journal of Financial and Quantitative Analysis ), vol. 31, n.º 4, diciembre de 1996