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Forma de intersección de una variedad cuadridimensional

En matemáticas , la forma de intersección de una 4-variedad compacta orientada es una forma bilineal simétrica especial en el segundo grupo de (co)homología de la 4-variedad. Refleja gran parte de la topología de las 4-variedades, incluida la información sobre la existencia de una estructura suave .

Definición usando intersección

Sea M una variedad cerrada de 4 elementos ( PL o lisa ). Tómese una triangulación T de M. Denotemos por la subdivisión de celda dual . Representemos las clases por los 2-ciclos A y B módulo 2 vistos como uniones de 2-símplices de T y de , respectivamente. Definamos la forma de intersección módulo 2.

por la fórmula

Esto está bien definido porque la intersección de un ciclo y un límite consta de un número par de puntos (por definición de un ciclo y un límite).

Si M está orientado, análogamente (es decir, contando las intersecciones con signos) se define la forma de intersección en el segundo grupo de homología.

Utilizando la noción de transversalidad, se pueden enunciar los siguientes resultados (que constituyen una definición equivalente de la forma de intersección).

Definición usando el producto taza

Utilizando la noción de producto de copa , se puede dar una definición dual (y por lo tanto equivalente) de la siguiente manera. Sea M una variedad de 4-variedades cerradas y orientadas (PL o lisa). Defina la forma de intersección en el segundo grupo de cohomología

por la fórmula

La definición de un producto de copa es dual (y por lo tanto análoga) a la definición anterior de la forma de intersección en la homología de una variedad, pero es más abstracta. Sin embargo, la definición de un producto de copa se generaliza a variedades complejas y topológicas. Esto es una ventaja para los matemáticos que están interesados ​​en variedades complejas y topológicas (no solo en variedades PL y suaves).

Cuando la 4-variedad es suave, entonces en la cohomología de De Rham , si a y b están representados por 2-formas y , entonces la forma de intersección se puede expresar mediante la integral

¿Dónde está el producto cuña ?

La definición que utiliza el producto de copa tiene un módulo 2 análogo más simple (que funciona para variedades no orientables). Por supuesto, esto no se da en la cohomología de De Rham.

Propiedades y aplicaciones

La dualidad de Poincaré establece que la forma de intersección es unimodular (hasta la torsión).

Según la fórmula de Wu, una variedad de 4 espín debe tener forma de intersección par, es decir, es par para cada x . Para una variedad de 4 espín lisa y simplemente conexa (o, más generalmente, una sin 2-torsiones en la primera homología), se cumple lo inverso.

La signatura de la forma de intersección es un invariante importante. Una variedad 4-variedad limita una variedad 5-variedad si y solo si tiene signatura cero. El lema de Van der Blij implica que una variedad 4-variedad de espín tiene signatura múltiplo de ocho. De hecho, el teorema de Rokhlin implica que una variedad 4-variedad de espín compacta y suave tiene signatura múltiplo de 16.

Michael Freedman utilizó la forma de intersección para clasificar las 4-variedades topológicas simplemente conexas. Dada cualquier forma bilineal simétrica unimodular sobre los números enteros, Q , existe una 4-variedad cerrada simplemente conexa M con forma de intersección Q . Si Q es par, solo hay una de esas variedades. Si Q es impar, hay dos, y al menos una (posiblemente ambas) no tiene estructura lisa. Por lo tanto, dos 4-variedades cerradas simplemente conexas lisas con la misma forma de intersección son homeomorfas. En el caso impar, las dos variedades se distinguen por su invariante de Kirby-Siebenmann .

El teorema de Donaldson establece que una variedad de 4 elementos simplemente conexos y suaves con forma de intersección definida positiva tiene la forma de intersección diagonal (escalar 1). Por lo tanto, la clasificación de Freedman implica que existen muchas variedades de 4 elementos no suavizables, por ejemplo, la variedad E8 .

Referencias